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1、第第 2 章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2-1 列写电路中电压( ) o v t的微分方程表示。 （a） （图略） 解答：符号说明 (1)( ) ( ) t iti x dx (1)(1) 1112 (1)(1) 2221 2 2 ( )( )( )( )( )(1) ( )2 ( )( )( )0(2) ( )2 ( )(3) o i ti titite t i ti titit v ti t 整理得： 2( )5( )5( )3( )2 ( ) oooo v tv tv tv te t 2-4 已知系统相应的齐次方程及其对应的 0+状态条件，求系统的零输入响应。 1）
2、 2 2 ( )2( )2 ( )0 dd r tr tr t dtdt ，给定(0 )1r，(0 )2r 2） 2 2 ( )2( )( )0 dd r tr tr t dtdt ，给定(0 )1r，(0 )2r 解答： 1）系统的特征方程为 2 220，特征根为 12 1,1jj 因而零输入响应的形式 ( )(cossin )0 t zi rteAtBtt，将(0 )1r，(0 )2r代入得： 1,3AB，所以系统的零输入响应为： ( )(cos3sin )0 t zi r tettt 2）系统的特征方程为 2 210，特征根为 1,2 1 因而零输入响应的形式 ( )0 tt zi rt
3、AeBtet，将(0 )1r，(0 )2r代入得： 1,3AB，所以系统的零输入响应为： ( )(31)0 t zi rtett 2-5 给定系统微分方程、起始状态以及激励信号，判断在起始点是否发生跳变 1）( )2 ( )( ) d r tr te t dt ，(0 )1r，( )( )e tu t，写出(0 )r值。 2）( )2 ( )3( ) dd r tr te t dtdt ，(0 )0r， ( )( )e tu t，写出(0 )r值。 【分析】用微分方程表示系统，如果方程右端的自由项包含冲激函数及其各阶导数，则系统 从 0-到 0+状态发生变化。 解答： （1） 因为( )2 (
4、 )( )r tr tu t， 方程右端不包含冲激函数及其各阶导数，( )r t在0t处 连续，(0 )(0 )1rr （2）因为( )2 ( )3 ( )r tr tt，假设( )( )( )r tatbu t，则( )( )r tau t， 代入方程，比较两端系数，可知3a。( )r t在0t处跳变，(0 )(0 )33rr 2-6 给定系统微分方程 2 2 ( )3( )2 ( )( )3 ( ) ddd r tr tr te te t dtdtdt ，若激励信号和起 始状态为以下情况： ( )( )e tu t，(0 )1r，(0 )2r。分别求系统的完全响应、 指出零输入响应、零状态
5、响应、自由响应、强迫响应各分量。 解答： 1. 求系统的零输入响应求系统的零输入响应。由已知条件有： ( )3( )2( )0 (0 )(0 )2 (0 )(0 )1 zizizi zizi zizi rtrtrt rr rr 特征方程为 2 320，特征根为 1 1和 2 2。 所以 2 12 ( ),0 tt zi rtC eC et 将(0 )(0 )2 zi rr和(0 )(0 )1 zi rr代入可求得 2 ( )43,0 tt zi rteet 2. 求系统的零状态响应求系统的零状态响应。 由于 ( )1,0e tt ， 故设特解 ( ),0 p r tC t ， 将( ) p r
6、 t代入原微分方程得3/2C ， 从而( )3/2 p r t 。 由第一步可知，齐次解 2 12 ( ),0 tt h r tDeDet 因此零状态响应 2 12 ( )3/2,0 tt zs rtDeDet 接下来用冲激函数匹配法确定(0 ) zs r和(0 ) zs r。在0到0时刻 系统方程为：( )3( )2( )( )3( ) zszszs rtrtrttu t（1） 方程右端包含( )t，所以设 ( )( )( ) ( )( ) zs zs zs rtatbu t rtau t r 连连续续 代入（1）式，平衡方程两边( )t的系数，可得1a 因而 (0 )(0 )11,(0 )
7、(0 )0 zszszszs rrrr 将初始条件 (0 )1,(0 )0 zszs rr 代入得 12 2,1/2DD 所以系统的零状态响应为 2 13 ( )2,0 22 tt zs rteet 3. 根据前两步的求解可得，系统的全响应为 2 53 ( )( )( )2,0 22 tt zizs r trtrteet 其中自由响应分量为 2 5 2 2 tt ee，强迫响应分量为 3 2 。 2-7 电路如图所示，0t以前开关位于“1” ，已进入稳态，0t时刻， 1 S与 2 S同时自 “1”转至“2” ，求输出电压( ) o v t的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫各分 量。
8、 （图略） 解答： 换路前，系统已进入稳态，因此 (0 ) o vE 换路后，由于电容两端电压不会发生突变，所以 (0 )(0 ) oo vvE （1）根据电路形式，0t后的电路方程 ( )( ) ( ) oo dv tv t Ce t dtR ，其中( )( ) s e tI u t （2）求解系统的完全响应。 齐次解： 1 ( ),0 t RC oh vtAet 特解：( ) ops vtRI 完全响应为：( ),0 t RC os v tAeRIt 代入初始条件(0 ) o vE可得： s AERI 所以系统的完全响应为：( )(),0 t RC oss v tERI eRIt （3）求
