中国石油大学,高等电路分析课件

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1、第1章 电路方程的矩阵形式,图论的基本概念 割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 支路方程的矩阵形式 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式,图论是拓扑学的一个分支，是应用广泛的一门学科。最早由瑞士数学家欧拉提出，并应用图论的方法讨论了哥尼斯堡七桥难题，见图a和图b所示。,如今图论已广泛应用于电路网络、理论物理和统计力学、化学领域、心理学领域以及经济学领域。, 1-1 图论的基本概念,1、电路的拓扑图（Topological graph） 不考虑元件性质，仅用点和线段表示电路结构的图(G)。,电路的图与大家熟知的电路图的那个“图”

2、不同。电路的图通常用G表示，它没有任何电路元件，只有抽象的线段（把它画成直线或曲线都无关紧要）和点。,对一个给定的电路，很容易画出它的图，但是从电路的图不可能画出它的原电路。 因此，画图的目的是表达给定电路的结点和支路的互相链接的约束关系，即所谓电路的拓扑结构。 移去支路不意味着移去结点，但移去结点必须移去与之相连的所有支路，因此可以存在孤立结点。,2、有向图：标有电流或电压参考方向的图。反之称无向图。,3、连通图：如果在图的任意两结点之间至少存在一条由支路构成的路径，则这样的图称连通图。反之称非连通图。,4、子图：若图G1中的每个结点和支路都是另一图G中的一部分结点和支路，称图G1为图G的子

3、图。,5、树T：连通图G的一个子图，满足下列条件称“树”： 不含任何回路 包含G全部结点 连通子图,No T,结论：, 当选定一个树后，支路分两类： 其一，树支：构成树的支路； 其二，连支：除去树支以外的支路。 若电路的结点数为n，尽管树的形式很多，但 树支数必为（n-1）。 若一个图有n个结点，则该图共有nn-2种树。,6、回路（Loop）：构成闭合通路的支路集合。,如：回路: （1、3、4）,4,6,1,2,3,5,7,8,9,如：基本回路: （7、6、4）,（2、3、5）,（7、9）,（1、2、7、8）,（1、3、6、7）,7、基本回路（单连支回路）：仅含有一个连支，其余均为树支的回路称

4、基本回路。,证明：一个具有n结点，b条支路的连通图G ： 若任取一种树后，必有（n-1）个树支、 b-(n-1) 个连支。由于每一个连支唯一对应着一个基本回路， 所以必有 b-(n-1)个基本回路。,结论：,定理：一个具有n个结点和b条支路的连通图G，若任取一种树T，必有 b-(n-1)个基本回路。,8、平面电路：除结点外，无任何支路相交叉的电路。,9、网孔：平面图的一个网孔是它的一个自然 “孔”， 它限定的区域内不再有支路。,定理：若连通平面电路具有b条支路、n个结点，则它具有的网孔数为 m= b-(n-1)。,平面图的全部网孔是一组基本回路，所以平面图的网孔数也就是基本回路数。,5,结论：

5、,a: -i1+i5 -i6=0 b: i1+i2 +i3=0 c: -i2-i5 +i4=0 d: -i3-i4 +i6=0,以上4个方程不是相互独立的。任意去掉1个结点，剩下3个结点的KCL方程必是相互独立的。,结论：一个具有n个结点的连通图G，在任意(n-1)个结点上可列出(n-1)个独立的KCL方程。这(n-1)个结点称为独立结点。,u1+ u3+ u6 =0,u2 + u4 u3 =0,u1+ u2+ u4 + u6 =0,这3个方程不是相互独立的；,以选取1、2、3作树支为例：,这3个基本回路方程是相互独立的,结论：一个具有n个结点、b条支路的连通图G，必有b-(n-1)个基本回路

6、（独立回路），可列b-(n-1)个独立的KVL方程。,一个有n个结点、b条支路的连通图G，具有N=n-1个独立结点和L=b-(n-1)个独立回路，必能建立起n-1个独立的KCL方程和b-(n-1)个独立的KVL方程。,综上所述：,12、独立结点及独立回路的选择方法,独立结点：去掉n个结点中的一个，其余结点都是独立的。,独立回路： 1.观察法： （1）选择第1个回路，这个回路必是独立的。 （2）选择第2个回路，该回路中至少要有一条“新”的支路。 （3）依次类推，选择第k个回路，该回路中至少要有一条 “新”的支路。,2.基本回路（单连支回路）法：首先选择一种树，确定单连支回路，则 b-(n-1)个

7、单连支回路是独立的。 3.网孔选择法：选择每个网孔作独立回路，网孔数为b-(n-1)。,R11il1 +R12 il2 +R1l ill = us11 R21il1 +R22 il2 +R2l ill = us22 Rl1il1 +Rl2 il2 +Rll ill = usl l,对于具有n个结点，b条支路的电路，如果选择一组基本回路，则有:,注意： 自阻 Rkk总是正的。 互阻 Rjk（jk）的正负，取决于两回路电流在共有支路上参考方向是否相同，相同时为正，反之为负； 电压源方向与回路方向一致时，uskk取负号，反之取正号。（就方程右边而言）,回路电流法的一般形式,例：已知R1=1 ，R2=

8、2，R3=3 ，R4=4 ，IS5=6A，IS6=6A，用回路电流法求各支路电流。,IL1=IS5= 6A IL2 =IS6= 6A (R1R2R3)IL3R1IL1R3IL2 = 0,I1,I4,R4,R3,I3,R2,I2,IS6,IS5,解：电路含两个电流源，选支路1、3、4为树支，回路电流及方向如图，此时再列一个回路方程：,代入数据解得 IL3 = 2A,G11un1+G12 un2 + +G1k unk +G1NunN = is11 G21un1 +G22 un2 + +G2k unk +G2NunN = is22 GN1un1+GN2 un2 + GNkunk +GNNunN =

