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1、专 题 篇,C1. 流体的平衡,C2. 不可压缩无粘性流体平面势流,C3. 不可压缩粘性流体内流,C4. 不可压缩粘性流体外流,C5. 可压缩流体流动基础,C1.2 流体平衡微分方程,C1.2.1 欧拉平衡方程,由N-S 方程,可得欧拉平衡方程,常数时，直接求解,，联立求解,C1.2.1 欧拉平衡方程(2-1),C1.1 引言(工程背景),C1.2.1 欧拉平衡方程(2-2),由欧拉平衡方程,称为压强全微分式，表示体积力在任何方向 的投影为该方向的压强增量。,设密度分别为1 和2 的两种互不相混的液体放在同一容器中，试证明当它们处于平衡状态时其分界面必为等压面。,例C1.2.2 两种液体的分界
2、面：等压面,解： 在分界面上任取相邻 d r 的两点 A 和 B ，dp = pA- pB 。,两式分别除以1 和2 ，再相减可得,由于12，要使上式成立, 只有dp = 0，证明分界面必为等压面。,C1.2.2 等压面,沿等压面 压强增量为零，即 。或,称为等压面微分方程式，上式表明体积力处处与等压面垂直。,静止流体中等压面为水平面;绕垂直轴旋转的流体中，等压面为旋转抛物面。,C1.2.2 等压面,C1.2.3 流体平衡的条件,即体积力必须有势： 为势函数,上式成立的充分必要条件是,对均质流体， = 常数, 压强全微分式化为,重力是有势力,因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。,C1.2.3
3、 流体平衡的条件(2-1),C1.2.3 流体平衡的条件(2-2),对正压流体，=(p),引入一个压强函数,上式成立的充要条件也是体积力必须有势。因此正压流体在重力场中也能保持平衡状态。,3. 对斜压流体=(p，T)，可以证明不能在重力场中保持平衡。如赤道和极地的大气，大范围的海水等。,均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）在平衡时，等压面、等势面、等密度面三者重合：,例C1.2.3 贸易风：流体平衡条件,形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南吹的风称为贸易风。,用于静止流体,上式适用于全流场，表示总势
4、能守恒。若写成,表示总水头保持不变。,(a) , (b) 式均称为流体静力学基本方程。适用条件：连通的同种均质重力流体。,将伯努利方程,C1.3 流体静力学基本方程,(b),C1.3 流体静力学基本方程(2-1),流体静力学基本方程的常用形式为,说明两点的测压管水头相等。,C1.3 流体静力学基本方程(2-2),当 保持不变时， 改变引起 同时改变，这就是帕斯卡原理.,C1.4 均质液体相对平衡,当液体以等加速度a 作直线运动或以等角速度（向心加速度 )旋转并达到稳定时，液体象刚体一样运动，N-S方程,fg 为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同，f = fg a 也是有势力。符合平衡条件，称为液
5、体的相对平衡。,设液体以等加速度a 沿水平方向作直线运动,体积力分量,f x = -a , f y = 0 , fz = -g,C1.4 均质液体相对平衡(3-1),C1.4.1 等加速直线运动(3-2),由压强全微分式积分得压强分布式,设坐标原点在液罐底部中点， 静止时的液位为z 0 , 即 x = 0，z = z 0 ，p = p 0,，可得C = p 0+g z 0,压强分布式为,压强分布,C1.4.1 等加速直线运动(3-3),由dp = (adx+gdz) = 0 ，等压面方程为,C不同时得一簇平行斜平面，自由液面(x = 0 , z = z 0 )上C = g z 0 。,设自由液