9、零输入响应分量。 由于零输入响应和系统方程的齐次解有相同的形式，所以设 ( ),0 t RC ozi vtCet 将初始状态(0 ) o vE代入可得：CE 所以：( ),0 t RC ozi vtEet 从而 零状态响应分量：( ),0 t RC ozsss vtRIRI et 自由响应分量：(),0 t RC s ERI et 强迫响应分量：,0 s RIt 2-8 所示电路，0t时，开关位于“1”且达到稳态，0t时刻，开关自“1”转至“2” 。 （1）试从物理概念判断(0 )i，(0 )i和(0 )i，(0 )i （2）写出0t时间内描述系统的微分方程表示，求( )i t的完全响应。 （
10、图略） 解答： （1）开关转换前的物理量： 电容相当于开路，电流为 0。电感相当于短路，电感两端电压为 0。 所以(0 )0i,(0 )0i 开关转换后的物理量： 电容两端电压不会发生跳变，(0 )(0 )10 cc vvV，所以(0 )0i； 因此，电阻两端无电压，电感两端电压变成 10V，所以(0 )10i。 （2）换路后系统的微分方程为 ( )( )( )( ) ( )20 ( ) iti ti te t e tu t 0t时间内描述系统的微分方程为 ( )( )( )20 ( )iti ti tt 该方程的解为 (13) /2(13) /2 ( )B,0 jtjt i tAeet 代入
11、(0 )0, (0 )10ii，得 1010 , 33 jj AB 完全响应为 /2 20 33 ( )sin() 32 t i tet 2-9 求下列微分方程描述的系统冲激响应( )h t和阶跃响应( )g t。 2） 2 2 ( )( )( )( )( ) ddd r tr tr te te t dtdtdt 3） 2 2 ( )2 ( )( )3 ( )3 ( ) dd r tr te te te t dtdt 解答： 2）系统的阶跃响应( )g t满足方程 2 2 ( )( )( )( )( ) dd g tg tg ttu t dtdt （3） 其解的形式为 1 2 33 ( )co
12、ssin,0 22 t g teAtBtC t（4） 求特解C，对0t代入方程得：1C 利用冲激函数匹配法求(0 ),(0 )gg。设 ( )( )( ) ( )( ) gtatbu t g tau t 代入原方程（3）可求得1a，因而(0 )1g，(0 )0g。将初始条件代入（4） ，有 1 1, 3 AB，因而系统的阶跃响应 11 22 313 ( )1cossin( ) 22 3 tt g tetet u t 由于系统的冲激响应( )( ) d h tg t dt ，所以系统的冲激响应为 11 22 313 ( )cossin( ) 22 3 tt h tetet u t 3）系统的冲激
13、响应满足方程 ( )2 ( )( )3( )3 ( ) d h th tttt dt （5） 起始状态为(0 )0h 其解为 2 ( )( ),0 t h tAeu tt （6） 用冲激函数匹配法求(0 )h。设 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) h tatbtctdu t h tatbtcu t 代入原方程（5）得 1abc 从而(0 )1h，代入（6）式得1A 考虑到1ab，即( )h t中有( )t和( )t，因而所求的冲激响应为 2 ( )( )( )( ) t h ttteu t 阶跃响应 2 31 ( )( )( )( ) 22 t t g thdteu t
14、 2-12 有一系统对激励为 1( ) ( )e tu t时的完全响应为 1( ) 2( ) t r te u t，对激励为 2( ) ( )e tt时的完全响应为 2( ) ( )r tt； 1）求该系统的零输入响应( ) zi r t； 2）系统的起始状态保持不变，求其对于激励 3( ) ( ) t e te u t的完全响应。 【分析】 完全响应=零输入响应+零状态响应， 零输入响应只与系统状态有关， 满足线性条件； 零状态响应只和输入信号有关，也满足线性条件。注意，本题输入分别为阶跃函数和冲激函 数，但没说明系统的状态，故响应的响应不是阶跃响应和冲激响应。 解： 1）假设系统的零状态响
15、应为( ) zi r t，当激励为 1( ) e t时系统的零状态响应为 1( )zs rt，当激励 为 2( ) e t时系统的零状态响应为 2( )zs rt。 根据题意可知： 21 ( )( ) zszs d rtrt dt ， 1 1 ( )( )1( )2( ) ( )( )2( )( ) t zizs zizs rtrtr te u t rtrtrtt 两式相减得： 11 ( )( )( )2( ) t zszs rtrtte u t（1） 解方程（1） ：齐次解 t Ae，特解 t e，所以 1( ) ( ) tt zs rtAeeu t， 用冲激函数匹配法求得 1(0 ) 1
16、zs r，代入上面的解得：0A 所以 1( ) ( ) t zs rte u t 因此， 11 ( )( )( )( ) t zizs r tr trte u t 2）因为 1( )zs rt即为系统的阶跃响应( )g t，可知系统的冲激响应为 1 ( )( )( )( ) t zs h trtte u t 当输入为 3( ) ( ) t e te u t时， 33 ( )( )*( )( )( ) tt zs rth te te u tte u t 所以全响应 33 ( )( )( )(2)( ) t zizs r tr trtt e u t 2-13 求下列函数 1( ) f t与 2( ) f t的卷积 12 ( )( )f tf t。 （1） 12 ( )( ),( )( ) at f tu tf teu t （2） 12 ( )( ),( )cos(45 )f ttf tt （3） 12 ( )(1) ( )(1),( ) (1)(2)f tt u tu tf tu tu t 【分析】充分利用冲激函数的卷积性质，卷积的平移性质。 解答：