9、isNN,注意： 自导Gkk（与结点k相连的所有支路的电导和），恒为正。 互导Gjk（jk，即跨接在结点j、k之间所有支路的电导之和），恒为负。 iskk是所有电流源（含等效变换后的）的代数和，凡参考方向流入结点k的取正号，反之取负号。,结点电压方程的一般形式,1)规范形式：,2V,1,1,9A,0.5,0.5,0.5,1A,4A,un1,un2,un3,+,方法1 增设未知变量，补列附加方程。,2）无伴电压源,方法2：可选择电压源的一端作为参考点，另一端的结点方程便可省略。,un1 = 2,如图选取参考结点，则有：,2V,1,1,9A,0.5,0.5,0.5,1A,4A,+,3）若含2个或2

10、个以上电压源， 不连接在同一结点上。同时使用方法1、方法2。, 1-2 割集,割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： 1） 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； 2）保留Q 中的任一条支路，其余都移去， G还是连通的。,在连通图G 上作闭合面，与闭合面相切割的所有支路 构成一个割集（ 移去这些支路， G 被分为两部分）。,一、割集的概念,2、割集的判断方法,1、割集的概念,Q3: 1 , 5 , 2 ,Q2: 1 , 4 ,6,Q1: 2 , 3 , 6 ,Q6: 1 , 5 ,3 , 6 ,Q5: 2，4，5，6,Q4: 3 ,4 , 5 , 1 ， 4 ，5，6,Q7:

11、1，2 ，3，4 , 1，2 ，3，4 ，5,1，2，3，4,保留4支路，图不连通的。,练习：,对于图（a）、（b），与用虚线画出的闭合面S相切割的支路集合是否构成割集？为什么？,（a） （b）,不是割集 图被分离成3部分。,不是割集 图被分离成3部分。,KCL方程适用于任何一个闭合面, 属于同一割集的所有支路的电流满足 KCL。 若一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，割集的 KCL 方程即变为结点上的 KCL 方程。 独立割集：一组线性独立的 KCL 方程对应的割集。,二、独立割集,选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集。 因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的。 连通图

12、的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。 因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成 T1 和 T2 两部分，于是联结 T1 和 T2 的那些连支和这条树支必构成一个割集。,利用“树”寻找独立割集,连支l1、 l2、 l3和单树支t1构成一个割集 同理，每一条树支都可以与相应的一些连支构成割集 单树支割集（基本割集） 一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。,2、判断方法,Q,t1,2,3,4,5,6,7,n 个结点和 b 条支路的连通图，其树支数为( n -1)， 有(n -1)个单树支割集，称为基本割集组。 n个结点的连通图，独立割集数为( n -1) 。

13、连通图有许多不同的树，可选出许多基本割集组。,Q1,Q4,Q2,Q3,选2、3、4、6为树：,Q1,Q2,Q3,Q4,Q1,Q2,Q3,Q4,选5、6、7、8为树：,选3、5、6、7为树：,三、割集电压分析法,对电路进行割集分析，求树支电压，步骤如下： 1、画出有向图，选择一个树，画出割集，而后将基尔霍夫电流定律用于割集； 2、利用欧姆定律，以导纳和支路电压的乘积来取代全部支路电流变量； 3、将连支电压用树支电压的组合表示； 4、把步骤2和3的结果代入步骤1的电流方程组，得到以树支电压为变量的割集方程组，求出树支电压。,例 求图示电路的树支电压。,解：步骤1：画出有向图，选择一个树，如图示蓝线

14、， 画出割集，由于割集与为电压源支路而不予考虑，应用基尔霍夫电流定律得,1,2,4,5,3,6,7,8,9,割集的方向：割集所含树支的参考方向。,步骤2：对各支路应用欧姆定律,步骤3：用树支电压表示连支电压,步骤4：把步骤2和3的结果代入步骤1的电流方程组，得到：,求出树支电压，得：,以树支电压为待求变量建立方程求解电路。,独立性：树中不含有任何回路，不满足KVL约束，所以任一树支电压都不能表示为其他树支电压的线性组合，因此树支电压是独立的； 完备性：基本回路为单连支回路，已知树支电压就可以求出连支电压，所以各支路电压均可由树支电压来表示。,割集电压分析法,对于具有m个独立割集的电路，割集方程

15、组的一般形式为：,注意： Ykk是割集k所有的导纳和，称自导纳，恒为正。 Yjk(jk)是割集j、k 的公共导纳和，称互导纳，互导纳的正负，取决于两割集在共有支路上的方向是否相同，相同时为正，方向相反时为负。 iskk为支路电流源之和，电流源方向与割集方向相反取正，反之取负。,分析中可将电压源和电阻的串联组合看成为一个支路,分析方法,自导纳：一个割集中所有 导纳之和，取正号,方程左边：,方程右边：,独立电流源支路电流之和， 与割集方向相反取正号,互导纳：两割集公共导纳之和，割集方向相同取正号,应用结点电压法的最大困难是如何处理含无伴独立电压源电路。 方法1： 增设未知变量，补列附加方程。 方法2：可选择电压源的一端作为参考点，另一端的结点方程便 可省略。 若含2个或2个以上电压源，且不在同一结点上。 同时使用方法1、方法2 对含有n个无伴独立电压源的电路，使用割集法分析， 选择这些支路电压作为变量，就可以少列n个电路方程。,例 求电压un2。,解：结点电压法,附加方程,解得,割集分析法,解得 un2=12V,Q1,Q3,Q2,Q3: