板壳力学ch5-大挠度理论汇总

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1、68-1,平 板 理 论,第五章 薄板的大挠度理论,平板理论,大挠度(也称为几何非线性?)问题的理论描述； 经典求解方法。仍为小应变问题 (Large deformation, deflection, displacement),Mar.2012,板壳结构,68-2,5.1 基本假定,平板理论,1) 板单元的荷载与内力,Mar.2012,板壳结构,68-3,2) 基本假定 (1) 板的挠度 w 与板厚 t 为同一数量级，但与板的平面 尺寸相比较，仍为小量； (2) 与挠度 w 相比较，中面位移 u、v 是很小的量； (3) 变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，且垂 直于变形后的中面，并保持

2、原长； 保持原长：意味着z=0，板厚度不变； 变形后仍为直线：意味着yz=zx=0，直法线假定； 由于u、v 引起的面内伸缩一致。 (4) 正应力z 与x 、y 、xy 相比，属于小量。,平板理论,Mar.2012,板壳结构,68-4,平板理论,与小挠度理论的不同点： 中面内各点, 由于挠度 w 将产生面内(纵向)位移u、v; 由于中面位移 u、v, 将产生中面应变和应力； 板内各层由于u、v 产生伸缩变形一致。,小挠度理论,大挠度理论,Mar.2012,板壳结构,68-5,5.2 薄板大挠度弯曲的基本方程,5.2.1 中面应变分量与应变协调方程 设坐标系 oxy 与板中面重合， z 轴向下为

3、正。 当平板弯曲时，中面上点 P(x,y,z) 的位移为 u、v、w， 在x, y方向的正应变为x、y, 剪应变为xy, 中面的曲率及 扭率为Kx、Ky 。,平板理论,Mar.2012,板壳结构,68-6,平板理论,1) 中面的曲率及扭率,根据直法线假定; 且薄板各层由于u、v 产生的伸缩 变形是均匀的; u、v 对挠曲变形 w 没有影响。因而， 大变形条件下，挠曲变形模式与小挠度理论中相同， 故此，两种理论下，中面曲率和扭率表达式相同。 即,Mar.2012,板壳结构,68-7,平板理论,2) 中面应变 中面应变x、y 、xy，仅由 u、v、w 产生。,Mar.2012,板壳结构,68-8,

4、平板理论,(1) 由u、v产生的应变 微元的 AB 线变形 变形前长度为dx，变形后长度为ds1,由此长度变化产生的应变为,Mar.2012,板壳结构,68-9,平板理论, 微元的 AC 线变形 变形前长度为dy，变形后长度为ds2。,由此，同理可得 dy 长度变化产生的应变,Mar.2012,板壳结构,68-10,平板理论, 微元的 AB、AC 线角变形,AB线角变形,BC线角变形,则，剪应变为,Mar.2012,板壳结构,68-11,平板理论,(2) 由w 产生的应变 微元的AB线因w 产生的长度变化，变形后长度为ds3； AC线因w 产生的长度变化，变形后长度为ds4。,Mar.2012

5、,板壳结构,68-12,平板理论, 微元AB线因w产生的长度变化，变形后长度为ds3,由此长度变化产生的应变为,Mar.2012,板壳结构,68-13,平板理论, 微元AC线因w产生的长度变化，变形后长度为ds4,由此长度变化产生的应变为,Mar.2012,板壳结构,68-14,平板理论, 微元AB、 AC线因w产生的角变形xy 由上节几何关系可求得,则,(A),Mar.2012,板壳结构,68-15,平板理论,BAC变形前为直角(/2), 变形后为/2-xy, 则由余弦 定理可求得,(C),因为xy为小变形，即有,则式(B)简化为,(B),Mar.2012,板壳结构,68-16,平板理论,由

