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1、固体物理 Solid State Physics,物理科学与技术学院 李强 2009. 1st term,Xinjiang University,2019/10/17,第一章 晶体结构,一些晶格的实例 晶格的周期性 晶面指数和晶向指数 典型的晶体结构 倒易点阵 晶体的宏观对称性、点群、空间群 晶体表面的几何结构 专题：晶体衍射,Xinjiang University,2019/10/17,晶体总是存在着表面，认识晶体表面的结构进一步研究晶体表面的性质,垂直于晶体表面的方向为Z轴，X和Y轴在晶体表面上 晶体在Z轴方向上的周期性被破坏,而在XY平面内仍然保持着周期性,用二维布拉伐格子来表征晶体表面
2、的空间周期性,二维布拉伐格子:,其中 为原胞基矢， 为整数,1.7 晶体表面的几何结构,Xinjiang University,2019/10/17,晶体内部物理量：静电势能、电子云密度具有三维空间周期性，可用傅里叶级数展开，用倒格子空间表示,晶体表面上物理量具有二维空间周期性同样可以用二维倒格子空间来表示,二维倒格子与二维布拉菲格子的关系满足,怎样构建二维空间的倒格子？,1.7 晶体表面的几何结构,？,Xinjiang University,2019/10/17,定义垂直于表面的单位矢量,1.7 晶体表面的几何结构,二维倒格子矢量,可以证明晶体表面二维周期性函数可以展开为傅里叶级数，用二维倒
3、格子空间来表示:,Xinjiang University,2019/10/17,晶体表面二维晶格的点群表示,晶格周期性在Z轴方向的限制，二维晶格的对称元素只有6个,垂直于表面的n重转轴 n=1, 2, 3, 4, 6 5个,垂直于表面的镜面反演m 1个,由6种对称素可以组成10种二维点群，按照点群对基矢的要求划分，二维格子有4个晶系，5种布拉菲格子,1.7 晶体表面的几何结构,Xinjiang University,2019/10/17,1.7 晶体表面的几何结构,二维晶格的晶系和布拉菲格子,Xinjiang University,2019/10/17,面心立方晶体,1.7 晶体表面的几何结构
4、,(100)面二维布拉菲格子是正方格子,(111)面二维布拉菲格子是六角密排格子,Xinjiang University,2019/10/17,问题讨论： 为什么晶体的外表面通常是低指数面？,1.7 晶体表面的几何结构,Xinjiang University,2019/10/17,1.7 晶体表面的几何结构,晶体表面相,对于晶体表面结构的研究表明，晶体表面的结构不完全是晶体内部相应结构的面的延续; 晶体表面是晶体三维周期性结构和真空之间的过渡层，可以将它看作是特殊的相 表面相。,晶体内部与表面平行的平面基矢：,晶体表面二维晶格基矢：,这两族基矢有可能是不同的 表面的再构,Xinjiang Un
5、iversity,2019/10/17,1.7 晶体表面的几何结构,晶体表面相,典型表面再构之一：,R :晶体材料的名称；h1h2h3 : 晶体表面平面的密勒指数,表示硅(111)表面原子排列的周期为体内相应平面的7倍,例：,Xinjiang University,2019/10/17,1.7 晶体表面的几何结构,晶体表面相,典型表面再构之二：,例：,不同的方法可以获得不同的再构表面，表面的再构现象与表面原子的驰豫、原子的吸附有关，通常可由低能电子衍射(LEED)获得表面再构的几何规律。,Xinjiang University,2019/10/17,晶体的对称性确定了晶体具有以下宏观物理特性：
6、 1、规则的外形 2、晶面角守恒 3、有固定的熔点 4、物理性质各向异性,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,晶体的宏观对称性,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,晶体的宏观对称性,介电常数表示为二阶张量,电位移,矩阵形式,可以证明对于立方对称的晶体,介电常数看作一个简单的标量,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,晶体的宏观对称性,六角对称晶体: 将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内介电常数具有如下形式:,平行轴（六角轴）的分量,垂直于六角轴平面的分量,由
7、于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 立方晶体的光学性质则是各向同性的,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,晶体的宏观对称性的描述,原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在空间变换（正交变换）下的不变性,三维情况下，正交变换的表示为：,其中矩阵R是正交矩阵,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,晶体的宏观对称性的描述,旋转对称操作,绕z轴旋转角的变换矩阵,中心反演对称操作,变换矩阵,Xinjiang Uni
