《计量经济学第四章非线性回归模型的线性化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计量经济学第四章非线性回归模型的线性化（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第四章 非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如yt = 0 + 1 + uttxyt = 0 + utte1上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，在 20 世纪 40 年代之前几乎不可能实现。计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以线性化的
2、非线性模型。4.1 可线性化的模型 指数函数模型yt = (4.1)tubxaeb0 和 b 0) 图 4.2 yt = , (b 0 和 b 0) 图 4.4 yt = a + b Lnxt + ut , (b 0 情形的图形见图 4.7。x t 和 yt 的关系是非线性的。令 yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。其中 ut 表示随机误差项。图 4.7 yt = 1/ (a + b/xt ), (b 0) 图 4.8 yt = a + b/xt , (b 0)双曲线函数还有另一种表达方式，yt = a + b/xt
3、+ ut (4.11)b0 情形的图形见图 4.8。x t 和 yt 的关系是非线性的。令 xt* = 1/xt，得yt = a + b xt* + ut上式已变换成线性回归模型。例 4.2（P139 ，例 3.5 多项式方程模型一种多项式方程的表达形式是yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (4.12)其中 b10, b20, b30 和 b10, b30, b20 和 b1 0 情形的图形分别见图 4.13 和 4.14。美国人口统计学家 Pearl 和0Reed 广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Ree
4、d 曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中 k 和 0 分别为 yt 的生长上限5和下限。 = k, = 0。a, b 为待估参数。曲线有拐点，坐标为（ , ） ，曲tLimytiy aLnb2k线的上下两部分对称于拐点。图 4.13 yt = k / (1 + ) 图 4.14 yt = k / (1 + )tuabe tuabe为能运用最小二乘法估计参数 a, b，必须事先估计出生曲线长上极限值 k。线性化过程如下。当 k 给出时，作如下变换，k/yt = 1 + tuabe移项， k/yt - 1 = t取自然对数，Ln ( k/yt - 1) = Lnb - a t + ut (4.
5、18)令 yt* = Ln ( k/yt - 1), b* = Lnb, 则yt* = b* - a t + ut (4.19)此时可用最小二乘法估计 b*和 a。图 4.15 内地 5 月 1 日至 28 日每天非典数据一览 6 龚伯斯（Gompertz ）曲线英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长的一种数学模型，此模型可用来描述一项新技术，一种新产品的发展过程。曲线的数学形式是，yt = atbek图 4.15 yt = atbek曲线的上限和下限分别为 k 和 0， = k, = 0。a, b 为待估参数。曲线有拐点，tLimti坐标为（ , ） ，但曲线不对称于拐点。一般
6、情形，上限值 k 可事先估计，有了 kaLnbek值，龚伯斯曲线才可以用最小二乘法估计参数。线性化过程如下：当 k 给定时，yt / k = ， k/yt = tbeatbeLn (k/yt) = ， LnLn(k/yt) = Lnb - a t at令 y*= LnLn(k/yt), b* = Lnb，则y* = b* - a t 上式可用最小二乘法估计 b* 和 a。 Cobb-Douglas 生产函数下面介绍柯布道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数。其形式是Q = k L C 1- (4.24)其中 Q 表示产量；L 表示劳动力投入量；C 表示资本投入量；k 是常数；0 1，称模
7、型为规模报酬递增型；1 + 2 1，称模型为规模报酬递减型。对于对数线性模型，Lny = Ln0 + 1 Lnxt1 + 2 Lnxt2 + ut ， 1 和 2 称作弹性系数。以 1 为例，1 = = = = (4.28)1tLnxy1ttxy1/txy1txy可见弹性系数是两个变量的变化率的比。注意，弹性系数是一个无量纲参数，所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。对于线性模型，y t = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut ， 1 和 2 称作边际系数。以 1 为例，1 = (4.29)txy通过比较(4.28) 和(4.29) 式，可知线性模型中的回归系数（边际系数）是