6、式(A)=式(C)可得到,经过简化可得因 w 产生的剪应变,Mar.2012,板壳结构,68-17,平板理论,(3) 总应变 大变形条件下，薄板中面上的应变,几何非线性项,Mar.2012,板壳结构,68-18,平板理论,大变形条件下，薄板上距中面为z 的点的变形,Mar.2012,板壳结构,68-19,平板理论,由直法线假定, 得到大变形条件下, 薄板上距中面为 z 的点的应变,Mar.2012,板壳结构,68-20,平板理论,大变形条件下，薄板的应变模式,Mar.2012,板壳结构,68-21,平板理论,大变形条件下，薄板上距中面为 z 的点的应变,m=membrane 薄膜 (合力作用在

7、面内)； b=bending 弯曲 (合力作用在面外) 。,Mar.2012,板壳结构,68-22,平板理论,3) 应变协调方程相容方程(中面连续条件),x、y 、xy 是 u、v、w 的函数, u、v、w 是坐标 x、y 的函数，则 x、y 、xy 相互关联。对x 关于 y 求导两次， 对y 关于 x 求导两次，对xy 关于x、y各求导一次，得到,上式为薄板大挠度弯曲中面应变协调方程，或称为 中面连续条件。 满足连续条件，中面不发生撕裂，也不发生皱褶。,Mar.2012,板壳结构,68-23,平板理论,5.2.2 应力分量、内力、内力矩,1) 应力分量 由虎克定律及小挠度理论的前两个假定可得

8、, 距中面 为 z 的点的应力为,Mar.2012,板壳结构,68-24,平板理论,其中， x、y 、xy 为中面应力，称为薄膜应力。,Mar.2012,板壳结构,68-25,平板理论,大变形条件下，薄板的应力模式,Mar.2012,板壳结构,68-26,平板理论,大变形条件下，薄板上距中面为 z 的点的应力,Mar.2012,板壳结构,68-27,平板理论,2) 内力与内力矩 (1) 内力矩、横向力与薄膜力无关, 因而, 与小挠度理论 表达式相同,内力矩为(面内应力沿板厚积分)：,Mar.2012,板壳结构,68-28,平板理论,横向剪力(通过与弯矩的关系式得到)为：,Mar.2012,板壳

9、结构,68-29,平板理论,根据直法线假定, 薄膜应力x、y、xy 沿板厚均匀分布, 则中面力薄膜力可表示为(沿板厚积分)：,(2) 中面内力薄膜力,单位宽度的中面力?,Mar.2012,板壳结构,68-30,平板理论,中面应变与内力的关系,Mar.2012,板壳结构,68-31,平板理论,将内力代入应力表达式，得到用内力表示的应力,上式中，第一项为薄膜应力，第二项为弯曲应力。 在小挠度理论中，薄膜应力为0。,Mar.2012,板壳结构,68-32,平板理论,5.2.3 基本微分方程,与小挠度理论不同: 板单元的内力增加了薄膜内力; 建立平衡方程的条件：板的状态?,Mar.2012,板壳结构,

10、68-33,平板理论,1) 基本方程 根据板微元的平衡方程，确定力与变形间的关系。,(1) 由Fx=0,(2) 由Fy=0,(1),(2),Mar.2012,板壳结构,68-34,平板理论,(3) 由Fz=0 横向内力及荷载产生的分量, 薄膜力产生的分量,Nx 因板挠曲变形在 z 向产生的分量为,Mar.2012,板壳结构,68-35,平板理论,略去高阶项，变为,Mar.2012,板壳结构,68-36,平板理论,同理，Ny 因板挠曲变形在 z 向产生的分量为,Nxy、Nyx因板挠曲变形在 z 向产生的分量,Mar.2012,板壳结构,68-37,平板理论,Nxy、Nyx 因板挠曲变形在 z 向

11、产生的分量为,Mar.2012,板壳结构,68-38,平板理论, z 向内力平衡方程,将Fx=0、 Fy=0的平衡条件代入Fz=0，简化可得,(3),Mar.2012,板壳结构,68-39,平板理论,(4) 由力矩平衡M=0条件 Mz=0 得到,(剪力互等), Mx=0 得到, My=0 得到,Mar.2012,板壳结构,68-40,平板理论,将Qx、Qy代入式(3)得到挠曲方程或控制微分方程,说明：上式中的中面内力Nx、Ny、Nxy是由横向剪力q 引起 的，而不是由面内纵向荷载引起，所以， Nx、Ny、 Nxy 是 未知的。 因而，方程式(4)有4个未知量w和Nx、Ny、 Nxy，也即 方程