6、面垂直坐标为z s ，方程为,等压面,或,代入压强分布式，令h = zsz ，可得,证明在垂直方向压强分布规律与静止液体一样。,设液体以等角速度绕中心轴z 轴旋转,体积力,压强分布,积分得,设坐标原点在底部中点，自由液面最低点的坐 标r = 0，z = z0 ，压强p = p0 ,可得C = p0+g z0 .压强分布式为,C1.4.2 等角速度旋转运动,fx=2x ，fy=2y ，fz= g,C1.4.2 等角速度旋转运动(2-1),C1.4.2 等角速度旋转运动(2-2),等压面,代入压强分布式，令h = zs- z ，可得,由,积分得,证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。,C
7、不同值时得一簇旋转抛物面。自由液面(r = 0，z = z0)上C =g z0。设自由液面垂直坐标为s ，方程为,例C1.4.2 匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-1),已知: 一封闭圆筒，高H = 2m，半径R=0.5m，注水高H0 = 1.5 m，压强为 p0=1000 N /m2。圆筒开始旋转并逐渐加速,求: (1）当水面刚接触圆筒顶部时的1、pc1 (中心) 及pw1 (边缘) ；,(1)当边缘水位刚达顶部时，由自由面方程式,(2 ) 当气体刚接触圆筒底部的2、pc 2 及pw 2。,解：,建立坐标系Oxyz ,原点O在底部中心，静止时 z 0 = H 0 。,取 r = 0.5 m
8、, zs = 2 m, z0 =1 m,例C1.4.2 匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-2),pc1= p 0 + g z0 = 1000 + 98071 = 10806 N/m2,p w1= p 0+g H =1000 + 98072 = 20612 N/m2,(2)当气体接触圆筒底部时，设顶部液面线的半径为r2，由空气容积不变,例C1.4.2 匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-3),在自由面方程中z 0 = 0，z s = 2 m，r = 0.53 m,C1.5 均质液体对平壁的总压力,工程 背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；结构强度，安全性能，运动规律等。,条件：均质液体，体积力
9、为重力。,图示斜平壁和坐标系Oxy , O点在自由液面上，y轴沿斜平壁向下。,在面积A上取面元dA ，纵坐标y ，淹深为,C1.5 均质流体对平壁的压力(2-1),作用在dA 和A上的总压力,在几何上面积A 对x 轴的面积矩,pc 为形心压强。表明作用在面积A上的总压力大小等于形心压强乘以面积 。,C1.5.1 平壁总压力大小(2-2),设压强中心为D，由力矩合成法则,1、积分法,总压力,设面积惯性矩,可得,C1.5.2 平壁总压力作用点(4-1),C1.5.2 平壁总压力作用点(4-2),建立辅助坐标系 ,由平行移轴定理,f 称为压强中心对形心的横向偏心距,当图形对称时为零。,称为压强中心对
10、形心的纵向偏心距。同理可得,例C1.5.2 矩形平壁总压力：积分法(2-1),已知: 矩形闸门长宽= lb = 42m2, b边与自由液面平行, l 边=30。,求: 闸门顶边分别位于(1)水面内；(2)水下H = 2 m深处时的水总压力F大小和压强中心D的纵向偏心距e 。,解： 坐标系Oxz ，x轴位于自由面中，y 轴沿闸门纵轴向下,(1) 闸门顶边位于水面内,y c1= l / 2 = 2m，r2 = l 2/12,说明压强中心位于矩形的下三分点上 。,h c 1 = 0.5 l sin30= l / 4 = 1 m,例C1.5.2矩形平壁总压力：积分法(2-2),(2) 闸门顶边位于水面
