第一章逻辑代数基础(2)剖析

《第一章逻辑代数基础(2)剖析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章逻辑代数基础(2)剖析（129页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第一章 逻辑代数基础 （续1）,1.2 逻辑代数基础,基本内容和要求,掌握逻辑关系的描述方法及其相互转换。,掌握逻辑代数中的基本定律和定理。,1.2.1 基本逻辑运算 1、逻辑代数 逻辑代数(Logic Algebra)是按一定逻辑规律进行运算的代数，是由英国数学家George Boole于1849年首先提出，因此又称布尔代数(Boolean Algebra)。 1938年Claude E.Shannon将布尔代数应用到继电器开关电路的设计中，因此又称开关代数(Switching Algebra)。 逻辑代数是分析逻辑电路不可缺少的有力工具，也是进行逻辑设计的理论基础。,Claude Elwo

2、od Shannon 美国数学家，美国全国科学院院士,信息论的创始人。1916年4月30日生于美国密歇根州盖洛德城。1936年在密歇根大学毕业获理学士学位，1940年在麻省理工学院获理学硕士和哲学博士学位。19411956年间任贝尔电话实验研究所数学研究员。1956年到麻省理工学院任教，先后担任客座教授、教授，1958年后为终身教授。19571958年间还担任过斯坦福行为科学高级研究中心的研究员。1956年当选为美国全国科学院院士。他是美国无线电工程师学会和美国数学会的高级会员。曾获电气和电子工程师学会(IEEE)的诺布尔奖，美国无线电工程师学会的利布曼奖，富兰克林学会的巴兰坦奖章(1955)

3、，美国全国研究协会奖(1956)和哈维奖。,香农在1948年发表通信的数学理论，1949年发表噪声中的通信。这两篇著名论文奠定了信息论的基础。1949年发表保密系统的通信理论，使他成为密码学的先驱。他的博士论文关于类的古典布尔代数方法在电工开关系统研究中的应用，是数字控制系统和计算机科学的先驱工作。,2、逻辑函数的基本概念 具有“真”与“假”两种可能，并且可以判定其“真”、 “假”的陈述语句叫逻辑变量，一般用英文大写字母A，B， C， 表示。例如，“开关A闭合着”，“电灯F亮着”， “开关D开路着”等均为逻辑变量，可分别将其记作A，F，D； “开关B不太灵活”， “电灯L价格很贵”等均不是逻辑

4、变量。,逻辑变量只有“真”、 “假”两种可能，在逻辑代数中，把“真”、 “假”称为逻辑变量的取值，简称逻辑值，也叫逻辑常量。通常用“1”表示“真”，用“0”表示“假”，或者相反。本课程中，若不作特别说明，“1”就代表“真”，“0”就代表“假”。虽然“1”和“0”叫逻辑值或逻辑常量，但是它们没有“大小”的含义，也无数量的概念。它们只是代表逻辑“真”、“假”的两个形式符号。 ,一个结论成立与否，取决于与其相关的前提条件是否成立。结论与前提条件之间的因果关系叫逻辑函数。通常记作： F=f(A, B, C, ) 逻辑函数F也是一个逻辑变量，叫做因变量或输出变量。 因此它们也只有“1”和“0”两种取值，

5、相对地把A， B， C， 叫做自变量或输入变量。,3、基本逻辑运算 逻辑运算是逻辑思维和逻辑推理的数学描述。 逻辑代数中最基本的逻辑运算有与逻辑(AND)、或逻辑(OR)、非逻辑(NOT) 三种，它们可以由相应的逻辑门来实现，称为基本逻辑门。,(1) 与逻辑(与运算、 逻辑乘) 决定某一结论的所有条件同时成立，结论才成立，这种因果关系叫与逻辑，也叫与运算或叫逻辑乘。,例如，对图1.2.1所示电路，其功能可作如下描述：“开关A闭合，并且开关B闭合，则电灯F亮”。,图 1.2.1 与门逻辑电路实例图,上述三个陈述语句均具有“真”、“假”两种可能， 其对应关系可用表1.2.1(a)表示。,表 1.2

