近世代数学习系列三环

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1、第 1 页 共 11 页环简 介一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的 19 世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，它就称为环。整数集 Z 就构成一个（数）环。在 20 世纪，数学家们开始研究一种新型结构叫 “环”。环是一个集合，其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来：1. 若 a 和 b 都是环中的元素，那么 a+b 也是环中的元素；2. 加法符合结合律：若 a、b 和 c 都属于这个环，那么 a+(b+c)=(a+b)+c；3

2、. 在环中存在一个类似于 0 的元素甚至也可以称它为 0具有性质：对于环中的任一元素 a，有 0+a=a；4. 对于环中的每个元素 a 和 b，a+b=b+a 都成立。在环中，还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算，它具有下面两个性质：1. 若 a 和 b 属于环，那么它们的乘积 ab 也属于环；2. 若 a、b 和 c 属于环，那么结合律成立：a(bc)=(ab)c。环的乘法通常不满足交换律（ab=ba 一般不成立） ，而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。各种 nn 矩阵的集合连同运算选出来，就形成一个具体的环的例子。在 20 世纪的前 30 多年中，由于德国数学家诺特 (Emmy

3、 Noether，1882-1935 年）的工作，环的结构的研究变得非常重要。环论往往相当抽象。虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素，但是由于他们对矩阵的理解非常深刻，给出了许多卓有成效的解释，所以有时把一个特殊的环表示成一个 nn 矩阵的集合。这类矩阵表示，不仅能第 2 页 共 11 页使数学家们把环理解成具体的，甚至是可以计算的问题，而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想。这种用矩阵集合表示环或群的方法，已经成为了当代数学、物理学，以及理论化学的一个重要组成部分。_摘自： 代数学集合、符号和思维的语言美约翰塔巴克著，商务印书馆，2007 年 7 月第 1 版环

4、 的 定 义在 非 空 集 合 R 中 ， 若 定 义 了 两 种 代 数 运 算 加 和 乘 ， 且 满 足 ： 1） 集 合 R 在 加 法 运 算 下 构 成 Abel 群 。 2） 乘 法 有 封 闭 性 ， 即 对 任 何 a R,b R， 有 ab R。 3） 乘 法 分 配 律 与 结 合 律 成 立 ， 即 对 任 何 a R， b R 和 c R， 有 a (b+c) =ab + ac (b+c)a = ba + ca (ab)c = a(bc) 我 们 则 称 R 是 一 个 环 。 一 个 环 同 样 有 几 个 最 基 本 的 性 质 ： 对 于 任 何 的 a R 和

5、 b R,有 a0 = 0a = 0。 a(-b) = (-a)b = -ab。 一 个 具 有 两 种 二 元 运 算 的 代 数 系 统 。 设 在 集 合 R 中 已 定 义 了 加 法 与 乘法 ， 而 R 在 加 法 下 是 一 个 交 换 群 ,且 乘 法 对 加 法 有 分 配 律 ， 则 R 称 为 一 个 非结 合 环 。 此 时 R 中 就 有 唯 一 的 零 元 素 ， 使 得 对 R 恒 有 + = ； R 中 每 个 有 唯 一 的 负 元 素 - ,使 +(- )= ,可 简 记 +(-b)为 -b。分 配 律 可 推 广 为 ： (b )= b ， (b ) =b

6、 ； 用 数 学 归纳 法 可 证 公 式第 3 页 共 11 页在 非 结 合 环 R 中 恒 有 ： = = ； (-b)=(- )b=- b； (- )(-b)= b； (n )b= (nb)=n b,其 中 、 b 为 R 中 任 意 元 素 ， n 为 任 意 整 数 。如 果 非 结 合 环 R 还 具 有 性 质 : 2= （ R） ， 且 雅 可 比 恒 等 式 成 立 ， 即在 R 中 恒 有 ( b) +(b ) +( )b= ， 那 么 R 称 为 一 个 李 环 。 如 果 非结 合 环 R 的 乘 法 适 合 交 换 律 ， 且 在 R 中 恒 有 ( )b =( )

