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1、矩阵理论及其应用,信息工程学院 主讲人 谢宏,先修课程线性代数,行列式 向量的基本概念和运算 维数、向量加法、数乘、内积 矩阵的基本概念和运算 维数、矩阵加法、数乘、矩阵乘法 方阵、逆矩阵、正交矩阵、对称阵、相似矩阵 特征值与特征向量 线性方程组的解：解空间,先修课程线性代数,向量空间与线性变换 线性无关、基底、欧式空间、线性变换 二次型 多元二次函数、标准形、二次型的对角化,相关概念及定义,矩阵(Matrix) 矩阵是数域F上的mn个数构成的数表： 称为F上m行、n列的矩阵，记为A 称为A的第i行、第j列元素，记为(A)ij,i = 1, , m, j = 1, , n,相关概念及定义（co
2、ntinue）,数域F上的一切m行、n列的矩阵的集合，记为： 若 ， ，则称矩阵A与B同型 数域（Field） 若数集F含有数1且对四则运算封闭，则称F为数域 映射（Mapping） 若 ， ，若存在一个对应关系（或对应法则）: ，有Y中的唯一的一个元素y与之对应，就称给出了一个从X到Y的一个映射 f，记作：f: XY，或y = f(x) 映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个概念 特别地，当Y为数集(实数集R或复数集C)时，称 f 为定义在集合X上的泛函（functional）,相关概念及定义（continue）,直积集 设A，B是给定的集合，称 为A与B的直积集，简称积集
3、、直积 举例： ， ，那么 表示XOY平面上矩形中点的集合 表示XOY平面上所有点的集合 AB中的元素被称为有序对，即当 时， 直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合：,记为：,相关概念及定义（continue）,代数运算 如果通过法则， ，得到唯一的 ，则称 为A与B的直积集到C的一个代数运算： 称c为 和 经运算 得出的结果，记为： 集合A对运算 封闭： 若 是 的一个代数运算，则称集合A对运算封闭 N和Z不是数域 Q、R和C都是数域 Q是最小的数域 C是最大的数域,相关概念及定义（continue）,在矩阵的定义的基础上，可定义矩阵相等、负矩阵、零矩阵、方阵、单位阵、对角阵、逆矩阵等
4、矩阵相等 设 ， ，若 ，i = 1, , m, j = 1, , n, 则称矩阵A与B相等，记为A = B 负矩阵 对 , 称 -A 为A的负矩阵 零矩阵 元素全为零的矩阵，称为零矩阵，记为O,相关概念及定义（continue）,方阵（Square matrix） 行数和列数相同的矩阵称为方阵，行数为n的方阵称为n阶方阵。 对方阵，又定义了主对角线元素、副对角线元素等概念： 称 为主对角线元素 称 为副对角线元素 对角阵（diagonal matrix） 除了主对角线元素以外，其余元素均为0的方阵，称之为对角阵。 单位阵（Identity matrix） 主对角线元素全为1的对角阵，称之为单
5、位阵。简记为I。 n 阶单位阵记为,矩阵运算,矩阵加法： 设 ， 称 为矩阵A 与B 之和。 矩阵加法是 的代数运算，性质： 交换律：A + B = B +A 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = 0 + A = A A+ (-A) = (-A) + A = 0 矩阵减法： 设 ， 称 为矩阵A与B之差。,矩阵运算（Continue）,数乘矩阵： 设 ， 称 为与之积。 推论 数乘矩阵是 的一个代数运算，性质： 1。 2。 分配律 3。 分配律 4。 结合律 矩阵乘法: 设 ,令,矩阵运算（Continue）,称 , 为A与B之积 (1)A的列数 = B的
6、行数; (2)AB的行数为A的行数,列数为B的列数; (3)AB的i行j列元素为A的i行元素与B的j列对应元素之积之和 举例：,矩阵运算（Continue）,ABBA：矩阵乘法不满足交换律 A 0； B 0，但AB = 0。 矩阵乘法是 的一个代数运算，它有以下性质： 1(AB)C =A(BC) 结合律 2(A + B)C = AC + BC 分配律 A(B+C) = AB + AC 分配律 3(A)B = A(B) = (AB) 结合律 4A是方阵：AI = IA = A,矩阵运算(Continue),方阵的幂（Power) 设 , 称 为A的k次幂，并定义 因为矩阵乘法满足结合律，所以 又
