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1、第13章 时间序列预测,13.1 时间序列的构成 13.2 简单平均法 13.3 移动平均法 13.4 指数平滑法 13.5 趋势外推法 13.6 复合型序列的分解,时间序列 (times series),同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列 形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成 排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式,13.1时间序列的构成,趋势、季节、周期、随机性,趋势(trend) 呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律 季节性(seasonality) 也称季节变动(Seasonal fluctuation) 时间序列在一年内重复出现的周期
2、性波动 周期性(cyclity) 也称循环波动(Cyclical fluctuation) 围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动 随机性(random) 也称不规则波动(Irregular variations) 除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动,时间序列的构成模型,时间序列的构成要素分为四种，即趋势(T)、季节性或季节变动(S)、周期性或循环波动(C)、随机性或不规则波动(I) 时间序列的分解模型 乘法模型 Yi=TiSiCiIi 加法模型 Yi=Ti+Si+Ci+Ii,13.2简单平均法 (simple average),根据过去已有的t期观察值来预测下一期的数值 设时间序列已有的
3、其观察值为 Y1 ， Y2 ， ，Yt，则第t+1期的预测值Ft+1为 可计算出第t+1期的预测误差为 第t+2期的预测值为,简单平均法的特点,适合对较为平稳的时间序列进行预测，即当时间序列没有趋势时，用该方法比较好 如果时间序列有趋势或有季节变动时，该方法的预测不够准确 将远期的数值和近期的数值看作对未来同等重要。但是从预测角度看，近期的数值要比远期的数值对未来有更大的作用。因此简单平均法预测的结果不够准确,13.3移动平均法 (moving average),对简单平均法的一种改进方法 通过对时间序列逐期递移求得一系列平均数作为趋势值或预测值 有简单移动平均法和加权移动平均法两种,简单移动
4、平均法 (simple moving average),将最近k期数据加以平均作为下一期的预测值 设移动间隔为k (1kt)，则t期的移动平均值为 t+1期的简单移动平均预测值为 预测误差用均方误差(MSE) 来衡量,简单移动平均法,将每个观察值都给予相同的权数 只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k 主要适合对较为平稳的时间序列进行预测 应用时，关键是确定合理的移动间隔长度k 对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的 选择移动步长时，可通过试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长。,简单移动平均法 (例题分析),【例】对居民消费价格指数数据，分
5、别取移动间隔k=3和k=5，用Excel计算各期的居民消费价格指数的平滑值(预测值) ，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较,用Excel进行移动平均预测,简单移动平均法 (例题分析),加权移动平均法 (weighted moving average),对近期的观察值和远期的观察值赋予不同的权数后再进行预测 当时间序列的波动较大时，最近期的观察值应赋予最大的权数，较远的时期的观察值赋予的权数依次递减 当时间序列的波动不是很大时，对各期的观察值应赋予近似相等的权数 所选择的各期的权数之和必须等于1。 对移动间隔(步长)和权数的选择，也应以预测精度来评定，即用均方误差来测度预
6、测精度，选择一个均方误差最小的移动间隔和权数的组合,13.4指数平滑法 (exponential smoothing),是加权平均的一种特殊形式 对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法 观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑 有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等 一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势,一次指数平滑 (single exponential smoothing),只有一个平滑系数 观察值离预测时期越久远，权数变得越小 以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为第t+1期的预测值，其预测模型为,Yt为第t期的实际观
7、察值 Ft 为第t期的预测值 为平滑系数 (0 1),一次指数平滑,在开始计算时，没有第1期的预测值F1，通常可以设F1等于第1期的实际观察值，即F1=Y1 第2期的预测值为 第3期的预测值为,一次指数平滑 (预测误差),预测精度，用误差均方来衡量 Ft+1是第t期的预测值Ft加上用调整的第t期的预测误差(Yt-Ft),一次指数平滑 (的确定),不同的会对预测结果产生不同的影响 一般而言，当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的 ，以便能很快跟上近期的变化 当时间序列比较平稳时，宜选较小的 选择时，还应考虑预测误差 用均方误差来衡量预测误差的大小 确定时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最
8、小的作为最后的值,一次指数平滑,用Excel进行指数平滑预测 第1步：选择“工具”下拉菜单 第2步：选择“数据分析”选项，并选择“指数平滑”，然后确定 第3步：当对话框出现时 在“输入区域”中输入数据区域 输入 “阻尼系数”( 注意：阻尼系数=1- ) 的值 选择“确定”,【例】对居民消费价格指数数据，选择适当的平滑系数 ，采用Excel进行指数平滑预测，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较,一次指数平滑,一次指数平滑,13.5 趋势外推法,1 线性趋势分析和预测 2 非线性趋势分析和预测,线性趋势 (linear trend),现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的
