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1、第五章 弯曲应力,5.1 纯弯曲,5.2 纯弯曲时的正应力,5.3 横力弯曲时的正应力,5.4 弯曲切应力,5.6 提高弯曲强度的措施,5.1 纯弯曲,前一章的内容指出：弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；而剪力是切于横截面的内力系的合力。,右图为简支梁在纵向对称面内受到两个对称外力作用时的剪力、弯矩分布情况。,横力弯曲或剪切弯曲：在AC和DB段内梁的横截面上既有弯矩又有剪力，因而既有正应力又有切应力。,纯弯曲：在CD段内梁的横截面上的剪力等于零，而弯矩为常量，即只有正应力而无切应力。,5.1 纯弯曲,纯弯曲试验,变形前：在杆件侧面上作纵向线aa和bb，并作与它们垂直的横向线mm和nn。,变
2、形后：纵向线aa和bb弯成弧线，但横向线mm和nn仍保持为直线，它们相对旋转一个角度后，垂直于弧线aa和bb。,5.1 纯弯曲,变形假设,1).变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线平面假设。,2).各纵向纤维之间并无相互作用的正应力。,5.1 纯弯曲,5.3,根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线为截面的中性轴。,横截面上位于中性轴上、下两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为零。,5.2 纯弯曲时的正应力,综合考虑几何、物理和静力
3、等三方面的关系，推导纯弯曲时的正应力计算公式,1.变形几何关系,变形前相距为dx的两个横截面，变形后绕各自的中性轴转动，两横截面的相对转角为d，并仍保持为平面。,5.2 纯弯曲时的正应力,5.2 纯弯曲时的正应力,1.变形几何关系,距中性层为y的纤维aa的长度变为：,变形前aa的长度：,5.2 纯弯曲时的正应力,纤维aa的应变,纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。,(a),5.2 纯弯曲时的正应力,2.物理关系,在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，即沿截面高度，正应力按直线规律变化。,(b),5.2 纯弯曲时的正应力,3.静力关系,-(b)式还不能直接用以计算应力，因为中
4、性层的曲率半径以及中性轴的位置尚未确定。这要利用静力关系来解决。,(b),横截面上所有微内力dA组成垂直于横截面的空间平行力系，其可能的三个分量：,5.2 纯弯曲时的正应力,中性轴z通过截面形心,使Iyz=0的一对互相垂直的轴称为主轴。由于y轴为横截面的对称轴，对称轴必为主轴，而z轴又通过横截面形心，所以y、z轴为形心主轴。,1/是梁轴线变形后的曲率，EIz称为梁的抗弯刚度。,5.2 纯弯曲时的正应力,纯弯曲时正应力的计算公式,实际计算中，可根据截面上弯矩的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及M和y的正负。,公式适应条件,梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内
5、。,5.3 横力弯曲时的正应力,纯弯曲时正应力的计算公式,可以推广到梁在横力作用下的弯曲，即横截面上不仅有弯矩，还有剪力的情况。,一般情况下，梁内的最大应力发生在弯矩最大的截面，且是距中性层最远的地方，即：,抗弯截面系数,弯曲强度条件：,5.3 横力弯曲时的正应力,矩形截面：,三种典型截面对中性轴的惯性矩,实心圆截面：,截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:,5.3 横力弯曲时的正应力,弯曲正应力强度条件,1.弯矩最大的截面上,2.离中性轴最远处,4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑,3.变截面梁要综合考虑 与,5.3 横力弯曲时的正应力,根据强度条件可进行：,强度校核:,截面
6、设计:,确定梁的许可荷载:,5.3 横力弯曲时的正应力实例1,补充实例： 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。,5.3 横力弯曲时的正应力实例1,解：1).确定截面形心位置,选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标:,2).计算截面惯性矩,5.3 横力弯曲时的正应力实例1,截面BB的弯矩为:,在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：,3).计算最大弯曲正应力,5.3 横力弯曲时的正应力实例2,补充实例：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已知材料的容许拉应力为 容
7、许压应力 试校核梁的强度。,Z,5.3 横力弯曲时的正应力实例2,解：1).作梁的弯矩图,最大负弯矩:,最大正弯矩:,5.3 横力弯曲时的正应力实例2,3).截面对中性轴的惯性矩,截面形心距底边:,2).确定中性轴的位置,5.3 横力弯曲时的正应力实例2,a)拉应力强度校核,A截面为负弯矩，上部受拉,C截面为正弯矩，下部受拉,拉应力强度足够!,4).校核梁的强度,5.3 横力弯曲时的正应力实例2,A截面下部受压,C截面上部受压,由于 ，最大压应力发生在A截面的下边缘,压应力强度足够!,b)压应力强度校核,5.3 横力弯曲时的正应力实例2,5).讨论,如果将此梁的截面改成形，这时梁的最大拉应力将
8、发生在A截面的上边缘，其值为：,这时梁的强度就不足。由此可见，对于抗拉、抗压强度不相同，截面上下又不对称于中性轴的梁，须根据梁的受力情况来合理放置梁的截面 。,5.3 横力弯曲时的正应力实例3,补充实例：求图示梁 1）C 截面上K点正应力； 2）C 截面上最大正应力； 3）全梁上最大正应力； 4）已知E=200GPa，C 截面的曲率半径。,5.3 横力弯曲时的正应力实例3,1. 求支反力,解：,5.3 横力弯曲时的正应力实例3,2. C截面最大正应力,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,（压应力）,5.3 横力弯曲时的正应力实例3,3. 全梁最大正应力,最大弯矩,5.3 横力弯曲时的正应力实例3,4
