《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系剖析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系剖析（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新课导入,同一平面内的直线有哪些位置关系？,回顾旧知,如何判断两直线相交？,两直线有公共交点。,如何判断两直线平行？,两直线在同一平面，且无公共交点。,2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系,在正方体的面ABCD中，AB与AD相交，AB与CD平行.AB和CC的位置关系是平行还是相交还是两者都不是？,两者都不是,黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？,既非平行 又非相交,旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？,既非平行 又非相交,1.异面直线的定义:,不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。,1)异面直线既不平行也不相交,一、空间两条直线的位置关系,2)定
2、义中“任何”是指两条直线永远不具备确定平面的条件，即是不可能找到一个平面同时包含这两条直线； 不能认为分别在两个平面内的两条直线叫异面直线。,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,它们可能异面，可能相交，也可能平行。,它们可能异面，可能相交，也可能平行。,也不能认为不在同一平面内的两条直线叫异面直线。,说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.,如图：,(1),(3),(2),3）异面直线的画法,4）异面直线的判定方法：,不同在任何一个平面内。,既不相交也不平行的直线。,连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面 内不经过此点的直线是
3、异面直线。,已知：如图,求证：直线AB和a是异面直线。,证明:(反证法),假设直线AB和a不是异面直线。,则直线AB和a一定共面，设为,（公理2的推论1）,所以直线AB和a是异面直线。,这与已知A矛盾，,又B,按平面基本性质分,同在一个平面内,相交直线,平行直线,不同在任何一个平面内:,异面直线,有一个公共点:,按公共点个数分,相交直线,无 公 共 点,平行直线,异面直线,2 、空间中直线与直线之间的位置关系,随堂练习,一、下图长方体中,平行,相交,异面,BD和FH是 直线,EC和BH是 直线,BH和DC是 直线,与棱AB所在直线异面的棱共有 条?,4,分别是 ：CG、HD、GF、HE,说出以
4、下各对线段的位置关系?,1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。,3）a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线。,4）a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面。,错,错,错,错,2）a ,b ,则a,b一定异面。,二、判断,1. 两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是( ) A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线 2. 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面,三、选择,B,D,3. 分别在两个平面内的两条直线
5、间的位置关系是（ ）A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 4. 异面直线a，b满足a，b，=l，则l与a，b的位置关系一定是（ ） A. l与a，b都相交 B .l至少与a，b中的一条相交 C. l至多与a，b中的一条相交 D. l至少与a，b中的一条平行,B,D,下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有 对。,3,直线EF和直线HG,直线AB和直线HG,直线AB和直线CD,探究,如图，长方体ABCD-ABCD中，BB/AA,DD/AA,那么BB与DD平行吗？,平行,观察,在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行
6、，那么这两条直线相互平行在空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否也有类似的规律？,思考,二、空间直线的平行关系,1、平行关系的传递性,平行于同一条直线的两条直线互相平行。,平行线的传递性,在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行。,公理：,推广：,1、平行关系的传递性,二、空间直线的平行关系,如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形。,所以EH/BD,且,证明：连接BD，,因为 EH是 的中位线，,同理FG/BD,且,因为EH/FG，且EH/FG,所以，四边形EFGH是平行四边形。,例三,在例三中，如果再加上条件A
7、C=BD，那么四边形EFGH是什么图形？,四边形EFGH是菱形。,探究,在平面上，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.,思考,空间中，该结论是否仍然成立？,在长方体 中， ， ，的两对边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,定理,二.空间直线的平行关系：,2.等角定理,三.异面直线所成的角,在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图.,在空间,如图所示, 正方体ABCDEFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?,问
8、题提出,复习回顾,解决问题,异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 aa , b b 则把 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).,O,思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小 是否改变?, aa , a a a a (公理4),解答： 如图,设a 与 b 相交所成的角为1, a 与 b 所成的角为2 ,同理 bb, 1
9、 = 2 (等角定理),答 : 这个角的大小与O点的位置无关.,说明：,1、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的 锐角（直角）叫做两异面直线所成的角,2、定义由等角定理解释：,为了简便，在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等),如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。,因此，异面直线所成角的范围是（0， ,3、特例：,记作：,（1）在长方体 ABCD-ABCD中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？,探究,有，如AB和CC，AB和DD。,垂直,（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这
10、条直线垂直？,（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,如图，若c，则c垂直于内所有直线，而内任意两条直线的关系可能是平行，也可能是相交。,不一定,求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角,4、解题时，常将异面直线所成的角转化相交直线所成的角实现了空间问题平化。,5、求异面直线所成的角的基本法则：,作平行线，构三角形,例四,如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求（1）哪些棱所在直线与直线BE是异面直线(2)BE与CG所成的角(3)FO与BD所成的角。,解: (1)棱CG,D
11、H,CD,HG,AD,FG所在直线与直线BD是异面直线。 (2)BFCG，EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，又 BEF中EBF =45，所以BE与CG所成的角是45。,AH=HF=FA AFH为等边三角形， 依题意知O为AH中点， HFO=30, FO与BD所成的夹角是30.,(2)连接FH,四边形BFHD为平行四边形，HFBD,连接HA、AF,解答：,例. 已知长方体ABCD-EFGH中,AB =AD= ,AE = 2 (1)求BC和EG所成的角是多少度? (2)求AE和BG所成的角是多少度?,(1)GFBC EGF（或其补角）为所求. RtEFG中，求得EGF = 45。,(2) BFAE FBG（或其补角）为所求, RtBFG中，求得FBG = 60,高考链接,1（2007 湖南） 如图1，在正四棱柱 中， 分别是 ， 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）,图1,A. 与 垂直 B. 与 垂直 C. 与 异面 D. 与 异面,D,课堂小结,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。,异面直线的定义:,相交直线,平行直线,异面直线,空间两直线的位置关系,公理：,在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行。,空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。,等角定理：,异面直线所成的角:,平移，转化为相交直线所成的角。,