9、线性变化规律 由影响时间序列的基本因素作用形成 测定方法主要有：移动平均法、指数平滑法、线性模型法等,线性模型法,线性方程的形式为,时间序列的趋势值 t 时间标号 a趋势线在Y 轴上的截距 b趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个 单位时观察值的平均变动数量,线性模型法 (a 和 b 的最小二乘估计),趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小二乘法(Least-square Method)求得 根据回归分析中的最小二乘法原理 使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小 最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线 根据趋势线计算出各个时期的趋势值,线性模型法 (a 和 b 的求解方程),
10、根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为,解得：,预测误差可用估计标准误差来衡量,m为趋势方程中未知常数的个数,线性模型法,【例】根据人口自然增长率数据，用最小二乘法确定直线趋势方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的人口自然增长率，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较,线性趋势方程： 预测的估计标准误差： 2001年人口自然增长率的预测值：,(),线性模型法,线性模型法,现象的发展趋势为抛物线形态 一般形式为 根据最小二乘法求 a，b，c的标准方程,二次曲线 (second degree curve),二次曲线,【例】根据能源生产总量数据 ，计算出各期的趋势值和
11、预测误差，预测2001年的能源生产总量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较,二次曲线方程： 预测的估计标准误差： 2001年能源生产总量的预测值：,二次曲线 (例题分析),二次曲线 (例题分析),用于描述以几何级数递增或递减的现象 一般形式为,指数曲线 (exponential curve),a，b为未知常数 若b1，增长率随着时间t的增加而增加 若b0，b1，趋势值逐渐降低到以0为极限,指数曲线 (a，b 的求解方法),采取“线性化”手段将其化为对数直线形式 根据最小二乘法，得到求解 lga、lgb 的标准方程为 求出lga和lgb后，再取其反对数，即得算术形式的a和b,指数曲线
12、,【例】根据人均GDP数据，确定指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的人均GDP，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较,指数曲线趋势方程： 预测的估计标准误差： 2001年人均GDP的预测值：,指数曲线,指数曲线,指数曲线与直线的比较,比一般的趋势直线有着更广泛的应用 可以反应现象的相对发展变化程度 上例中，b=0.170406表示19862000年人均GDP的年平均增长率为17.0406% 不同序列的指数曲线可以进行比较 比较分析相对增长程度,修正指数曲线,趋势值K无法事先确定时采用 将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期 令趋势值的三个局部总和分别
13、等于原序列 观察值的三个局部总和,修正指数曲线 (求解k，a，b 的三和法),根据三和法求得,设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3,修正指数曲线 (例题分析),【例】我国19832000年的糖产量数据如表。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的糖产量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较,修正指数曲线 (例题分析),修正指数曲线 (例题分析),解得 K，a ，b 如下,修正指数曲线 (例题分析),糖产量的修正指数曲线方程 2001年糖产量的预测值 预测的估计标准误差,修正指数曲线 (例题分析),以英国统计学家和数学家 BGompertz 的名字
14、而命名 一般形式为,Gompertz 曲线,描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线 两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y 0,K，a，b为未知常数 K 0，0 a 1，0 b 1,Gompertz 曲线 (求解K，a，b 的三和法),仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出 lg a、lg K、b 取 lg a、lg K 的反对数求得 a 和 K,则有：,将其改写为对数形式：,令：,Gompertz 曲线 (例题分析),【例】我国19832000年的糖产量数据如表。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的
15、糖产量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较,Gompertz 曲线 (例题分析),Gompertz 曲线 (例题分析),糖产量的Gompertz曲线方程 2001年糖产量的预测值 预测的估计标准误差,Gompertz 曲线 (例题分析),罗吉斯蒂曲线 (Logistic curve),1838年比利时数学家 Verhulst所确定的名称 该曲线所描述的现象的与Gompertz曲线类似 3. 其曲线方程为,K，a，b 为未知常数 K 0，a 0，0 b 1,Logistic 曲线 (求解k，a，b 的三和法),取观察值Yt的倒数Yt-1 当Yt-1 很小时，可乘以 10 的适当次方
16、a，b，K 的求解方程为,趋势线的选择,观察散点图 根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线 一次差大体相同，配合直线 二次差大体相同，配合二次曲线 对数的一次差大体相同，配合指数曲线 一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线 对数一次差的环比值大体相同，配合 Gompertz 曲线 倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线 3. 比较估计标准误差,13.6复合型序列的分解,季节性分析 趋势分析 周期性分析,季节指数 (seasonal index),刻画序列在一个年度内各月或季的典型季节特征 以其平均数等于100%为条件而构成 反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小 如果现象的发展没有季节变动，则各期的季节指数应等于100% 季节变动的程度是根据各季节指数与其平均数(100%)的偏差程度来测定 如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各期的季节指数应大于或小于100%,季节指数 (例题分析),【例】下表是一家啤酒生产企业19972002年各季度的啤酒销售量数据。试计算各季的季节
