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1、空间几何体的体积,3.上底面半径为r，下底面半径为r，母线长为l的圆台的表面积为 _,复习回顾,1.底面半径为r，母线长为l的圆柱的表面积为_,2.底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积为_,1、原理(书P30）,两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等,(2)祖暅原理：,(1)取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？,S,S,S,一.柱体的体积,底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。,V柱=sh,V圆柱=r2h,若长方体的所有棱长之和为24， 求长方体体积的最大值 求长方体表面积的最大值,解：设长方体的长、宽、高分别为a,b,
2、c，,则4(a+b+c)=24,即a+b+c=8,V=abc,=8,当且仅当abc2是取等号,A,A1,C1,C,C,3、锥体(棱锥、圆锥)的体积：,【问题】等底同高的锥体的体积有何关系?,已知四面体A-BCD中，AB垂直于面BCD，BCDACD90，BC4，ABCD3，求点B到面ACD的距离。,hB,4,3,3,等体积法,求棱长为 的正四面体的体积,O,求棱长为 的正四面体的体积,体积分割法,4、台体（棱台、圆台）的体积,已知A、B是三棱柱上底面两边的中点，如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求这两部分的体积比。,V1,V2,设ABE的面积为S,E,V台体=,V柱体=sh,V锥体=,s,s/
3、,s,S/=0,S/=S,想一想？,上一节中，我们知道正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间有一定的关系。那么，这里柱体、锥体、台体的体积公式之间有没有类似的关系？,例2.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180,那么圆台的体积是多少？ (结果中保留),A,C,O,O,O1,A1,(cm3),例：1.求棱长为2的正四面体的体积。,2.已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3求这个正六棱柱的体积。,3.已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为3求这个正六棱锥的体积。,5.如图几何体为一个正六棱柱中间挖去一个圆柱。若底面正六边形的边长4cm，高3cm，圆柱的底面直径为2
4、cm 。求这个几何体的体积.,例1.有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm那么约有毛坯多少个？(铁的比重为7.8g/cm3),分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽毛坯的体积即可,解. V正六棱柱=,V=3.74103-0.785103,2.96103（mm3）=2.96cm3,一个毛坯的体积为,约有毛坯,5.8103（2.967.8)251(个),答这堆毛坯约有251个.,数学运用,V圆柱=,例7.三棱台ABC-A1B1C1中,AB:A1B1=1:2，则三棱锥A1-ABC，
5、B-A1B1C，C-A1B1C1 的体积之比为( ) A.1:1:1 ; B.1:1:2; C.1:2:4; D.1:4:4,说明：三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积相加求得三棱柱和三棱台的体积。 在立体几何中，割补法是一种非常重要的方法。,A,G,2、已知长方体相邻三个面的面积分别为 2,3,6,则此长方体的对角线和体积分别 为_。,练 习,1、已知三棱锥S-ABC的底面是直角边 分别为a, b的直角三角形，高为c， 则它的体积为_。,3、长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥 C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余 部分的体积之比.,5、正棱台的两
6、个底面面积分别是121cm2 和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长 为2cm，这个棱台的体积为_。,练 习,4、已知圆锥的底面面积为16，它的母线 长为5,则这个圆锥的体积为_。,例2、正四面体S-ABC的棱长为a,D是SA的 中点,E是BC的中点,求三角形SDE绕 SE旋转一周所得旋转体的体积.,例3、一扇形铁皮AOB,半径OA=72cm,圆心角AOB=600,现剪下一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面,并从剩余的扇形COD内剪下一个最大的圆,刚好做容器的下底(圆台下底面大于上底面),则OC应取多少?并求这个容器的容积.,A,G,例5、一倒放的圆锥形封闭容器，高为2h,装入水，使水高为圆锥高的
7、二分之一，则倒转容器后，水的高度是多少？,常见结论,正四面体的棱长为a, 则它的 高为 体积为 内切球半径为 外接球半径为,例2 在长方体AC1中,用截面截下一个棱锥C-A1DD1，求C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比,数学运用,课堂练习,1、在ABC中，AB=2，AC=1.5，BAC=1200.若将ABC绕直线AC旋转一周，求形成的旋转体的体积,2.用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面， 求这个圆柱的体积。,3.已知一个铜质的五棱柱底面积为16cm2，高为 4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，那 么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？,4.若一个六棱锥的高为10cm，
8、底面是边长为6cm的正六边形，求这个六棱锥的体积,5.一个正四棱台形油槽可以装煤油190升,假如它的上、下底边长分别等于60cm和40cm，求它的深度,课堂练习,小结：,柱体的体积公式,锥体的体积公式,台体的体积公式,柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系及其应用,作业,课本第60页第2、5、9、10题,球的表面积公式4R2,四 课堂小结,所给的是非规范(或条件比较分散的规范的)几何体时,通过对图象的割补或体积变换,化为与已知条件直接联系的规范几何体,并作体积的加、减法。,当按所给图象的方位不便计算时,可选择条件较集中的面作底面,以便计算底面积和高.,所给的是规范几何体,且已知条件较集中时,就按所给图象的方位用公式直接计算体积.,直接法,割补法,求体积的常用方法,等体积法,