7、因矩阵乘法不满足交换律，一般地：,转置矩阵和分块矩阵,转置矩阵（Transposed matrix） 可将对矩阵行与列的研究，转化为对其中之一的研究 设 , 称 为A的转置矩阵，有的教科书上记为 , 易见： 转置矩阵具有以下性质： (可用数学归纳法推广至多个矩阵的情形),转置矩阵和分块矩阵,分块矩阵 用水平线或垂直线将矩阵 分成若干个小矩阵，并将A视为以这些小矩阵为元素组成的矩阵，称之为A的分块矩阵，其中的每个小矩阵称为A的子矩阵。 一般用 表示r行s列的分块矩阵，Aij为其第i行第j列上的子矩阵, i = 1, , r, j = 1, , s 分块矩阵的相等 若两个分块矩阵恢复成普通矩阵是相
8、等，则称此两分块矩阵相等 对 、 用相同的划分法分为分块矩阵，则矩阵加法、减法和数乘矩阵的法则可推广到分块矩阵上,分块矩阵的加法、减法、数乘,其中 ， , 则 1。 2。 将 的列， 的行用相同的划分法划分为分块矩阵，则矩阵乘法可推广到分块矩阵上。,分块矩阵的乘法和转置,令 , 其中i = 1, , r, j = 1, , s，则 分块矩阵的转置 欲求分块矩阵的转置，只要将其对应行列互换，然后将其中的每个子矩阵转置即可,分块矩阵的乘法和转置,则其转置矩阵为,矩阵的秩,矩阵的秩 矩阵A的k阶子式 设 ，在A中任取k行、k列 位于这些行列相交处的元素构成的k阶行列式称为矩阵A的一个k阶子式 若 ，
9、A中非零子式的最高阶数r称为A的秩，记为： 若 ，则定义 F上所有m行n列且秩为r的矩阵的集合记为： 若 ，称A是行满秩的；否则称A是行降秩的，即r m 若 ，称A是列满秩的；否则称A是列降秩的，即r n 方阵与其行列式的关系: : rankA = n，称方阵满秩、非奇异 : rankA n，称方阵降秩、奇异,矩阵的秩(Continue),矩阵的秩的性质 矩阵与其转置矩阵的秩相等： 初等变换不改变矩阵的秩 ，则 ：满秩方阵的乘积仍满秩 可经有限次初等变换化为 且A可表示为 其中， 、 , i = 1, , r, j = 1, , t是F上的初等阵 推论：数域F上的满秩阵可被分解为F上的初等阵之
10、积 可经初等行（列）变换化为单位阵，而单位阵在同样的行（列）变换下化为,逆矩阵和矩阵的逆,方阵的逆(Inverse) 对 ，若存在同阶方阵 B，使得 AB = BA = I 则称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵，简称为 A 的逆，记为 伴随矩阵(Adjacent matrix) 对 ， 为 detA 中元素 aij 的代数余子式，则称 为A的伴随矩阵， detA为方阵A的行列式（determinate） 伴随矩阵的性质：若 ，则,adjA,逆矩阵和矩阵的逆(Continue),逆存在的条件： 方阵 有逆的充分必要条件为： 且满足此条件时，A有唯一的逆： 若 ，则称A是满秩的（或称A是非奇
11、异的），否则，称A是降秩的（或称A是奇异的） 逆的性质 若 ， ，则： ：可推广至有限个满秩方阵相乘的情形,线性方程组解的结构,齐次方程组解的结构 解集的几何特征 设W是F上齐次线性方程组 AX = 0 所有解的集合，rrankA，n=dim(X), 则 W是 ( 或 ）的子空间 ； 若A由初等行变换和某些列对换化为分块矩阵 其中r n,线性方程组解的结构（Continue）,那么矩阵 的n r 个列向量 是W的基 称W为齐次线性方程组AX = 0的解空间 解空间W的基称为AX = o的基础解系 F上齐次线性方程组AX = o的解 是其任一基础解系 的线性组合 通常称为齐次线性方程组AX =
12、0的通解或一般解,线性方程组解的结构（Continue）,非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组的一个确定的解称为它的特解 F上非齐次线性方程组 的解X，等于它的任一特解 与其对应非齐次线性方程组AX = o的通解 之和 X通常称为非齐次线性方程组AX = B的通解或一般解,矩阵的特征值与特征向量,方阵的特征值与特征向量 设 ，如果 和 ，使得 成立，则称为A的特征值，称x为A的对应于特征值的特征向量 特征矩阵 设 ，称 为A的特征矩阵,矩阵的特征值与特征向量（Continue）,特征多项式 特征矩阵的行列式 称为A的特征多项式 特征方程 设 ，称方程 为A的特征方程（首一的一元n次方程） A的特征值的等价定义：A的特征方程在F上的根称为A的特征值 有非零解 。,矩阵的特征值与特征向量（Continue）,举例： 求 的特征值与特征向量 A的特征多项式： 易见A的特征值：,矩阵的特征值与特征向量（Continue）,求A的属于 的特征向量，即求解方程 基础解系,全部特征向量：,不同时为0,矩阵的特征值与特征向量（Continue）,同理可求A的属于 的特征向量 B的特征值为 ，在求B的属于2的特征向量时，由于 基础解系,全部特征向量：,
