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1、第 4 章 数据的概括性度量,编辑:陈利昌,统计学,第 4 章 数据的概括性度量,4.1 集中趋势的度量 4.2 离散程度的度量 4.3 偏态与峰态的度量,内容概要,前一章采用图表展示数据,可以对数据分布形态和特征有大致的了解，但要全面把握数据分布特征,还需要找到数据的特征值. 数据分布的特征可以围绕三个方面进行描述: 一是分布的集中趋势,反映数据向中心值靠拢或聚集的程度; 二是分布的离散程度,反映各数据远离其中心值的趋势; 三是分布形态,反映数据偏斜程度和峰度.,学习目标,1. 集中趋势各测度值的计算方法 2. 集中趋势各测度值的特点及应用场合 3. 离散程度各测度值的计算方法 4. 离散程
2、度各测度值的特点及应用场合 偏态与峰态的测度方法 用Excel计算描述统计量并进行分析,4.1 集中趋势的度量,4.1.1 分类数据：众数 4.1.2 顺序数据：中位数和分位数 4.1.3 数值型数据：平均数 4.1.4 众数、中位数和平均数的比较,集中趋势 (central tendency),一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据,分类数据：众数,众数 (mode),一组数据中出现次数最多的变量值 适合于数据量较多时使用
3、不受极端值的影响 一组数据可能没有众数或有几个众数 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据,众数 (不惟一性),无众数 原始数据: 10 5 9 12 6 8,一个众数 原始数据: 6 5 9 8 5 5,多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42,分类数据的众数 (例题分析),解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值 所调查的50人中，购买碳酸饮料的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“碳酸饮料”这一品牌，即 Mo碳酸饮料,顺序数据的众数 (例题分析),解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别” 甲城市中对住房表示不
4、满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意,顺序数据：中位数和分位数,中位数 (median),排序后处于中间位置上的值,不受极端值的影响 主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,中位数 (位置和数值的确定),位置确定,数值确定,顺序数据的中位数 (例题分析),解：中位数的位置为 (300+1)/2150.5 从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中 中位数为 Me=一般,数值型数据的中位数 (9个数据的算例),【例】 9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960
5、 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,中位数 1080,数值型数据的中位数 (10个数据的算例),【例】：10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,四分位数 (quartile),排序后处于25%和75%位置上的值,不受极端值的影响 计算公式,顺序数据的四分位数 (例题分析),解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =
6、(3300)/4 =225 从累计频数看， QL在“不满意”这一组别中； QU在“一般”这一组别中 四分位数为 QL = 不满意 QU = 一般,数值型数据的四分位数 (9个数据的算例),【例】：9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算) 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,数值型数据：平均数,平均数 (mean),也称为均值 集中趋势的最常用测度值 一组数据的均衡点所在 体现了数据的必然性特征 易受极
7、端值的影响 有简单平均数和加权平均数之分 根据总体数据计算的，称为平均数，记为；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为x,简单平均数 (Simple mean),设一组数据为：x1 ，x2 ， ，xn (总体数据xN),样本平均数,总体平均数,加权平均数 (Weighted mean),设各组的组中值为：M1 ，M2 ， ，Mk 相应的频数为： f1 ， f2 ， ，fk,样本加权平均,总体加权平均,加权平均数 (例题分析),几何平均数 (geometric mean),n 个变量值乘积的 n 次方根 适用于对比率数据的平均 主要用于计算平均增长率 计算公式为,5. 可看作是平均数的一种变形
8、,几何平均数 (例题分析),【例】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率,算术平均：,几何平均：,众数、中位数和平均数的比较,众数、中位数和平均数的关系,众数、中位数、平均数的特点和应用,众数 不受极端值影响 具有不惟一性 数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用 适合分类数据的集中趋势测度值 中位数 不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用 适合顺序数据的集中趋势测度值 平均数 易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用,针对数值型数据,4.2 离散程度的
9、度量,4.2.1 分类数据：异众比率 4.2.2 顺序数据：四分位差 4.2.3 数值型数据：方差和标准差 4.2.4 相对离散程度：离散系数,离中趋势,数据分布的另一个重要特征 反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度) 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 不同类型的数据有不同的离散程度测度值,分类数据：异众比率,异众比率 (variation ratio),1. 对分类数据离散程度的测度 2. 非众数组的频数占总频数的比例 3. 计算公式为,4. 用于衡量众数的代表性,异众比率 (例题分析),解： 在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占68%，异众比率比较大。因此，用“碳酸
10、饮料”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好,顺序数据：四分位差,四分位差 (quartile deviation),对顺序数据离散程度的测度 也称为内距或四分间距 上四分位数与下四分位数之差 Qd = QU QL 反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性,四分位差 (例题分析),解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 。 已知 QL = 不满意 = 2 QU = 一般 = 3 四分位差为 Qd = QU - QL = 3 2 = 1,数值型数据：方差和标准差,极差 (range),一组数据的最大值与最小值之差 离散程
11、度的最简单测度值 易受极端值影响 未考虑数据的分布,R = max(xi) - min(xi),计算公式为,平均差 (mean deviation),各变量值与其平均数离差绝对值的平均数 能全面反映一组数据的离散程度 数学性质较差，实际中应用较少,计算公式为,未分组数据,组距分组数据,平均差 (例题分析),平均差 (例题分析),含义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差17台,方差和标准差 (variance and standard deviation),数据离散程度的最常用测度值 反映了各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)，记为2()；根据样本数据计算的，
12、称为样本方差(标准差)，记为s2(s),样本方差和标准差 (sample variance and standard deviation),未分组数据,组距分组数据,未分组数据,组距分组数据,方差的计算公式,标准差的计算公式,自由度 (degree of freedom),自由度是指数据个数与附加给独立的观测值的约束或限制的个数之差 从字面涵义来看，自由度是指一组数据中可以自由取值的个数 当样本数据的个数为n时，若样本平均数确定后，则附加给n个观测值的约束个数就是1个，因此只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值 按着这一逻辑，如果对n个观测值附加的约束个数为k个，自由度则为
13、n-k,自由度 (degree of freedom),样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值 为什么样本方差的自由度是n-1呢？因为在计算离差平方和时，必须先求出样本均值x ，而x则是附加给离差平方和的一个约束，因此，计算离差平方和时只有n-1个独立的观测值，而不是n个 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量,样本标准差 (例题分析)
14、,样本标准差 (例题分析),含义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差21.58台,总体方差和标准差 (Population variance and Standard deviation),未分组数据,组距分组数据,未分组数据,组距分组数据,方差的计算公式,标准差的计算公式,相对位置的度量：标准分数,标准分数 (standard score),1. 也称标准化值 2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3. 可用于判断一组数据是否有离群点(outlier) 4. 用于对变量的标准化处理 5. 计算公式为,标准分数 (性质),z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组
15、数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是使该组数据均值为0，标准差为1,标准分数 (例题分析),经验法则,经验法则表明：当一组数据对称分布时 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内 约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内,切比雪夫不等式 (Chebyshevs inequality ),如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再适用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用 切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少” 对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的数据落
16、在平均数加减k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数,切比雪夫不等式 (Chebyshevs inequality ),对于k=2，3，4，该不等式的含义是 至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内 至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内 至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内,相对离散程度：离散系数,离散系数 (coefficient of variation),1. 标准差与其相应的均值之比 对数据相对离散程度的测度 消除了数据水平高低和计量单位的影响 用于对不同组别数据离散程度的比较 (即可以进行横向间的比较) 5. 计算公式为,离散系数 (例题分析),【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业