12、组 (1)、(2)、(4)有4个未知数，不能求得唯一解，需要 考虑变形协调关系。,(4),Mar.2012,板壳结构,68-41,平板理论,将应变x、y 、xy与中面内力Nx、Ny、 Nxy的关系代入应变 协调方程，可得到,(5),为了简化方程，引入应力函数F(x,y)，且令,Mar.2012,板壳结构,68-42,平板理论,(6b),应力函数F(x,y)与中面内力的关系显然满足式(1)、(2)； 将应力函数F(x,y)与中面内力的关系引入式(4)、(5)，可得,式(6)为平板大挠度弯曲平衡方程, 由Von Karman 1910年导出。 根据边界条件求解上式，可得到挠度w、应力函数 F，进而

13、求得板的内力。,(6a),Mar.2012,板壳结构,68-43,平板理论,上式为平板小挠度弯曲平衡方程, 即中面不发生面内 变形时，大挠度弯曲问题退化为小挠度弯曲问题。 高层建筑结构设计中的刚性楼板问题，如何解释： 面内为刚性；面外为弹性。 板的实际变形(与厚度之比)? 工程上的精度要求?,2) 特殊情形 (1) 刚性板 板中面为中性面，即中面薄膜力为0，式(6)中可取 F(x,y)=0，基本平衡方程变为,Mar.2012,板壳结构,68-44,平板理论,上式为膜的平衡方程, 横向荷载由中面内力平衡。,(2) 柔性板 薄板弯曲刚度很小, 与中面薄膜力相比, 弯曲应力可以 忽略，令D=0，薄板

14、弯曲刚度为0，称为绝对柔性板。 基本平衡方程变为,Mar.2012,板壳结构,68-45,平板理论,大挠度弯曲方程求解w、F，需给出相应的边界条件。 关于 w 的边界条件与小挠度理论相同；关于 F 的边界条 件需要增加。,5.2.4 边界条件,1) 边界上有已知力Nx、Ny 、Nxy 边界条件为,x=a,y=b,Mar.2012,板壳结构,68-46,平板理论,上列边界条件不能直接应用, 需进行变换，将位移 与应力函数联系起来。,2) 边界上有已知位移 u、v 边界条件为,y=b, 中面正应变x,(a),Mar.2012,板壳结构,68-47,平板理论,上式中的 未知，不能直接采用，需要进一步

15、转换。,上式对 y 积分得到,中面剪应变xy,Mar.2012,板壳结构,68-48,平板理论,令上式=(a)式, 简化后得到,在关于 x 求导得到,上式关于y求导，得到,(b),式(a)、(b)为所得到的y=b的边界条件。,Mar.2012,板壳结构,68-49,平板理论,特殊情形：当y=b处，u=v=0，则边界条件变为,(a),(b),Mar.2012,板壳结构,68-50,平板理论,相应的边界条件为,3) 边界纵向(面内)无约束，即 x=0时，x、y 方向中面力为0,y=0,Mar.2012,板壳结构,68-51,5.3 无限长薄板的大挠度弯曲,平板理论,1) 几何形式与荷载 荷载为：

16、q=q(x) 道路? 因板为无限长，如图所示, 丄y 的轴均为对称轴, 则内力 与变形的特征为,Mar.2012,板壳结构,68-52,平板理论,2) 平衡方程,由 Fx=0 得,或,由 Fz=0 得,令,方程变为,(a),Mar.2012,板壳结构,68-53,平板理论,由几何方程可得,3) 求解 因x轴为对称轴，w=w(x)，则 v=0，y=0,由物理方程可得,(b),由(a)、(b)组成的方程组，利用u 的边界条件，可求得 Nx、w 的表达式。,Mar.2012,板壳结构,68-54,5.4 变分法求解技术,平板理论,1) 变形能表达式 薄板的变形能包括：弯曲变形能Ub 和薄膜应变能Um。