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1、2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,实分析,多媒体教学课件,Department of Mathematics,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,第一章复习,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,第一节,集及其运算,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,集合:具有某种特定性质的事物的总体. 通常用大写英文字母A，B，X，Y等表示.,组成这个集合的事物称为该集合的元素. 一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y表示集合中的元素。,有限集,无限集,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定理1.1 分配律,2019
2、/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定理1.2 (De Morgan公式),注：通过取余集，使A与Ac，与互相转换,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,（其中S为全集）,简记为Ac,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,笛卡尔乘积,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,第二节 映射.集的对等.可列集,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,一.映射,原 像,像,定义域 D(f),值域 R(f),1.定义,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,称f为单射；,则称f为满射；,若f既为单射又是满射，则称f为一一
3、映射。,单射,满射,一一对应(一一映射),2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,2 对等与势,定义2.2 设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射f（f既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作 势是对有限集元素个数概念的推广,记作 约定,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, ,与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为,1).可数集的定义,3.可数集合,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,例：1）Z = 0，
4、1，-1，2，-2，3，-3， ,2）0,1中的有理数全体 =0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, ,注：A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式a1, a2, a3, ,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,可数集性质： 定理2.1 任何无穷集都包含一个可 数子集。,（即可数集 是无限集中具有最小势的集合),2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,可数集的性质（并集）,有限集与可数集的并仍为可数集,可数个可数集的并仍为可数集,有限个可数集的并仍为可数集,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,例:有限个可数集的卡氏积是可
5、数集,设A，B是可数集，则AB也是可数集,从而AB也是可数集（可数个可数集的并）,利用数学归纳法即得有限个乘积的情形,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数称为超越数。,例 4 代数数全体是可数集,常见可数集举例:,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,第三节一维开集闭集 及其性质,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定义3.1 若集合E的每一个点都E的内点，则称E为开集。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,4.开集的性质,定理3.1 a. 空集，R为开集; b. 任意多个
6、开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定义,若Ec为开集，则称E为闭集。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定理3.2 E为闭集的充分必要条件是,证明:,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定义,若 ，则称 E为完全集,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,闭集的(等价)定义,若 ,则E为闭集.,R中只有空集和R既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1),定义3.3,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定理3.3 任何集E的导集 E为闭集,2
7、019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,闭集性质: 任意一簇闭集之交为闭集； 任意有限个闭集之并仍为闭集。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,例8 f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a，E=x|f(x)a和E1=x|f(x)a都是闭集,证明：我们先证充分性：,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,而要证E=x|f(x)a是开集，只要证中的点都为内点,由f(x)在x0处连续及极限的保号性知， 存在0,当|x-x0|a,任取x0 E =x|f(x)a,则f(x0 )a,必要性:若f(x)
8、是直线上的实值连续函数，只要证对任意常数a，E=x|f(x)a与E1=x|f(x)a是开集,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,类似可证x|f(x)a为开集, 从而x|f(x)a =x|f(x)ac是闭集,即O(x0 , ) E =x|f(x)a, 即x0为E的内点，从而E为开集；,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,第四节 开集的构造,目的：掌握Cantor集的构造， 熟悉直线上开集与闭集的构造。 重点与难点：Cantor集的构造。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定义4.1 设G是直线上有界开集，如果开区间满足下面条件:,则称区间
9、为G的构成区间.,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定理4.1-1 直线R中任何非空的有界开集G都可表示为有限个或可数个互不相交的构成区间的并。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定理4.1-2 设F是非空的有界闭集，则F是由一闭区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区间(F的余区间)而成。,根据开集与闭集的互余关系，可得如下闭集的构造定理.,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定义 （i）若 ，即 的每一点都是 自身的聚点，则称 是自密集； （ii）若 ，则称 是完备(全)集。,二自密集、疏朗集、完备(全)集,2019/10/17,福州
10、大学数学与计算机学院聂建英,定义 若E是实直线R的子集 ,若 ，则称E为R中稠密集. 当 的补集在R中稠密时,则称 为疏朗集. 即 为疏朗集 在R中稠密。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,例1 ：Cantor三分集,Cantor集的构造: 将0，1均分为三段，删去中间的开区间 ，将剩下的两个区间 再次三等分，删去中间的两个区间 。 如此继续下去，最终剩下的点集记作P，称之为Cantor集。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,Cantor集的性质,注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间,b. mP=0. 去掉的区间长度和,a. P是闭集.,201
11、9/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,c. P没有内点,d. P中的点全为聚点,没有孤立点, P为完备(全)集.,e. P (0,1) 0,1 R+ (a,b) (ab),2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,第五节 集的势序集,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集， 其势记为 ， 显然：,例：1）R (0,1) 0,1 0,1) R+ (a,b) (ab),5. 连续势集的定义,2）无理数集为连续势集 （无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英
12、,基数的大小比较,定义5.1,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,3).假设A、B是两个集合，若A与B 的某个真子集B*对等，但不与B对等，则说 A的势小于B的势，记作 ，或说B的势 大于A的势，记作 。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,从而说明无限也是分很多层次， 且不存在最大的集合.,4 无最大势定理,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,定理5.2 (Bernstein定理),2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,从前面我们已经看到：,Cantor认为在 之间不存
13、在别的基数，即不存在这样的集合A,使得 但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。,连续统假设,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,2 连续势集的性质（卡氏积）,有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,推论,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,正方形的一条边与正方形的面积有“相同多”的点,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,其次 所以,首先 所以,例3 设E表示0,1 上一切有界实函数的类,证明E的势为,2019/
14、10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,证明：回忆一下前面的 进位表示法以及Cantor集的构造立刻看到，这里用三进制小数表示(0,1)中的点，将会更方便于讨论。 我们先来看看，去掉的三等分区间中的点用三进制表示的话，有什么规律。显然，第一次删去的区间,例4 。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,内的点对应的三进制数第一位必然是1，进一步观察 不难发现，只要 点在某个删去的区间内，则 的三 进制表示中，必有某一位是1。反之，如果 不是分 点，且在某位出现1，则在经过若干次删除手续后， 必然在删去的区间内，即 。因此，除了分 点外， 在 中当且仅当其三进制表示中不出现数1
15、。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,由Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集P为小数位只是0,2的点的全体. 现在作对应P到0,1的对应如下:(严格说是P到0,1的二进制数之间的对应),则显然是一一对应，则立得 。 所以 证毕。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,连续势集的性质（并集）,连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,半序集定义,自反性: 反对称性: 传递性:,则称A按 成一半序集（偏序集）。,设A是一集合， 为A中的某些元素的关系 且满足:,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,2 Zorn引理与选择公理,Zorn引理：设 是一偏序集，A中的 每个全序子集有上界，则A必有极大元。,选择公理：设 为一簇两两不交的 非空集簇，则存在一集B使得 是单元素集。,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,1.集合的并、交、差、补等概念，以及集合的运算律点集的内点、聚点、孤立点、边界等基本概念. 2.直线上开集、闭集的构造定理. 康托集是本章的一个重要例子.,本章主要基本知识:,2019/10/17,福州大学数学与计算机学院聂建英,3.可列集的定义和性质.可列集是无限集中基数最小的
