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1、wangcl,1,国际符号 international symbol,采用国际符号，不仅可以表示出各种晶类中有那些对称元素，而且还能表示出这些对称元素在空间的方向。国际符号根据各种晶类的对称性可以是三项、或二项、或一项符号组成，它分别表示晶体某三个、或二个、或一个方向上的对称元素。如果在某一个方向上，同时具有对称轴和垂直于此轴的对称面，则写成分数形式。,wangcl,2,熊夫利斯（Schenfles）符号,Cn：字母表示旋转的意思，组标n表示旋转的次数，n=1、2、3、4、6。例如C2代表二次旋转轴。 Cnh：表示除了n次旋转轴外，还包括一个与此轴垂直的对称面。 Cnv：表示除了n次旋转轴外，
2、还包括一个与此轴重合（即平行）的对称面。 Cni：表示除了n次旋转轴外，还包括一个对称中心。,wangcl,3,Ci：表示有一个对称中心。 S4：表示有一个四次旋转倒反轴。 Dn：表示除了n次主旋转轴外，还包括n个与之轴垂直的二次旋转轴。 Dnh：表示除了Dn的对称性外，还包括一个与主旋转轴垂直的对称面，和n个与二次旋转轴重合（即平行）的对称面。 Dnd：表示除了Dn的对称性外，还包括n个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。,wangcl,4,T：除了四个三次旋转轴外，还包括三个正交的二次旋转轴。 Th：除了T的对称性外，还包括与二次旋转轴垂直的三个对称面。 Td：除了T的对称性外，还包括六个平分
3、两个二次旋转轴夹角的对称面。 O：包括三个互相垂直的四次旋转轴，六个二次旋转轴，和四个三次旋转轴。 Oh：除了O的对称性外，还包括Td与Th的对称面。,wangcl,5,国际符号与熊氏符号对比,wangcl,6,其它注意事项,由于分子没有无限周期性的限制，所以分子点群的数目要多于晶体中的点群数目32个； 自然界对称性很多，例如：五度对称性，足球，富勒烯C60, buckministerfullerence，碳管,wangcl,7,wangcl,8,wangcl,9,小结 summary,密勒指数（Miller indices） 对称元素和对称操作 晶体的三十二个点群 对称性和点群对于压电铁电体
4、非常重要！ 只有晶体才会有压电铁电性，不存在非晶压电铁电体。但是有非晶半导体和非晶磁性材料。,wangcl,10,晶体中的点群,由于无限大周期性的限制，晶体中的对称操作只能有：1，2，3，4，6，i，m, ； 由这些对称操作所构成的集合就是晶体中的点群； 点：所有这些对称操作下，肯定有一个点是不变的； 晶体中一共有32个这样的点群；,wangcl,11,空间群 space groups 晶轴和直角坐标轴,wangcl,12,空间群的概念,晶体的对称性，不仅包括了宏观对称元素，而且也包括了微观对称元素。 平移不变性（translation invariance） 这样微观对称元素共有两个： 螺旋
5、轴（screw rotation） 滑移面（glide）。,wangcl,13,螺旋轴 screw rotations,平移对称与旋转轴对称结合，即形成“螺旋轴”。螺旋轴操作为绕此轴旋转360/n后，再沿此轴方向平移l/n周期，图形即可自身重合，其中n=1、2、3、4、6，l=1、2、（n-1）。螺旋轴的国际符号为21；31，32；41，42，43；61，62，63，64，65。,wangcl,14,例如：国际符号31表示三次螺旋轴，平移为c/3；国际符号32表示三次螺旋轴，平移为2c/3。螺旋轴与螺旋线一样，可以有左旋和右旋之别，平移大于1/2时为左旋，平移小于1/2时为右旋，平移等于1/2
6、时无左旋和右旋之别。,wangcl,15,wangcl,16,滑移面 slide,平移对称与对称面结合即形成“滑移面”。滑移面操作为对此平面反映后，再沿平行于此平面的某个方向上平移二分之一或四分之一周期，图形即可自身重合。滑移面的国际符号为a、b、c、n、d等。,wangcl,17,例如，a表示沿a轴方向的滑移面，平移a/2；n表示沿对角线方向的滑移面，平移（a/2+ b/2），或（b/2+ c/2）或（c/2+ a/2）；d表示沿对角线方向的滑移面，但平移为（a/4+ b/4），或（b/4+ c/4）或（c/4+ a/4）。,wangcl,18,wangcl,19,宏观对称元素的组合，可以导
7、出32种点群；宏观对称元素与微观对称元素的组合，可以导出230种空间群。空间群的国际符号由两部分组成，第一部分为大写字母P、C、I、F，表示14种布喇菲格子中的原始格子（P）、底心格子（C）、体心格子（I）和面心格子（F）；第二部分为对称类型的国际符号（与点群符号类似）。,wangcl,20,例如空间群I 2d表示四方体心格子，在沿c轴方向为四次旋转倒反轴，在a轴与b轴方向上为二次旋转轴，在a轴与b轴之间的对角线方向上为滑移面。又如空间群P21212表示是正交原始格子，沿a轴和b轴方向上为二次螺旋轴，沿c轴方向为二次旋转轴。,wangcl,21,wangcl,22,wangcl,23,Spac
