中科大量子力学散射

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1、1,Chapter.6 散 射,scattering,2,散射过程：,靶粒子的处在位置称为散射中心。,方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。,一 散射截面,3,散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。,弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。,入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。,散射截面：,一 散射截面 (续1

2、),4,设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显然,综合之，则有：,或 （1）,比例系数q(，)的性质：,q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是， 的函数,一 散射截面 (续2),5,q(，)具有面积的量纲,故称q(，)为微分散射截面，简称为截面 或角分布,如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面积q(，)，则单位时间内通过此截面的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。,（2）,一 散射截面 (续3),6,总散射截面：,注,由（2）式知，由于N、 可通过实验测定，故而求得 。,量子力学的任务是从理论上计算出

3、 ，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。,一 散射截面 (续4),7,二、散射振幅,现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。 取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态Schrdinger方程,（4）,令,方程（4）改写为,8,（5）,由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为 ，因此，在计算 时，仅需考虑 处的散射粒子的行为，即仅需考虑 处的散射体系的波函数。,设 时， ，方程（5）变为,（6）,二、散射振幅 (续1),9,将（6）式写成,在 的情形下，此方程简化为,此方程类似一维波动方程

4、。我们知道，对于一维势垒或势阱的散射情况,（8）,二、散射振幅 (续2),10,方程（8）有两个特解,式中 为入射波或透射波， 为散射波，波只沿一方向散射。,对于三维情形，波可沿各方向散射。三维散射时，在 处的粒子的波函数应为入射波和散射波之和。,二、散射振幅 (续3),11,因此,代表由散射中心向外传播的球面散射波， 代表向散射中心会聚的球面波，不是散射波，应略去。,在 处，散射粒子的波函数是入射平面波 和球面散射波 之和。即,（9）,二、散射振幅 (续4),12,散射波的几率流密度,入射波几率密度（即入射粒子流密度）,为方便起见，取入射平面波 的系数 ，这表明 ，入射粒子束单位体积中的粒子

5、数为1。,（10）,二、散射振幅 (续5),13,单位时间内，在沿 方向d立体角内出现的粒子数为,（13）,比较（1）式与（12），得到,（12）,（11）,二、散射振幅 (续6),14,下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近似方法。 分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。,由此可知，若知道了 ，即可求得 ， 称为散射振幅。所以，对于能量给定的入射粒子，速率 给定，于是，入射粒子流密度 给定，只要知道了散射振幅 ，也就能求出微分散射截面。 的具体形式通过求Schrdinger方程（5）的解并要求在 时具有渐近形式（9）而得出。,二、散射振幅 (续7),15,取沿

6、粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（3-1）的特解为,讨论粒子在中心力场中的散射。,（3-1）,粒子在辏力场中的势能为 ，状态方程,由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成,三、分波法,16,方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加,（3-2）,（3-2）代入（3-1），得径向方程,为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波， 称为第 个分波，通常称 的分波分别为s, p, d, f分波,（3-3）,三、分波法 (续1),17,（3-4）,考虑方程（3-4）在 情况下的极限解,令 方程（3-4）的极限形式,由此求得

7、：,（3-5）,三、分波法 (续2),18,为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数,将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在 情形下通解的渐近形式,（3-6）,三、分波法 (续3),19,另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数,（3-7）,（3-8）,式中jl(kr)是球贝塞尔函数,将平面波 按球面波展开,（3-9）,三、分波法 (续4),20,利用（3-8）、（3-9），可将（3-7）写成,（3-10）,（3-6）和（3-10）两式右边应相等，即,分别比较等式两边 和 前边的系数，得,三、分波法 (续5),21,（3-12）,（3-11）,可以得到,用 乘以（12

8、）式，再对从 积分，并利用Legradrer多项式的正交性,三、分波法 (续6),22,即 （3-13）,将此结果代入（3-11）式,（3-14）,三、分波法 (续7),23,可见，求散射振幅f()的问题归结为求 ，求 的具体值关键是解径向波函数 的方程（3-3）,由（3-8），（3-9）知， 是入射平面波的第 个分波的位相；由（3-6）知， 是散射波第 个分波的位相。所以， 是入射波经散射后第 个分波的位相移动（相移）。,的物理意义：,三、分波法 (续8),24,微分散射截面,（3-15）,总散射截面,三、分波法 (续9),25,即 （3-16）,式中 （3-17）,是第 个分波的散射截面。