6、.1 与逻辑的真值表,如果用“1”代表逻辑“真”，用“0” 代表逻辑“假”，则表1.2.1(a)可改为表1.2.1(b)的形式。这种表格叫真值表。所谓真值表，就是将输入变量的所有可能的取值组合所对应的输出变量的值一一列出来的表格。它是描述逻辑功能的一种重要形式，需要熟练掌握。,由表1.2.1可知，上述三个语句之间的因果关系属于与逻辑。 其逻辑表达式(也叫逻辑函数式)为： F=AB 读作“F等于A乘B”。在不致于混淆的情况下，可以把符号“”省掉。 由表1.2.1的真值表可知，逻辑乘的基本运算规则为： 00=0 01=0 10=0 11=1 0A=0 1A=A AA=A,实现“与运算”的电路叫与门

7、，其逻辑符号如图1.2.2所示，其中，图(a)是我国常用的传统符号，图(b)为国外流行符号，图(c)为国家标准符号。,图 1.2.2 与门逻辑符号,(2) 或逻辑(或运算、逻辑加) 决定某一结论的所有条件中，只要有一个成立， 则结论就成立，这种因果关系叫或逻辑。 ,以图1.2.3所示开关控制灯亮为例，定义：开关A、B闭合为“真”，断开为“假”，灯F亮为“真”，灭为“假”。,真值表如表1.2.2所示。 由表1.2.2可知，其逻辑表达式为： F=A+B 读作“F等于A加B”。,表 1.2.2 或逻辑的真值表,同时，由表1.2.2的真值表可知，逻辑加的运算规则为： 0+0=0 0+1=1 1+0=1

8、 1+1=1 0+A=A 1+A=1 A+A=A 实现“或运算”的电路叫或门， 其逻辑符号如图1.2.4所示。,图 1.2.4 或门逻辑符号,(3) 非逻辑(非运算，逻辑反) 若前提条件为“真”，则结论为“假”； 若前提条件为“假”， 则结论为“真”。即结论是对前提条件的否定， 这种因果关系叫非逻辑。 ,例如，对图1.2.5(a) 所示电路的功能作如下描述： “若开关A断开， 则电灯F就亮”。 ,把以上两个陈述句分别记作A、 F，则其真值表如表1.2.3所示。,表 1.2.3 非逻辑的真值表,由表1.2.3的真值表可知，上述两个语句之间的因果关系属于非逻辑，也叫非运算或者叫逻辑反。其逻辑表达式

9、为： 读作“F等于A非”。 通常称A为原变量， 为反变量， 二者共同称为互补变量。 完成“非运算”的电路叫非门或者叫反相器，其逻辑符号分别如图1.2.5(b)、(c)、(d)所示。,非运算的规则是：,对于非门来说，输入信号和输出信号永远具有相反的逻辑值。 因而，非门又称为反向器(Inverter)。,1.2.2 常用复合逻辑 除上述三种基本逻辑运算外，还常采用一些复合逻辑运算，例如：与非(NAND)、或非(NOR)、与或非(AND OR NOT)、异或(XOR)和同或(XNOR)逻辑运算等。 因此，任何复杂的逻辑运算都可以通过这些基本逻辑运算来实现。,1、 “与非”逻辑 “与非”逻辑是“与”逻

10、辑和“非”逻辑的组合。 先“与”再“非”。 其表达式为,实现“与非”逻辑运算的电路叫“与非门”，其逻辑符号如图1.2.6所示。表1.2.4是其真值表。,图 1.2.6 与非门的逻辑符号 常用符号； (b) 国外流行符号； (c) 国标符号,表 1.2.4 与非逻辑真值表,2、 “或非”逻辑 “或非”逻辑是“或”逻辑和“非”逻辑的组合。 先“或”后“非”。 其表达式为：,实现“或非”逻辑运算的电路叫“或非门”。其逻辑符号如图1.2.7所示。表1.2.5是其真值表。,图 1.2.7 或非门的逻辑符号 (a) 常用符号； (b) 国外流行符号； (c) 国标符号,表 1.2.5 或非逻辑真值表,3、

11、 “与或非”逻辑 “与或非”逻辑是“与”、 “或”、 “非”三种基本逻辑的组合。 先“与”再“或”最后“非”。 其表达式为：,实现“与或非”逻辑运算的电路叫“与或非门”。其逻辑符号如图1.2.8所示。逻辑真值表见表1.2.6。,图 1.2.8 与或非门的逻辑符号 (a) 常用符号； (b) 国外流行符号； (c) 国标符号,表 1.2.6 与或非逻辑真值表,4、“异或”逻辑和“同或”逻辑 (1) 两变量的“异或”和“同或”逻辑 若两个输入变量A、B的取值相异，输出变量F为1；若A、B的取值相同，F为0，其真值表如表1.2.7所示，这种逻辑关系叫作“异或”逻辑，其逻辑表达式为： 读作“F1等于A