8、e group P212121 (222),wangcl,24,晶轴和直角坐标轴的选择,晶面符号和晶棱符号的确定取决于晶轴的选择，晶轴选择方式不同，晶面符号和晶棱符号也不一样。其次，在讨论晶体的弹性性质、介电性质和压电性质时，采用直角坐标系是比较方便的。由于晶轴之间夹角不一定等于90，所以选定晶轴之后，有时还要另选直角坐标系。选择不同的直角坐标系，所得到的数学表达式也不一样。为了避免混乱，必须对晶轴的选择和直角坐标系的选择作共同的规定。,wangcl,25,三斜晶系,晶轴。三斜晶系除了一次旋转轴或一次旋转倒反轴外，无其它对称元素。因此只能选择三个不在同一平面上的晶棱方向作为晶轴。晶轴的安排是c
9、轴为直立，b轴为左右并向右倾，a轴为前后方向并向前倾。晶格常数的大小为bac，晶轴间的夹角为，并有90，90。 坐标轴（x、y、z）。目前都选择z轴与晶轴c重合；x轴在晶轴a和c组成的平面内，并指向+a方向；y轴垂直于ac平面，并指向+b方向，如图1-23所示。,wangcl,26,图1-23 三斜晶系中的晶轴与坐标系,wangcl,27,单斜晶系,晶轴。单斜晶系的特点是具有一个二次旋转轴或二次旋转倒反轴。选二次轴为b轴，并在与b轴垂直的平面上选择相交的晶棱方向作为c轴和a轴。晶格常数大小为：abc，ac，晶轴之间夹角为=90，90。单斜晶系的实例如图1-24所示。 坐标轴（x、y、z）。目前
10、选择y轴与b轴重合；z轴与c轴重合，x轴垂直于bc平面，如图1-25所示。,wangcl,28,图1-24 单斜晶系中的晶轴,wangcl,29,图1-25 单斜晶系中的坐标系,其中y轴是二次旋转轴,wangcl,30,正交晶系,晶轴。正交晶系的特点是具有三个互相垂直的二次旋转轴，或有二个互相垂直的对称面。在222点群和mmm点群中，分别选这三个二次旋转轴为a、b、c轴；在mm2点群中则选唯一的一个二次旋转轴为c轴，选两个对称面的法线方向为a轴和b轴，晶格常数大小为：cab，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。因为正交晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。正交晶
11、系的实例如图1-26所示。,wangcl,31,图1-26 酒石酸钾钠（KNT）在非铁电相时属于222点群，其中a、b、c轴都是二次旋转轴,wangcl,32,四方晶系,晶轴。四方晶系的特点是具有一个四次旋转轴或四次旋转倒反轴。通常都是选四次轴为c轴，选一个二次轴为a轴，如果无二次轴，则选最小晶胞中的两个等长轴之一为a轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。因为四方晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。四方晶系的实例如图1-27所示。,wangcl,33,图1-27 四方晶系的晶轴,wangcl,34,三角晶系和六角晶系,晶轴。三角晶系
12、和六角晶系的特点是具有一个三次旋转轴或六次旋转轴。通常都是选三次轴或六次轴为c轴，选二次轴或对称面的法线为a、b轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹角为=90,=120。 坐标轴（x、y、z）。通常选z轴平行于c轴，x轴与a轴一致，y轴垂直于ac平面。三角晶系和六角晶系的实例如图1-28和图1-29所示。,wangcl,35,图1-28 -石英晶体属于32点群，c轴为三次轴，a、b、d轴为二次旋转轴,wangcl,36,图1-29 碘酸锂晶体属于6点群，c轴为6次旋转轴,wangcl,37,立方晶系,晶轴。立方晶系的特点是具有四个三次旋转轴（包括旋转倒反轴），同时不是有三个相互垂直的四次旋
13、转轴（包括旋转倒反轴），就是有三个相互垂直的二次旋转轴，分别选择这些四次或二次轴为a、b、c轴。晶格常数大小为：a=b=c，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。通常选择晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。,wangcl,38,X-axis,Z-axis,Y-axis,wangcl,39,summary Space groups，glide and screw Crystal axis and Cartesian axis,Case study 画出七大晶系的晶轴和直角坐标轴的对应关系,wangcl,40,线群(line group),纳米线材料的出现使线群的概念得到了重新重视. Z M Li et al, Appl Phys Lett 84 (2004) 4101;V N Popov et al, Phys Rev B61 (2000)3078; M Vujicic et al, J Phys A10 (1977)1271; I Bozovic et al, J Phys A11 (1978) 2133; I Bozovic et al, J Phys A14 (1981) 777,