7、(b )， 那 么 R 称 为 一 个 若 尔 当 环 。 在 非 结 合 环 的 研 究 中 ,李 环 与 若 尔 当 环 是 内 容 最 丰 富 的 两 个 分 支 。 如 果 非 结 合 环 R 的 乘 法 适 合 结合 律 ， 那 么 R 称 为 一 个 结 合 环 或 环 。 如 果 在 环 R 中 再 规 定 如 下 的 一 个 新 乘法 “。 ”（ 称 为 换 位 运 算 ） ： 。 b= b-b ， 那 么 R 对 原 来 的 加 法 与 新 有的 乘 法 是 一 个 李 环 ； 若 规 定 的 新 乘 法 为 “”（ 称 为 对 称 运 算 ） : b= b+b ， 则 R

8、便 成 一 个 若 尔 当 环 。 设 S 是 非 结 合 环 R 的 一 个 非空 子 集 ， 若 对 于 R 的 加 法 与 乘 法 ， S 也 构 成 一 个 非 结 合 环 ， 则 S 称 为 R 的 一 个 子 环 。 一 个 真 正 的 非 结 合 环 （ 即 其 中 有 三 个 元 素 在 相 乘 时 不 适 合 结 合律 ） 的 一 个 子 环 ， 有 可 能 是 一 个 结 合 环 。 非 结 合 环 R 的 若 干 个 子 环 的 交 ，仍 是 R 的 一 个 子 环 。 当 T 为 R 的 一 个 非 空 子 集 时 ， R 中 所 有 含 T 的 子 环的 交 显 然

9、是 R 中 含 T 的 最 小 子 环 ,称 之 为 R 的 由 T 生 成 的 子 环 。 如 果 非 结合 环 R 中 任 意 三 个 元 素 生 成 的 子 环 恒 为 结 合 环 ,那 么 R 已 经 是 一 个 结 合 环 ；如 果 R 中 任 意 两 个 元 素 生 成 的 子 环 恒 为 结 合 环 ,那 么 R 称 为 一 个 交 错 环 ;如果 R 中 任 意 一 个 元 素 生 成 的 子 环 恒 为 结 合 环 ,那 么 R 称 为 一 个 幂 结 合 环 。 在幂 结 合 环 中 ， 第 一 、 第 二 指 数 定 律 即 公 式恒 成 立 。 如 果 一 个 交 错

10、环 的 乘 法 还 适 合 交 换 律 ， 那 么 它 称 为 一 个 交 错 交 换环 。 在 交 错 交 换 环 中 ， 不 仅 有 第 一 、 第 二 指 数 定 律 成 立 ， 而 且 有 第 三 指 数 定律 即 第 4 页 共 11 页公 式成 立 ； 还 有 二 项 式 定 理 。 结 合 环 与 交 换 环 的 典 型 例 子 如 :F 上 的 n 阶 全阵 环 ,即 数 域 （ 或 域 ） F 上 的 所 有 n 阶 矩 阵 在 矩 阵 的 加 法 与 乘 法 下 构 成 的 一个 环 。 V 的 完 全 线 性 变 换 环 ， 即 F 上 的 一 个 向 量 空 间 V 的

11、 全 部 线 性 变 换 在变 换 的 加 法 与 乘 法 下 构 成 的 一 个 环 。 F 上 的 多 项 式 环 ， 即 F 上 一 个 或 若 干个 文 字 的 多 项 式 全 体 构 成 的 一 个 交 换 环 。 整 数 环 ， 即 全 体 整 数 构 成 的 一 个 交换 环 ； 全 体 偶 数 构 成 它 的 一 个 子 环 ， 称 为 偶 数 环 。 R 上 的 n 阶 全 阵 环 ,即 在任 意 一 个 环 R 上 的 全 部 n 阶 矩 阵 ,对 于 仿 通 常 矩 阵 的 运 算 定 义 的 加 法 与 乘 法构 成 的 环 ， 记 为 Rn。 【 0,1】 上 的 全

