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1、第 1 页 共 21 页近世代数第二章群论答案1. 群的定义1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律。例如321232102.举一个有两个元的群的例。解：令 , 的乘法由下表给出Gea首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1) ,xyzxyzG因为，由于 ，若是元素 在(1)中出现，那么(1)成立。eae(参考第一章，4，习题 3。)若是 不在(1)中出现，那么有eaea而(1)仍成立。其次， 有左单位元，就是 ； 有左逆元，就是 ， 有左逆元，Geea就是 。所以 是一个群。a读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。3.证明，我们也可以用条件，
2、以及下面的条件 ， 来做群IV第 2 页 共 21 页的定义：里至少存在一个右逆元 ，能让IVG1a=ae对于 的任何元 都成立；对于 的每一个元 ，在 里至少存在一个右逆元 ，能让VGG1a1=ae解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件 来做群I,V定义的证明，但读者一定要自己写一下。2. 单位元、逆元、消去律1. 若群 的每一个元都适合方程 ，那么 是交换群。G2=xeG解：令 和 是 的任意两个元。由题设ab2abe另一方面22=ae于是有 。利用消去律，得abba所以 是交换群。G2. 在一个有限群里，阶大于 2 的元的个数一定是偶数。解：令 是一个有限群。设 有元 而 的阶
3、。Ga2n考察 。我们有1a1=nae11=nnae设正整数 而 ，那么同上可得 ，与 是 的阶n和 。a1设 还有元 ， ， ，并且 b 的阶大于 2。那么 的阶也Gba1b 1b大于 2，并且 。我们也有 。1 a否则 111=e消去 得 ，与假设矛盾。同样可证 。这样，除 和1b1a 1=baa外，又有一对不同的阶大于 2 的元 和 。1a由于 是有限群，而 的阶大于 2 的元总是成对出现，所以 里GGG这种元的个数一定是偶数。3.假定 是一个阶是偶数的有限群。在 里阶等于 2 的元的个数一定是奇数。解：由习题 2 知， 里阶大于 2 的元的个数是偶数。但 只有一个GG阶是 1 的元，就
4、是单位元 。于是由于的阶是偶数，得 里阶等于 2e的元的个数是奇数。4.一个有限群的每一个元的阶都有限。解：令 是一个有限群而 是的任一元素，那么Ga23,.不能都不相等。因此存在正整数 i，j， ，使 ，用 乘两ijijaja边，得（1） ijae第 4 页 共 21 页这样，存在正整数 ，使（1）成立，因此也存在最小的正整数 ，ij m使 ，这就是说，元 的阶是 。maeam4. 群的同态假定在两个群 和 的一个同态映射之下， 。 与 的阶Gaa是不是一定相同？解：不一定。例如，令 是本章 1 中例 2 所给出的群而 是该G节中例 1 所给出的的群。那么读者容易证明是 的任意元:ngnG是
5、 到 的一个同态映射。但 的每一元 都是无限阶的，而 的G0g阶是 1。5. 变换群1. 假定 是集合 的一个非一一变换。 会不会有一个左逆元 使得A11?解：可能有。例如令 =所有正整数，则： ， 11nn显然是 的一个非一一变换。而 的变换AA： 1 就能使 .2. 假定 是所有实数作成的集合。证明，所有 的可以写成AA和 是有理数， xabab0a形式的变换作成一个变换群。这个群是不是一个变换群？解：令 是由一切上述变换作成的集合。考察 的任何两个元素GG第 5 页 共 21 页： 和 是有理数， xab0a： 和 是有理数， cdcc那么： ()()xaxbcxd这里 和 都是有理数，
6、并且 。cadb0ca所以 仍属于 。G结合律对一般变换都成立，所以对上述变换也成立。单位变换： x属于 。G容易验证， 在 中有逆，即G： 11()bxa因此 作为一个变换群。但 不是一个交换群。令G： 1 1x： 2 2那么： 12 122()xx： 21123. 假定 是一个集合 的所有变换作成的集合。我们暂时用符号SA第 6 页 共 21 页： ()a来说明一个变换 。证明，我们可以用： 121212()()a来规定一个乘法，这个乘法也适合结合律并且对于这个乘法来说，还是 的单位元。S解：令 和 是 的任意两个元而 是 的任意一个元。那么 和12 aA2()a都是 的唯一确定的元。因此
7、如上规定 仍是 的一个唯一12()aA12S确定的元而我们得到了一个 的乘法。S令 也是一个任意元，那么31212313()()()aa3 2所以 而乘法适合结合律。1212()()令 是 的任意元。由于对一切 ，都有 ，SaA()a所以()()aa即 而 仍是 的单位元。S4. 证明，一个变换群的单位元一定是恒等变换。解：设 是由某一集合 的变换组成一个变换群，而 是 的单位元。GAG任取 的一个元 和 的一个元 。由于 ，有a()a由于 是 的一个一一变换，所以 而 是 的恒等变换。AA第 7 页 共 21 页5. 证明，实数域上一切有逆的 矩阵对于矩阵乘法来说，作成一n个群.解：这个题的
