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1、机械控制工程,第五章 系统的稳定性,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.1.1 系统不稳定性现象,稳定系统,不稳定系统,条件稳定系统,b、c允许偏差范围,d、e规定偏差边界,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.1.1 系统不稳定性现象,造成系统不稳定的原因：,1、系统中存在相位滞后环节，如惯性、延迟环节等； 2、系统没有适当的反馈作用； 3、系统参数选择不适当,不稳定现象发生取决于系统内部条件，而与输入无关。 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。即讨论输入为零，系统仅仅存在初始状态不为零时的稳定性。,线性系统不稳定现象注意事项,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.
2、1.2 系统稳定性的定义和条件,系统稳定性：系统在使它们离稳定平衡状态的扰动消除后，系统能以足够的精度恢复到原来状态的能力。,1、系统稳定性定义,稳定性是系统的固有特性，只取决于系统的结构参数，而与初始状态和外作用无关。,2、系统稳定性条件,系统稳定性的必要和充要条件：特征方程的根具有负实部（全部极点位于根平面的左半平面）,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.2.1 Routh（劳斯）判据,1、步骤,1）列出闭环系统特征方程,利用闭环系统特征方程式来判别闭环系统稳定性。,2）检查各项系数是否都大于零，都大于零，进行第 3)步；,3）按系统特征方程写劳斯表,机械控制工程 第五章 系统的稳定性
3、,劳斯阵列如下：,一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.2.1 Routh（劳斯）判据,例：系统的特征方程如下，试确定待定系数及，以便使系统稳定。,解：要使系统稳定，首先必须满足：-1 1 +1,写出劳斯表：,系统稳定条件：,所以使系统稳定的条件是： 0 1,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.2.2 劳斯判据的特殊情况,1、Routh表中任意一行的第一个元为零，而其后各元均不为零或部分地不为零,方法：用一个很小的正数来代替第一列等于零的元，
4、然后进行Routh表的计算。,1,0,1,第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,0,2,第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根,行为0， 表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.2.2 劳斯判据的特殊情况,2、Routh数列中出现某行的各项全为零的情况：意味着在S平面中存在着一些：“对称”的根,方法：利用该行（为零的）的上一行的元构成一个辅助多项式，并利用这个多项式方程的导数的系数组成Routh表的该行，这样Routh表中其条各元推结下去,符号相异的成对的特征根，可通过解由辅助多项式构成的辅
5、助方法得出;,一对（或几对）大小相等符号相反实根 一对共轭纯虚根 实部符号相异，虚部数值相同的两对共轭复数根,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,辅助多项式, 1 3,第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。,辅助方程,3,8,8, 1 6 8,0 0,系统临界稳定,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.3.1 乃奎斯特稳定性判据,乃奎斯特判据是通过开环系统G(s)H(s)的Nyquist图以及开环极点的位置来判断闭环特征方程的根在S平面上的位置，从而判别系统的稳定性。,1、闭环与开环系统极点、零点关系,闭环特征方程的极点即开环传递函数的极点，闭环特征方程的零点即是
6、闭环传递函数的极点。,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.3.1 乃奎斯特稳定性判据,2、乃奎斯特稳定性判据,Z=PN Z：闭环右极点个数(正整数或零) P：开环右极点个数(正整数或零) N：从-0+时，G（j）H（j）封闭曲线在GH平面内包围（-1，j0）点的次数。 N0，逆时针方向包围，N0顺时针方向包围 N=0不包围（-1，j0）点。,闭环系统稳定的条件是： P=N (或P=2N 从0+时),机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.3.1 乃奎斯特稳定性判据,3、乃奎斯特判据判断系统稳定性步骤,1）绘制从0+的开环频率特性曲线，并标出从0+的增加方向； 2）根据曲线包围（-1，j0）
7、点的次数和方向，求出N的大小和正负； 3）由给定的开环传递函数确定开环右极点数P 4）判断闭环系统稳定性。如果曲线正好通过(-1，j0)点，表明闭环系统有极点位于虚轴上，系统处于临界稳定状态，归入不稳定情况。,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.3.1 乃奎斯特稳定性判据,判别各0型系统的稳定性，其对应的开环传递函数和Nyquist图分别为：,T1、T2、T3均大于0,a)、b)不包围(-1,j0)，c）包围(-1,j0)，而1）2）3）开环右极点个数均为0，所以系统3）不稳定，1）2）稳定,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.3.2 开环含有积分环节的Nyquist轨迹,辅助圆圆心：
