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1、1,矩阵理论与方法,第1章 线性空间与线性变换 庄 伯 金 Bjzhuang,2,主要内容,线性空间 线性空间的基本概念 线性空间的基与坐标、基变换与坐标变换 线性子空间及运算 线性变换及其矩阵 线性变换、运算、矩阵表示 特征值与特征向量、对角矩阵 不变子空间 Jordan标准形 特殊线性空间 Euclid空间 正交矩阵、对称矩阵、酉空间,3,线性空间的概念,定义：设 是一个非空集合，元素用 表示， 是一个数域，元素用 表示。在 中定义加法运算以及与数域中元素的数乘运算，即对 及 ，分别存在唯一的 。若加法运算与数乘运算满足如下性质： 加法满足结合律 加法满足交换律 存在零元 存在逆元，对任意
2、向量 ，存在 ，满足 。可称 为 的负元素，记作 。 数乘对向量加满足分配律 数乘对数量加满足分配律 数乘满足结合律 单位数乘 则称 为数域 上的线性空间或向量空间。,4,线性空间的概念,例：实（复） 维向量集 （或 ），向量加法和数乘，满足线性空间的定义， 称为 维实（复）向量空间。 例： 实（复）矩阵集合 （或 ），定义普通的矩阵加法和数量乘积，满足线性空间的定义。 例： 次一元多项式集合 ，按通常意义定义多项式加法及实数与多项式乘法，满足线性空间的定义。 例：常系数二阶齐次线性微分方程 的解集 ，对于函数加法及数与函数的乘法，满足线性空间的定义。,5,线性空间的概念,定理：线性空间 的零
3、元素唯一存在，任一元素有唯一的负元素。 推论：对任意 ，有 。 定义：若 为线性空间 中的 个（有限个）向量， ，且存在数域 中的一组数 ，使得 则称 为向量组 的线性组合，也称向量 可由 线性表示。 定义：若数域 中存在一组不全为0的数 ，使得 则称 线性相关，否则称为线性无关。 定义：线性空间 中线性无关向量组所含向量最大个数称为 的维数。若最大个数是有限的正整数 ，则称 的维数为 ，记作 。线性空间也可称为 维线性空间。当最大个数是无穷时，可称为无限维线性空间。,6,线性空间的基与坐标,定义：设 是数域 上的线性空间， 是 中的 个向量，若满足： 线性无关； 中任一向量 都可由 线性表示
4、。 则称 为 的一个基或基底，并称 为基向量。 注：线性空间的维数与基所含向量个数相等。 例： 维向量空间的基； 例： 矩阵空间的基； 例：多项式空间 的基； 例：齐次线性方程组 解空间的基。 注：线性空间的基不唯一。,7,线性空间的基与坐标,定义：设 维线性空间的一个基 ，任意向量 在该基下的线性表示为 则称 为线性空间的坐标系，称 为 在该坐标系中的坐标或分量，记为,8,线性空间的基与坐标,例： 维向量空间的坐标； 例： 矩阵空间的坐标； 例：多项式空间 的坐标。 注：同一个向量在不同坐标系中，坐标不同。 定理：设 是线性空间 的一个基， ，则 在该坐标系中具有唯一的坐标，即可唯一表示成
5、的线性组合。,9,基变换,定义：设 是线性空间 的一组旧基， 是 的一组新基。根据基的定义， 可以由 线性表示 或者写成 其中矩阵 称为由旧基到新基的过渡矩阵，上述公式称为基变换公式。 注：过渡矩阵是非奇异矩阵。,10,基变换,由前公式，易得 即新基到旧基的过渡矩阵为 。 定理：若线性空间有三组基 ， 和 ,其中 到 的过渡矩阵为 ， 到 的过渡矩阵为 ，则 到 的过渡矩阵为 。 证明：由题可知 则得 所以,11,坐标变换,设 在旧新两个基下的坐标分别为 和 ，则这两组坐标之间转换关系推导如下： 因为 所以 或者 上述两公式称为基变换公式 下的坐标转换公式。 注：基过渡矩阵与坐标转换公式互逆。
6、,12,基变换与坐标变换,例1：设4维向量空间的两组基分别为 1.求 到 的过渡矩阵。 2.已知向量 在坐标系 中的坐标为 ，求 在坐标系 的坐标。 解：由题可知 所以可得 其中,13,基变换与坐标变换,求矩阵 的逆，可得 所以向量 在坐标系 中的坐标为,14,基变换与坐标变换,例2：设 矩阵空间的两组基分别为 求从 到 的过渡矩阵。 解一（直接法）：由 得线性方程组,15,基变换与坐标变换,可解得 类似的，可依次解得 所以从 到 的过渡矩阵为：,16,基变换与坐标变换,解二（中介基法）：设单位基 易得 到 过渡矩阵： 类似的， 到 过渡矩阵：,17,基变换与坐标变换,则从 到 的过渡矩阵为：
7、,18,线性子空间,定义：设 为数域 上线性空间 的一个非空子集，且对 中已有的线性运算满足： 若 ，则 ； 若 ，则 ， 则称 为 的线性子空间或子空间。 两个平凡子空间 线性空间自身 零子空间 注：线性子空间满足线性空间的定义，且 。 性质：设 是数域 上线性空间 的一组向量，其所有可能的线性组合的集合 为 的一个线性子空间，这个子空间称为由 生成的（张成的）子空间。记作 若 中线性无关向量最大个数为 ，则该子空间的维数为 。,19,线性子空间,定义：设矩阵 ，记 为矩阵 的第 个列向量，称子空间 为矩阵 的值域空间（列空间），记为 。 值域空间名称来源 令 ，则向量 的线性组合可表示为
8、所以有 定义映射 可以看到 为映射 的值域。 类似的，可定义矩阵 的行空间为 性质：,20,线性子空间,定义：设矩阵 ，称集合 为 的核空间（零空间），记为 ，即 由定义可知 为齐次线性方程组的解空间，是 的一个线性子空间。 定义： 的核空间的维数称为 的零度，记为 ，即有 性质： 性质： 例：已知 ，求 。,21,线性子空间,定理：设 是数域 上 维线性空间 的一个 维子空间， 是 的基，则这 个基向量必可扩充为 的一个基。,22,子空间的交与和,定理：若 是数域 上线性空间 的两个子空间，则交集 也是 的子空间。 定义：若 是数域 上线性空间 的两个子空间，两子空间的和定义为 。 定理：若
9、 是数域 上线性空间 的两个子空间，则其和 也是 的子空间。 定理：若 是数域 上线性空间 的两个子空间，则有,23,子空间的交与和,定义：若 中的任一向量只能唯一地表示成子空间 的一个向量和子空间 的一个向量之和，则称 为 和 的直和或直接和，记为 。 定理：和 为直和的充要条件是 推论：和 为直和的充要条件是 推论：若 为 的基， 为 的基，且 为直和，则 为 的基。,24,线性变换的概念,定义：设 是数域 上的线性空间， 是 到自身的一个映射，则称 是 的一个变换或者算子，记为 称 为 在 下的象， 为 的原象（或象源）。 定义：设 是数域 上的线性空间， 的一个变换 若满足 其中 ，则
10、称 为 的一个线性变换或线性算子。 定理（等价定义）： 为 的一个线性变换当且仅当 同时满足,25,线性变换的概念,例： 次多项式空间 上的微分 是一个线性变换。 例：记闭区间 上的所有实连续函数的集合为 ，它构成 的一个线性空间，在 上定义变上限积分变换 ，即 则 是 上的一个线性变换。 例：实数向量空间 ，定义如下的变换 ： 其中 。则 为 上的线性变换。,26,线性变换的性质,性质1： 性质2： 性质3： 性质4：线性变换将线性相关的向量组变换为线性相关的向量组。,27,线性变换的性质,定义：设 是线性空间 的线性变换， 中所有向量的象构成的集合称为 的值域，记作 。 中所有被 变换为零