11、下2 m深处,y c 2= hc 2 / sin= 3 l/ 2 = 6m, 不变,hc 2 = H + h c1=2+1= 3 m,例C1.5.2A 圆形平壁总压力(2-1),已知: 封闭油柜侧壁上有一圆形封盖, d = 0.8m h = 1.2 m ,= 800 kg/m3 .,求: p0 分别为(1) 5 kPa ; (2) 2 kPa时总压力F 和偏心距 e 。,解：(1) 当p01 = 5kPa时，在封盖中心的压强为,p c1 = p 01+gh = 5 + 0.89.811.2 = 5 + 9.42 = 14.42 (kPa),O1 点位于油面上方p 0 1 / g 处,h c 1
12、 = 0.5 l sin30= l / 4 = 1 m,例C1.5.2A 圆形平壁总压力(2-2),O2 点位于油面下方 | p 0 2 | / g处,(2)当 p0 2 =2 kPa 时,p c2 = p 0 2+g h = -2 + 9.42 = 7.42 (kPa),F2=pc 2 A= 7.420.503 = 3.73 (kPa),圆板 r2 = d 2 /16 =0.82/16=0.04 m2，偏心距为,归结为求平面线性平行力系的合力。压强分布图,C1.5.2 平壁总压力作用点(4-3),2.几何法,当矩形平壁与液面平行时可用几何法求解。图示液面与b边平行，与l边夹角为。面积分可化为
13、线积分,矩形 三角形 梯形,C1.5.2 平壁总压力作用点(4-4),例C1.5.2B 矩形平壁总压力：几何法,用几何法重新求解例C1.5.2,解: (1) l = 4 m, h = 0, =30,(2) l = 4 m, h = 2 m，=30,C1.6 均质液体对曲壁的总压力,二维曲壁的母线平行于自由液面，归结为求端线ab(单位宽度)上的压强合力。分为水平分力和垂直分力。工程应用中以二维曲壁为主。,三维曲壁有三个投影面，三个投影面上的三个分力不一定共点，可化为一个合力，一个力偶，应用较少。,C1.6 均质液体对曲壁的总压力,水平分力,图示曲壁ab，左侧有水， Oxy 位于自由液面中， h轴
14、向下。,C1.6.1 二维曲壁,ab 面积(单位宽度)沿水平方向投影为,ab 面积(单位宽度)沿垂直方向投影为,面积元dA上的水平方向微元压力,ab上总压力水平分力为,h x c 为投影面积A x形心的淹深。,C1.6.1 二维曲壁(4-1),C1.6.1 二维曲壁(4-2),垂直分力,若曲壁 在水平方向投影有重叠时，该部分水平合力为零。,面积元dA上的垂直方向微元压力,ab上总压力垂直分力为,压力体,C1.6.1 二维曲壁(4-3),总压力合成,压力体内液体的重量构成对曲壁的垂直压力。,水平分力Fx 的作用线按求平壁总压力作用点方法确定。垂直分力Fh的作用线通过压力体的重心。,总压力大小为,
15、方位角,C1.6.1 二维曲壁(4-4),虚压力体,图示曲壁ab下方有水，上方是空的。总压力的垂直分力为,称p为虚压力体，垂直分力方向向上。,压力体的虚实取决于大气压液面与壁面的相对位置，一种判别方法为,例C1.6.1A 二维曲壁总压力 (2-1),已知: 图示封闭容器斜壁 = 45 ，方孔边长 l = 0.4 m，盖有半圆柱形盖. H = 0.5 m,压强为p0 = 0.25 atm,求: 盖所受总压力大小与方向 。,解： 基准面离液面p0 / g，坐标系Oxyh,(1) 盖ABE的水平投影面积Ax = l 2 cos45 ，水平方向合力分量为,I,例C1.6.1.A 二维曲壁总压力 (2-2),(3) 总压力,(2) 盖ABE垂直投影,AB段的压力体为负, BE段的压力体为正,分别与 组合,I,C1.7.1 阿基米德浮力定律,第一浮力定律：沉体受到的浮力 等于排开的液体重量。,上半部受力,C1.7 浮力与稳定性,第二浮力定律：浮体排开液体重量等于自身重量。,下半部受力,C1.7.1 阿基米德浮力定律(2-1),C1.7.1 阿基米德浮力定律(2-2),对浮体，浸没部分为,浮心：浸没部分液体的形心C,浮轴：通过浮心的垂直轴,被测液体液面线将在基准线以下h位置处,例C1.7.1 液体比重计,液体比重计如图，比重计插入蒸馏水(4)中，液