8、坐标原点 半径：理论上（实际取1） 弧长：每个积分环节画/2（从0+，-+0与之对称） 方向：顺时针到Nyquist曲线 作辅助圆时，P不要计入s=0的极点。,开环传递函数中有s=0的极点时（含有积分环节），开环Nyquist曲线是一个开口的曲线，采用作辅助圆的方法解决包围圈数的计算。,Nyquist图的一般形状,考虑如下系统：,0型系统（v = 0）,0： A(0)K,： A()0,(0)0,()(nm)90,I型系统（v = 1）,0：,：,(0)90,()(nm)90,A()0,A(0),II型系统（v = 2）,开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为v90的无穷远处。,
9、n = m时，Nyquist曲线起自实轴上的某一有 限远点，且止于实轴上的某一有限远点。,n m时，Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相 角为(nm)90。,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.4.1 Nyquist图与Bode图的对应关系,剪切频率（幅值穿越频率、幅值交界频率）c,相位穿越频率（相位交界频率）g, c 大，系统频带宽，惯性小，响应快，调整时间短。,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.4.2 Bode图稳定性判据,Bode稳定性判据：在开环Bode图上L()0dB的所有频段内，相频特性曲线在-180线上正负穿越次数之差等于P/2(P为开环右极点数)。,开环对数幅频特
10、性为正值的频率范围内 穿越的概念 正穿越：，对数相频特性曲线自下而上穿过-180 线 负穿越：，对数相频特性曲线自上而下穿过-180 线 半次正穿越：对数相频特性曲线向-180 线开始向上。 半次负穿越：对数相频特性曲线向-180 线开始向下。 L()=0dB时相频特性曲线在-180线上，系统是临界稳定 状态 当开环传递函数有s=0极点时，应作辅助线处理。 0时，其他环节(除积分环节)的相角和与相频特性起始端连起来再进行判断，连接部分用虚线表示，相当于辅助线。,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.5.1 相位裕度,1、相位裕度： 开环GH与单位圆相交时，相频特性与-180的相位差。 开环G
11、H与单位圆相交对应的频率称为幅值交界频率c,正相位裕量,具有正相位裕量的系统不仅稳定，而且 还有相当的稳定储备，它可以在c的频率下，允许相位再增加度才达到临界稳定条件。,越大，相对稳定性越好,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.5.1 相位裕度,2、相位裕度的计算,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.5.2 幅值裕度Kg,1、幅值裕度Kg：开环频率特性当相角为-180时对应的幅值的倒数 开环频率特性当相角为-180对应的频率为相位交界频率g,正幅值裕量,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.5.2 幅值裕度Kg,2、幅值裕度Kg的计算,负幅值裕量,负相位裕量,机械控制工程 第五章 系
12、统的稳定性,5.5.2 幅值裕度Kg,相位裕度和幅值裕度Kg在Bode图上的表示,正相位裕量 线以上,正幅值裕量 0dB线以下,负相位裕量 线以下,负幅值裕量 0dB线以上,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,几点说明,1、相位裕度、幅值裕度表征系统离（-1，j0）点的距离，可作为设计准则 2、对于最小相位系统，相位裕度和幅值裕度同时为正，系统才稳定。（两个裕度必须同时满足） 3、为了取得满意性能， ， Kg(dB)大表明相对稳定性好,但响应速度低。过大或过小都不好，较好的经验值为 30,60，Kg(dB)6dB 4、3060，通常L()过0dB的斜率是 -20dB/dec 若为-40dB/d
13、ec 稳定，但较小或系统不稳定 -60dB/dec 系统不稳定,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,5.5.3 相位裕度与时间响应的关系,对于二阶系统，相位裕度与阻尼比存在确定关系，因此可以用来分析系统的瞬态响应性能。,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,解：1）化成标准形式,当k=10时，k/5=2，由Bode图的绘制方法，作出其Bode图,在=1处，,穿过剪切频率c的对数幅频特性曲线的斜率为-40dB/dec，,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,10,-1,10,0,10,1,10,2,-300,-250,-200,-150,-100,-50,To: Y(1),K=100,K=10,幅值裕量较大， 但相位裕量小于30， 相对稳定性不够满意,系统不稳定,机械控制工程 第五章 系统的稳定性,作业： P196 5.4 P196 5.13（c）、（i） P197 5.15（1） 5.16 P198 5.23,