8、对数线性回归模型中弹性系数的一个分量。例 4.1 （136P 例 3.4）略4.2 非线性化模型的处理方法模型： 无论通过什么变换都不可能实现线性化，对于这种模120byax型称为非线性化模型。可采用高斯牛顿迭代法进行估计，即将其展开泰勒级数后，再进行迭代估计方法进行估计。1、迭代估计法思想是：通过泰勒级数展开，先使非线性方程在某组初始参数估计值附近线性化，然后对这一线性方程应用 OLS 法，得出一组新的参数估计值。下一步是使非线性方程在新参数估计值附近线性化，对新的线性方程再应用 OLS 法，又得出一组新的参数估计值。不断重复上述过程，直至参数估计值收敛时为止。其步骤如下。81）对模型： 在
9、给定的参数初始值 b10,b20bp0 展1212(,)kpyfxbu 开泰勒级数：取前两项，便有线性近似：012102101(,)()()ioioj pkoiibpiojijijbfyfxf u 0121021011(,)()ioio iojpkoiobppi ijijijbbfyfxf u 2）将上式左端看成组新的因变量，将右端 看成一组新的自变量，这就已iobf经成为标准线性模型，再对其就用 OLS 法，得出一组估计值 。121,pb3）重复第一、二步，在参数估计值 附近再做一次泰勒级数展开，121,p得到新的线性模型，应用 OLS 法，又得出一组参数估计值： 。122,p4）如此反复，
10、得出一组点序列 直到其收敛为止。12,(,)jpjb 2、迭代估计法的 EViews 实现过程1）设定代估参数的初始值，方法有两种：A、使用 Param 命令设定，例如，Param 1 0.5 2 0 3 0 则将待估的三个参数的初始值设成了 0.5，0，0.B、在工作文件窗口中双击序列 C，并在序列窗口直接输入参数的初始值。2）估计参数A、命令方式在命令窗口可以直接键入非线性模型的迭代估计命令 NLS。格式为：NLS 被解释变量，= 非线性函数表达式例如，对于非线性回归模型 估计命令为xbyaucNLS y=c(1)*(x-c(2)/(x-c(3)B、菜单方式。9在数组窗口“procsmak
11、e epuation；在弹出的方程描述对话框中输入非线性回归模型的具体形式；y=c(1)*(x-c(2)/(x-c(3)选择估计方法为最小二乘法后单击（OK）例 (P146 例 3.7) 略4.3 回归模型的比较当经济变量呈现非线性关系时，经常可以采用多个不同数学形式的非线性模型。如何选择？1、图开观察分析1）观察被解释变量和解释变量的趋势图。2）观察被解释变量和解释变量的相关图2、模型估计结果分析1）回归系数符号和大小是否符合经济意义，2）改变模型后，是否使决定系数的值明显提高。3）T 检验与 F 检验。3、残差分析残差反映了模型未能解释部分的变化情况。1）残差分布表中，各期残差是否大都落在
12、 的虚线内。2）残差分布是否具有某种规律性。3）近期的残差分析情况。例 1：此模型用来评价台湾农业生产效率。用台湾 1958-1972 年农业生产总值（y t） ，劳动力（x t1） ，资本投入（ xt2）数据（见表 4.1）为样本得估计模型，= -3.4 + 1.50 Lnxt1 + 0.49 Lnxt2 (4.30)tLny(2.78) (4.80) R2 = 0.89, F = 48.45还原后得，= 0.713 xt11.50 xt20.49 (4.31)ty因为 1.50 + 0.49 = 1.99，所以，此生产函数属规模报酬递增函数。当劳动力和资本投入都增加 1%时，产出增加近 2
13、%。例 2：用天津市工业生产总值（Y t） ，职工人数（L t） ，固定资产净值与流动资产平10均余额（K t）数据 (1949-1997) 为样本得估计模型如下：Ln Yt = 0.7272 + 0.2587Ln Lt + 0.6986 LnKt(3.12) (3.08) (18.75) R2 = 0.98, s.e. = 0.17, DW = 0.42, F = 1381.4因为 0.2587 + 0.6986 = 0.9573，所以此生产函数基本属于规模报酬不变函数。例 3：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（摘自数理统计与管理1988.4, p.16）某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质
14、指标。经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等。通过正交试验的方法发现铁是影响硫酸透明度的最主要原因。测量了 47 个样本，得硫酸透明度（y）与铁杂质含量（ x）的散点图如下(file:nonli01)：（1） y = 121.59 - 0.91 x(10.1) (-5.7) R2 = 0.42, s.e. = 36.6, F= 32（2） 1/y = 0.069 - 2.37 (1/x)(18.6) (-11.9)R2 = 0.76, s.e. = 0.009, F= 142（3）y = -54.40 + 6524.83 (1/x)(-7.2) (16.3)R2 = 0.86, s.e. = 18.2, F= 266（4）Lny = 1.99 + 104.5 (1/x)(22.0) (21.6)R2 = 0.91, s.e. = 0.22, F= 468还原，Lny = Ln(7.33) + 104.5 (1/ x)y = 7.33