12、异或B”。,表 1.2.7 “异或”和“同或”逻辑真值表,实现“异或”运算的电路叫“异或门”，其逻辑符号如图1.2.9所示。,图 1.2.9 异或门的逻辑符号 (a) 常用符号； (b) 国外流行符号； (c) 国标符号,从异或逻辑真值表可以得到：,若两个输入变量A、B的取值相同，输出变量F2为1； 若A、B取值相异，F2为0。这种逻辑关系叫“同或”逻辑，也叫“符合”逻辑。其真值表如表1.2.7所示。逻辑表达式为：,实现“同或”运算的电路叫“同或门”。 其逻辑符号如图1.2.10所示。,图 1.2.10 同或门的逻辑符号 (a) 常用符号； (b) 国外流行符号； (c) 国标符号,从同或逻辑

13、真值表可以得到： 00 = 1， 01 = 0， 10 = 0， 11 = 1 A0 = ， A1 = A，A = 0，AA = 1,反函数的定义：对于输入变量的所有取值组合，函数F1和F2的取值总是相反，则称F1和F2互为反函数。记作：,由表1.2.7可知，两变量的“异或逻辑”和“同或逻辑”互为反函数。即,(2) 多变量的“异或”及“同或”逻辑 多变量的“异或”或“同或”运算，要利用两变量的“异或门”或“同或门”来实现。实现电路分别如图1.2.11和图1.2.12所示。,图 1.2.11 多变量的“异或”电路,图 1.2.12 多变量的“同或”电路,多变量的“异或”及“同或”逻辑功能，必须以

14、两变量的“异或”及“同或”逻辑的定义为依据进行推证。 将0, 1值代入多变量的异或式中可得出如下结论。 (a) 奇数个“1”相异或结果为1；偶数个1相异或结果为0。利用此特性，可作为奇偶校验码校验位的产生电路, 也可以用作奇校验码的接收端的检测电路。 当它输出“0”时， 表示输入代码有错码； 当它输出“1”时， 表示输入代码基本无错码。该电路也可用于偶校验码产生电路和偶校验码错码检测， 只是其输出值“1”和“0”的含义与检测奇校验码时相反。,(b) 偶数个变量的“同或”，等于这偶数个变量的“异或”之非。如： AB= ABCD= 奇数个变量的“同或”，等于这奇数个变量的“异或”。如：,ABC=,

15、5、逻辑运算的优先级别 逻辑运算的优先级别决定了逻辑运算的先后顺序。 在求解逻辑函数时， 应首先进行级别高的逻辑运算。 各种逻辑运算的优先级别， 由高到低的排序如下： 长非号是指非号下有多个变量的非号。,6、逻辑运算的完备性 “与”、 “或”、 “非”是逻辑代数中三种最基本的逻辑运算。 任何逻辑函数都可以用这三种运算的组合来构成, 即任何数字系统都可以用这三种逻辑门来实现。 因此， 称“与”、 “或”、 “非”是一个完备集合， 简称完备集。,但是，它不是最好的完备集，因为用它实现逻辑函数，必须同时使用三种不同的逻辑门，这对数字系统的制造、维修都不方便。可以证明，“与非”、 “或非”、 “与或非

16、”这三种复合运算中的任何一种都能实现“与”、 “或”、 “非”的功能， 即这三种复合运算各自都是完备集。 因此，利用“与非门”、 “或非门”、 “与或非门”中的任何一种， 都可以实现任何逻辑函数， 这给数字系统的制造、 维修带来了很大的方便。,1.2.3 逻辑代数的基本定律、公式和规则 1、逻辑函数的相等 设F(A1，A2，An)，G(A1，A2，An)均为变量 A1，A2，An的逻辑函数。 若对应于A1，A2，An的任何一组取值，F和G的值都相同，即F 和G的真值表相同，则称F和G是相等的(或等值的、等价的)，记作F = G。,反之，若F = G，则它们有相同的真值表。 要证明两个逻辑函数相等，只要分别列出它们的真值表，如果完全一样，则两个逻辑函数相等。,【例】 设F(A，B)=