11、向量的原象构成的集合称为 的核，记作 。即有 定理： 和 都是 的线性子空间，分别称为 的象子空间和核子空间。 定义：象子空间的维度称为 的秩，核子空间的维度称为 的亏（或零度）。,28,线性变换的运算,定义（加法）：设 和 是线性空间 的两个线性变换，定义两个线性变换的和为 定义（负变换）：设 是线性空间 的线性变换，定义负变换为 定义（数乘）：设 ， 是线性空间 的线性变换，定义数 与 的乘积为 定义（乘积）：设 和 是线性空间 的两个线性变换，定义两个线性变换的乘积为两线性变换的复合：,29,线性变换的运算,定义（幂）：设 是线性空间 的线性变换，定义线性变换的幂为 定义（多项式）：设
12、是线性空间 的线性变换，定义线性变换的多项式为 定义（逆）：设 和 是线性空间 的两个线性变换，若满足 则称 为线性变换 的逆变换，记为 。 两个特殊的线性变换 单位变换（恒等变换）：将线性空间 的每一个向量映射为自身的变换，记为 。 零变换：将线性空间 的任一向量都映射为零向量的变换，记为,30,线性变换运算的性质,性质1.线性变换的和、数乘、乘积均为线性变换。 性质2.线性变换的和满足交换律和结合律 性质3.线性变换的加法存在零元，即零变换 性质4.负变换满足 性质5.线性变换的数乘与加法满足分配律 性质6.数乘满足 性质7.线性变换的乘积与加法满足分配律,31,线性变换运算的性质,定理：
13、设 是线性空间 的所有线性变换 组成的集合，定义 上的加法以及与数域 的数乘为线性变换的加法以及线性变换与数域 的数乘，则 为数域 上的线性空间，亦可记为,32,线性变换的矩阵表示,如何具体的表示一个线性空间 上的线性变换 ? 可以通过考察对线性空间的基 做线性变换上考虑： 设 是 维线性空间 的一个线性变换， 是 的一个基，对 中任一向量 ，由于 可由基 线性表示： 则有 即线性变换 可由 唯一确定。 因而，只需表示出 ，就可以确定线性变换 。,33,线性变换的矩阵表示,令 即有 其中 定义：矩阵 称为 在 的基 下的矩阵，简称 为 的矩阵。,34,线性变换的矩阵表示,结论：对于 维线性空间
14、 ，给定基 ，则线性空间上的线性变换与 矩阵一一对应。 因此 维线性空间 上的线性变换可以用矩阵来表示。 例： 次多项式空间 ，给定两个基： 是 上的求导运算，求 分别在这两组基下的矩阵。 解：,35,线性变换的矩阵表示,所以 在第一个基下的矩阵为 又,36,线性变换的矩阵表示,所以 在第二个基下的矩阵为 注：在不同基下，同一线性变换对应的矩阵可以不同。,37,线性变换运算的矩阵表示,定理：设数域 上的 维线性空间 ， 为基，线性变换 在该基下有矩阵 ，设 ，则有 1.线性变换之和 的矩阵为 ； 2.线性变换数乘 的矩阵为 ； 3.线性变换之积 的矩阵为 ； 4.线性变换之逆 的矩阵为 ； 5.线性变换之负变换 的矩阵为 ； 6.线性变换之幂 的矩阵为 。 注：给定基下， 维线性空间 的线性变换集合 与 矩阵集合 同构。,38,线性变换的坐标公式,定理：设数域 上的 维线性空间 ， 为基，线性变换 在该基下有矩阵 ，向量 在该基下的坐标为 ，则 在该基下的坐