9、. C截面曲率半径,C截面弯矩,C截面惯性矩,5.4 弯曲切应力,如何研究横力弯曲时梁的 横截面上切应力的分布规律？,变形几何关系,物理关系,静力关系,纯弯曲时正应力的计算公式(5.2),一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素。,在承认正应力公式（5.2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。,5.4 弯曲切应力,矩形截面梁,两个假设： a.横截面上各点的切应力的方向都平 行于剪力Fs； b.切应力沿截面宽度均匀分布。,如何求取横截面上距中性轴z为y的横线aa1处的剪应力？,5.4 弯曲切应力,以相邻横截面m-m和n-n从梁中取长
10、为dx微段，在其左右截面上的弯矩分别为M和M+dM;再以平行于中性层的纵截面aa1c1c自dx微段中截出一微块，作为研究对象。,截取研究对象：,5.4 弯曲切应力,微块左右侧面上正应力的合力分别为：,A1为微块左右侧面的面积，1、2为面积 A1中距中性轴为y1处的正应力。,微块侧面面积A1对中性轴的静矩；,微块顶面切应力的合力为：,5.4 弯曲切应力,FN2, FN1和dFs的方向都平行于x轴，应满足平衡方程Fx=0, 即：,5.4 弯曲切应力,由切应力互等定理可知，横截面上距中性轴z为y的横线aa1处的剪应力为：,矩形截面梁弯曲切应力的计算公式(5.7),横截面上的剪力；,截面宽度；,整个截
11、面对中性轴的惯性矩；,截面上距中性轴为y的横线以下 部分面积对中性轴的静矩。,5.4 弯曲切应力,对矩形截面，可取dA=bdy1，于是：,(5.7),5.4 弯曲切应力,工字形截面梁,1).考虑工字型截面梁腹板上的剪应力,按照矩形截面梁的剪应力公式计算：,式中：b0腹板宽度,图中阴影部分面积对中性轴之静矩,5.4 弯曲切应力,经计算得到:,沿腹板高度，切应力按抛物线规律分布。,最大及最小切应力分别为：,5.4 弯曲切应力,计算结果表明：横截面上的切应力(95-97)由腹板承担,而翼缘仅承担了(3-5) ,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.切应
12、力的近似计算公式：,5.4 弯曲切应力,2).工字型截面梁翼缘上的剪应力,在翼缘上有平行于剪力及翼缘宽度的切应力分量，但与腹板上切应力相比，是次要的，通常不进行计算。,！,翼缘的全部面积都集中在离中性轴最远处，负担了截面上的大部分弯矩。,5.4 弯曲切应力,圆形截面梁,在中性轴上切应力为最大值：,弯曲切应力的强度条件,-中性轴以下或以上部分截面对中性轴的静矩,5.4 弯曲切应力实例,实例：一简支梁由两个槽钢组成，受四个集中荷载作用，如图示。已知： 容许应力 。试选择槽钢的型号。,5.4 弯曲切应力实例,2).按正应力强度条件选择槽钢的型号,由正应力强度条件：,解: 1).绘梁的Fs、M图,5.
13、4 弯曲切应力实例,此时梁内最大正应力为：,超过容许正应力约3%，此差异在一般规定的5%范围内，故允许。,一个槽钢的抗弯截面系数为：,查型钢表(P.350)，选用20a号槽钢,5.4 弯曲切应力实例,最大剪力,20a号槽钢截面简化如图示，中性轴以下面积的静矩为：,查型钢表(p.350)：,选用二根20a号槽钢能满足剪应力强度条件!,3).梁的剪应力强度校核,5.4 弯曲切应力实例,补充实例： T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知sc=100MPa，st=50MPa，t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。 求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力； 2)校核梁的正应力、切
14、应力强度条件。,5.4 弯曲切应力实例,1）求支座反力：,2）作梁的Fs和M图,5.4 弯曲切应力实例,5.4 弯曲切应力实例,5.4 弯曲切应力实例,5.6 提高弯曲强度的措施,弯曲正应力是控制梁强度的主要因素，因此，正应力强度条件是设计梁时的主要依据。,提高梁的承载能力的两种措施：,1). 合理安排梁的受力情况，以降低Mmax的数值；,2). 采用合理的截面形状，以提高W的数值，充分 利用材料的性能。,5.6 提高弯曲强度的措施,合理安排梁的受力情况,a). 合理布置梁的支座,5.6 提高弯曲强度的措施,5.6 提高弯曲强度的措施,b). 合理布置梁上的载荷,分两种情况： 改变作用点的位置
15、；将较大的集中力分散成较小的力或改变成分布载荷。,5.6 提高弯曲强度的措施,梁的合理截面,弯曲正应力的强度条件改写成：,W越大越有利，而另一方面，面积A越小越经济，因此，需要综合考虑两方面的情况，用比值Wz/A来衡量截面形状的合理性和经济性。,5.6 提高弯曲强度的措施,5.6 提高弯曲强度的措施,表中的数据表明: 材料远离中性轴的截面(如圆环形、槽钢或工字形等)比较经济合理。这是因为弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴附近的应力较小，该处的材料不能充分发挥作用，将这些材料移到离中性轴较远处，则可使它们得到充分利用，形成“合理截面”。工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板，道理就在于此。,5.6 提高弯曲强度的措施,对于拉、压许用应力不相等的材料（例如大多数脆性材料），采用 T字形等中性轴距上下边不相等的截面较合理。设计时使中性轴靠近拉应力的一侧，以使危险截面上的最大拉应力和最大压应力尽可能同时达到材料的许用应力 。,5.6 提高弯曲强度的措施,等强度梁的概念,对于等截面梁，除最大弯矩所在截面的最大正应力有可能接近材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。,为节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。,5.6 提高弯曲强度的措施,考虑到加工的经济性