8、versity,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,立方体的对称操作,绕3个立方轴转动, 9个对称操作,绕6个面对角线转动, 6个对称操作,绕4个体对角线转动, 8个对称操作,1个不动操作,以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作,所以，立方体的对称操作共有48个。,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,正四面体的对称操作,绕3个立方轴转动, 3个对称操作, 6个对称操作,绕6个面对角线转动 加中心反演,绕4个体对角线转动, 8个对称操作,1个不动操作,所以，正四面体的对称操作共有24个。,绕3个立方轴转
9、动 加中心反演,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,对称元素,物体的对称操作可以简明的用 “对称元素”来说明,一个物体绕某一个转轴转动 加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时 该轴为物体n重旋转反演轴，计为,一个物体绕某一个转轴转动 以及其倍数不变时 该轴为物体n重旋转轴，计为,物体的对称操作包括旋转和旋转-反演，对应的对称元素分别为对应的旋转轴和旋转-反演轴,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,立方体的对称元素,绕3个立方轴转动, 9个对称操作,绕6
10、个面对角线转动, 6个对称操作,绕4个体对角线转动, 8个对称操作,1个不动操作,以上24个对称操作加中心反演,3个四重轴，记为 4,对称操作,对称元素,6个二重轴，记为 2,4个三重轴，记为 3,1个一重轴，记为 1,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,正四面体的对称元素,3个二重轴，记为 2,对称操作,对称元素,4个三重轴，记为 3,1个一重轴，记为 1,绕3个立方轴转动, 3个对称操作, 6个对称操作,绕6个面对角线转动 加中心反演,绕4个体对角线转动, 8个对称操作,1个不动操作,绕3个立方轴转动 加中心反演,一个物体的
11、全部对称操作（元素）构成的集合，构成对称操作群。,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,群的概念,群代表一组“元素”的集合，GE, A, B, C, 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”, 满足下列性质：,封闭性：若A, B G, 则AB=CG; 单位元素：AE = A； 逆元素：AA-1=E； 结合律：A(BC)=(AB)C,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,点群,点对称操作：对称操作中物体上至少有一个点不动 旋转、反演、旋转-反演都属于点对称操作。,点群：由点
12、对称操作构成的群,对于质量连续分布或有限大小的物体，可以有任意种对称性，然而对晶格由格点在三维空间周期排列构成的体系，其对称操作将受到限制。,Xinjiang University,2019/10/17,设想有一个旋转对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用平移矢量描述：,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,晶格对称操作的限制,其中n为整数,任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称素:,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,晶格对称操作的限制,任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称素:,长方形、正三角形、正方形和正六边形可以在平
13、面内周期性重复排列 正五边形及其它正n边形则不能作周期性重复排列,十种对称素,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,点群,点群：以10种对称元素(只有8个是独立的)为基础组 成的对称操作群,理论证明由10种对称元素只能组成32种不同的点群,布拉菲格子按照点对称性进行分类，可分成7个晶系， 14个布拉菲格子。,空间群：由点对称操作和平移操作所构成的群，共230种。,（黄昆书P35 表1-1）,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,晶体对称性的应用举例, 证明立方对称晶体
14、的介电系数为一个标量常数。,电位移矢量, = x, y, z, 沿三个立方轴方向,假设电场沿y方向，即:,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,晶体对称性的应用举例,将晶体和电场同时绕y轴转动/2,转动的实施 电场没变 同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别,应有,同理，,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,晶体对称性的应用举例,再取电场方向沿111方向，则,晶体经历的一个对称操作，所以,绕111轴转动2/3，则,Xinjiang University,2019/10/17,1.6 晶体的宏观对称性、点群、空间群,晶体对称性的应用举例,综上，可知：,即：,正四面体晶体上述结论亦然成立,介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形式的宏观性质：如导电率、热导率等,