9、,由上述看们看出：求散射振幅 的问题归结为求相移 ，而 的获得，需要根据 的具体情况解径向方程（3-3）求 ，然后取其渐近解，并写为,三、分波法 (续10),26,即可得到第 个分波的相移，由于每个分波都将产生相移 ，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法。,光学定理,（证明见后）,三、分波法 (续11),27,分波法求散射截面是一个无穷级数的问 题。从原则上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。,分波法的适用范围,散射主要发生在势场的作用范围内，若以散

10、射中心为心，以 为半径的球表示这个范围，则 时，散射效果就可以忽略不计了。,三、分波法 (续12),28,由于入射波的第 个分波的径向函数 的第一极大值位于 附近，当 较大时，愈大，,愈快，如果 的第一极大值位于 ，即 时，在 内， 的值很小。亦即第 个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第 个分波之前的各分波必须考虑。所以，我们把分波法适用的条件,三、分波法 (续13),29,写成 ，而 的分波不必考虑， 愈小，则需计算的项数愈小，当 时， ，这时仅需计算一个相移 即足够了， 足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射， 的分波散射截面可以略去。,三、分波法 (续14

11、),30,说明,已知 时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道 的具体形式，这时，我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。,三、分波法 (续15),31,思考题：什么是分波法？,分波法是说入射平面波eikz按球面波展开,展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移 。而 的获得需根据 的具体形式解径向方程,三、分波法 (续16),32,求出 ，然后取其渐近解，并写成,即可得到第 个分波的相移，由于每个分波都将产生相移 ，所以，计算散射截面时须寻找各

12、个分波的相移，这种方法称为分波法。,三、分波法 (续17),33,分波法应用举例,ex. 球方势阱和球方势垒的低能散射。,粒子的势能:,是势阱或势垒的深度或高度。设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比势场作用范围大很多（质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况），求粒子的散射截面。,Solve: 粒子的径向方程,（1）,三、分波法 (续18),34,其中,（2）,对于球方势阱,为粒子的能量， 为粒子在靶粒子中心力场中的势能。,（2）,因粒子波长,所以仅需讨论s波的散射 ，据此及（2）式，可将方程（1）写成,三、分波法 (续19),35,其中,（4）,（3）,令,则（3），（4）可写成,（5）

13、,三、分波法 (续20),36,（6）,其解为,（7）,（8）,于是,（9）,（10）,因 在 处有限，必须有,所以,三、分波法 (续21),37,在 处， 及 连续，因此， 及 在 处连续。由（7），（8）式得,总散射截面,（11）,（12）,由此求得相移,即,三、分波法 (续22),38,在粒子能量很低 的情况下， 。利用 时， ，有,（13）,（14）,对于球方势垒 。,这时，用 代替以上讨论中的 ，在粒子能量很低 的情况下，（13）变为,（15）,三、分波法 (续23),39,（14）写为,（16）,当 时 ，由于,代入（16）式，得,低能粒子经无限高势垒场的散射，其散射截面等于半径为

14、 的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的半径为 的硬球的最大截面面积 ，它是量子力学计算的结果的 。,三、分波法 (续24),40,四.玻恩近似,分波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题，当入射粒子的能量很高时，采用分波法计算散射截面就不恰当了，对于高能入射粒子而言，势能 可看作是微扰，体系的哈密顿算符为,其中， 是粒子的动能（自由粒子的哈密顿量），其本征函数取箱归一化的动量本征函数,41,粒子与散射力场的相互作用能：,这里，采用箱归一化意味着体积L3内只有一个粒子。于是，入射粒子流密度,单位时间内，散射到 方向立体角 内的粒子数,（1）,另一方面，入射粒子由于受

15、到靶粒子力场的微扰作用，从动量为 的初态 跃迁到动量 的末态 ，即,四.玻恩近似 (续1),42,对于弹性散射，动能守恒,单位时间内，粒子从初态 跃迁到动量大小为 ，方向为 的立体角 内所有末态上的几率，即跃迁几率,跃迁距阵元,（2）,（3）,四.玻恩近似 (续2),43,为动量大小为 方向角为 的末态数目（态密度）,（4）,将（3）、（4）代入（2）式，得出,（5）,此式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角d内的粒子数,（6）,四.玻恩近似 (续3),44,比较（1），（6）式，并注意到 ，立即可得,（7）,式中绝对值内保留负号是因为用格林函数法算出的散射振幅 有一负号。引入矢量,其中是散射角， 是散射引起动量的变化，于是,（8）,四.玻恩近似 (续4),45,取 的方向为球坐标的极轴方向， 为方位角，则可简化积分,（9）,因而,（10）,此式即为玻恩近似表达式，若势能 已知，计算积分后就可以求出微分散射截面，所以，应用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给出 的具体形式后，如何计算积分 。,四.玻恩近似 (续5),46,下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式。,四.玻恩近似 (续6),