12、 实 函 数 环 ， 即 定 义 在 区 间 【 0,1】 上 的全 部 实 函 数 ， 对 于 函 数 的 加 法 与 乘 法 构 成 的 一 个 交 换 环 。 整 数 模 n 的 环 R奱 ， 即 模 n 剩 余 类 ， 对 于 剩 余 类 的 加 法 和 乘 法 构 成 的 一 个 交 换 环 。 它 是 只 含有 限 个 元 素 的 交 换 环 的 典 型 例 子 。 若 一 个 环 R 中 含 有 一 个 非 零 元 素 e ， 使 对 每 个 x R 有 ex=xe=x,则 e 称 为 R 的 一 个 单 位 元 素 。 一 个 环 若 有 单 位 元 素 ,则 它 必 然 是

13、唯 一 的 。设 R 是 一 个 含 有 单 位 元 素 的 环 , 是 R 中 一 个 元 素 ,若 R 中 有 元 素 b,使 b=b =e,则 b 称 为 的 一 个 逆 元 素 。 当 有 逆 元 素 时 ,其 逆 元 素 必 然 是唯 一 的 ,记 为 -1, -1 也 有 逆 元 素 ,而 且 就 是 ,即 ( -1)-1= 。 R 的 零元 素 必 无 逆 元 素 。 若 R 的 每 个 非 零 元 素 都 有 逆 元 素 , 则 R 称 为 一 个 体或 可 除 环 。 四 元 数 代 数 就 是 典 型 的 体 。 在 体 的 定 义 中 再 规 定 其 乘 法 适 合 交

14、换律 ， 就 是 域 的 定 义 。 理 想设 S 是 环 R 的 一 个 非 空 子 集 ， 所 谓 S 是 R 的 一 个 左 理 想 ， 意 即 S 是 R 作 为 加 法 群 时 的 一 个 子 群 ； 当 S,x R 时 ,则 x S。 若 有 x S,则 S 称 为 R 的 右 理 想 。 如 果 S 既 是 R 的 左 理 想 ， 又 是 R 的 右 理 想 ,则称 S 是 R 的 一 个 理 想 。 例 如 , 是 环 R 的 一 个 理 想 。 设 l1、 l2 都 是 环 R 第 5 页 共 11 页的 左 理 想 。 R 中 所 有 的 元 素 +b( l1,b l2)作

15、 成 R 的 一 个 左 理 想 ,并称 之 为 l1 与 l2 的 和 ,记 为 l1+l2。 R 中 所 有 的 有 限 和 公 式作 成 R 的 一 个 左 理 想 ,称 为 R 的 左 理 想 l1 与 l2 的 积 ,记 为 l1l2。 易 知R 的 左 理 想 的 加 法 适 合 交 换 律 与 结 合 律 ； R 的 左 理 想 的 乘 法 适 合 结 合 律 且 对加 法 有 分 配 律 。 对 于 R 的 右 理 想 的 加 法 与 乘 法 也 有 类 似 结 果 。 由 于 左 理 想与 右 理 想 的 对 称 性 ,因 此 以 下 关 于 左 理 想 的 讨 论 , 对 于 右 理 想 也 适 合 。 环 R 的 两 个 左 理 想 的 和 的 概 念 可 以 推 广 成 若 干 (有 限 或 无 限 )个 左 理 想 li 的 和li， 它 是 由 所 有 的 有 限 和 公 式所 构 成 的 。 如 果 这 些 li 均 非 零 , 而 且 在 li 中 每 个 元 素 = i 的 表 法 是 唯 一 的 ， 那 么 R 的 这 组 左 理 想 li(i i)称为 无 关 的 。 环 R 的 两 个 左 理 想 的 积 的 概 念 可 以 推 广 成 任 意 有 限 多 个 左 理 想l1， L2,， ln 的 积 l1