8、解法很容易，这里从略。6. 置换群1. 找出所有 不能和 交换的元。3s123解： 有 6 个元：3， ， ，12123， ， 。321231其中的， ， =3123122显然可以和 交换。通过计算，易见其它三个元不能和 交123换。2. 把 的所有元写成不相连的循环置换的乘积。3s解： =（1） ， =（2 3）2=（1 2） ， =（1 3） ， =（1 2 3）3=（1 3 2）3证明：（）两个不相连的循环置换可以交换；第 8 页 共 21 页（）解：（）看 的两个不相连的循环置换 和 。我们考察乘积 使数字 1，2，n 如何变动。有三种情况。（a） 数字 在 中出现，并且 把 变成 j
9、。这时由于 和 不相连，j 不在 中出现，因而 使 j 不变，所以 仍把 变成j。（b） 数字 在 中出现，并且 把 变成 。这时 不在 中出kk现，因而 使 不变，所以 仍把 变成 。（c） 数字 不在 和 中出现。这时 使 不动。mm如上考察 使数字 1，2 ，n 如何变动，显然得到同样的结果。因此 = 。（）由于 ，所以4证明一个 循环置换的阶是 。解：一个 循环置换 = 的一次方，二次方， 次方分别把 变成 。同理 把 变成 ,把 变成 。因此2i2。由上面的分析，若是 ，那么 。这就证明了， 的阶是 。5证明 的每一个元都可以写成（1 2） ， （1 3） ， （ 1 n）这 个 循
10、环置换中的若干个的乘积。解：由于每一个置换都可以写成不相连的循环置换的乘积，所以只第 9 页 共 21 页须证明，一个循环置换可以写成若干个（1 ）形的置换的乘积。设 是一个 循环置换。我们分两个情形加以讨论。（a） 1 在 中出现，这时 可以写成容易验算（b） 1 不在 中出现，这时7.循环群1 证明，一个循环群一定是交换群。解：设循环群 。那么 的任何两个元都可以写成 和Ga ma（m，n 是整数）的形式。但 a mnnm所以 是一个交换群。2.假定群的元 a 的阶是 n。证明 的阶是 ，这里 d=( r，n )是 r 和n 的最大公因子。解：由于 dr ，r=ds ，所以现在证明， 就是
11、 的阶。设 的阶为 。那么 。令 得 但 而 是 的阶，所以 而第 10 页 共 21 页于是 。 （参看本节定理的第二种情形。 ）为了证明 ，只须反过来证明 。由 而 n 是 a 的阶，同上有 nr , 因而 。但 d 是 n 和 r 的最大公因子，所以 互素而有 。3.假定 a 生成一个阶是 n 的循环群 。证明： 也生成 ，假如GG（r,n）=1 (这就是说 r 和 n 互素)。解：由习题 2， 的阶是 n。所以互不相同。但 G 只有 n 个元，所以 ，而 生成 。4假定 是循环群，并且 与 同态。证明 也是循环群。解：由于 与 同态， 也是一个群。设 ，而在 到 的同态满Ga射 下，
12、。看 的任意元 。那么在 下，有。这样， 的每一元都是 的一个乘方而 。()Ga5假定 是无限阶的循环群， 是任何循环群。证明 与 同态。G解：令 ， 。定义 ： 我们证明， 是 到a)(的一个同态满射。（）由于 是无限阶的循环群， 的任何元都只能以一种方法写GG成 的形式，所以在 之下， 的每一个元有一个唯一确定的象，而 是 到 的一个映射。第 11 页 共 21 页（） 的每一个元都可以写成 的形式，因此它在 之下是 的G元 的象，而 是 到 的一个满射。G（）所以 是 到 的一个同态满射。8. 子 群1 找出 的所有子群。解： 显然有以下子群：本身； (1)=(1); (1 2)=(1
13、2),(1);(1 3)=(1 3),(1);(2 3)=(2 3),(1);(1 2 3)=(1 2 3),(1 3 2)，(1)。若 的一个子群 H 含有（1 2）,(1 3)这两个 2-循环置换，那么 H含有（1 2 ）(1 3)=(1 2 3 ),(1 2 3) (1 2)=(2 3)因而 H= .同理，若是 的一个子群含有两个 2-循环置换（2 1） ，(2 3)或（3 1）,(3 2),这个子群也必然是 。用完全类似的方法，读者也可以算出，若是 的一个子群含有一个 2-循环置换和一个 3-循环置换，那么这个子群也必然是 。因此上面给出的 6 个子群是 的所有子群。2 证明，群 的两
14、个子群的交集也是 的子群。GG解：设 和 是 的子群。第 12 页 共 21 页令 e 是 的单位元。那么 e 属于 ，因而 G而令 a,b 。那么 a，b 属于 。但 是子群。所以 属于 ，因而属于 。这就证明了， 是 G 的子群。3 取 的子集 (1 2) ,(1 2 3)。 生成的子群包含哪些元？一个SS群的两个不同的子集会不会生成相同的子群？解：见习题 1 的解。4 证明，循环群的子群也是循环群。解：设循环群 G=（a）而 H 是 的一个子群。G若 H 只含单位元 e=a0，则 H=（e）是循环群。若 H 不仅含单位元，那么因为 H 是子群，它一定含有元 am，其中 m 是正整数。令 是最小的使得 属于 H 的正整数，我们证明，这时 .看 H 的任一元at。令t=iq+r 0ri那么 ai=aiqar。由于 at 和 aiq 都属于 H，有ar=a-iqatH于是由假设 r=0,at=（a i） q 而 H=（a i） 。5找出模 12 的剩余
