北大版本固体物理 4

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1、第四章（声子）点阵振动 1.一维原子链的点阵振动 1.简谐近似 这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振动。这种考虑是建立在简谐近似的基础之上的，所谓简谐近似即认为振动是小振动，振幅很小，这种振动的位移与力之间是满足线性关系的。 F=-cx,从能量的角度来看，认为原子间有了相对位移后，两原子间的相互作用势也有了变化 将势能展开成级数：,2.一维单原子点阵的运动方程和色散关系 一维单原子点阵在每个阵点上只有一个原子，第s个原子相对于它平衡时的位移是Us。第个原子所受到的来自第s+p个原子的作用力与它的对位移 成正比,第s个原子所受到的力等于所有原子作用力的总和： Mus= 当s取不同值时，上述方程

2、为一方程组代表各个原子的位移和运动。,原子在平衡位置附近的小振动可看作是耦合的简谐振子的运动。这种耦合谐振子可以通过正则变换化成一组独立的无相互耦合的简谐振动的运动。经过这样变换的每一个独立的谐振子代表简正模式，点阵振动的简正模式是指有一定频率、一定波矢的平面波，第s个原子的位移按简正模式解可写成：,这也就是频率为,波矢为k的平面波对第s个原子位移的贡献。这个平面波称之为格波，把寻求到的运动方程的解带入运动方程就能找出与k的关系即所谓色散关系。,将 带入运动方程得： （其中u =u ） M 约去两边相同的因子得： 代表第s+p个原子的位移的位相差。,由于点阵有平移对称性（+p原子与-p原子的力

3、常数相等）。Cp=C-p 则 =- 利用欧拉合成化简可得： 这就是一维单原子晶考虑了所有原子的作用后得到的格波的频率与波矢所满足的关系。,通常只考虑最近邻原子的作用（最近邻近似）： 则色散关系变为： 或,此函数关系在第一布里渊区的图如下：,简正模式的色散关系是点阵平移矢量 的周期函数， （n为整数），可以证明将色散关系 中的k换成 后，是不变的。 sin 平移后色散关系不变。色散关系是点阵平移矢量的周期函数，它主要是由于我们研究的对象是分立的周期结构所引起的。 当把k换成-k时色散关系也不变。即K与-k对应的频率完全一样（称之为色散关系的反演对称性） （k）=（-k）.,3.周期性边界条件 我

4、们前面研究的对象是理想晶体,边界上与内部的原子是一样的,既理想晶体不考虑晶体边界,没有边界效应。长为L的一维原子链,要作为理想晶体来对待,就要用到周期性边界条件(即循环边界条件或玻恩一卡曼边界条件).,所谓周期性边界条件是把实际晶体看作是无限的,要求运动方程的解以晶体的长度L=Na为周期,既要求: 这个边界条件的意思是相当于将晶体的首位相接构成一个园环,第0个原子与第N个原子重合。,因此此边界条件又称为循环边界条件，经过这样处理，边界上原子与晶体内部原子的状态一样，即可把实际晶体当作理想晶体看待。但是，在周期性边界条件下，格波的波矢只能取一系列分立值。 k=0， k=,由此可从k求出，由于k值

5、是无限的，相应的应有无穷多简正模式，但实际上在这些简正模式中只有一部分是独立的。即k取边界条件允许的值时，有些格波将对应相同的频率和位移，因此它们是同一个简正模式。,4第一布里渊区 简正模式的色散关系有一个重要的性质： 一维时 则 当把k换成时对应的频率完全一样，不仅频率相等，而且与这两个波矢相应的原子的位移情况也一样，进一步说这两个简正模式是同一个简正模式，是代表同一个格波。,当 = 因为 则 当波矢k平移倒易点阵矢量后所给出的简正模式是同一个模式，频率及每个原子的位移都是相同的，这两个格波是同一个格波。,如上图. k与k是同一列格波,是同一个简正模式,在满足周期性边界条件下，凡是波矢相差一

6、个倒易点阵矢量 的简正模式是同一个简正模式，这样我们就可把格波的波矢限制在第一布里渊区之中，第一布里渊区以外的k总可以平移一个 后用第一布里渊区中的k来等价描述，第一布里渊区以外k只不过是第一布里渊区中的的重复和再现而已。,在第一布里渊区中有多少k值呢？ 第一布里渊区中的k值数目实际上就是晶体中初基晶胞的数目，长为L的一维原子链中的独立的简正模式数等于晶体中的原子数。,每一个简正模式代表一个一定频率与波矢的平面波，那么运动方程就有N个独立的简正模式解，但这些解都不代表原子的真实位移。 在点阵振动中，我们不研究原子的真实位移，因为这是毫无实际意义的。它对晶体的物理性质（如热学性质等）并没有什么贡

7、献，而有贡献的只是存在有那些简正模式。,5.群速 若晶体中有一个扰动，有一个原子偏离了平衡位置。由于原子间有相互作用，则这个扰动可以看作是基本格波组成的波包的运动，波包的运动速度是格波的群速， 。它是有一系列格波叠加起来的波包的运动，波包中心所对应的速度为群速度，它是介质中能量传输的速度。,我们将色散关系： 对k微商可得： 可以将此关系作图如下：,在布里渊区边界上满足Laue或Bragg条件，要发生衍射现象，这不仅限于对 x-ra，而任何波只要满足Laue或Bragg条件都会发生衍射，格波也不例外，在一维情况下的Bragg反射条件：,（n只能等于1，而不可能大于1，当n1时a(故称为长波极限)

8、.色散关系: (因为 ka1 则sin,它表明当格波的波长比点阵常数大的多时,可以把格波当作连续介质中的弹性波处理。也就是说可以把晶体看作连续介质，当a时，点阵的分立性就显示不出来，传播时感觉不到分立性，若波长缩短，分立结构的特性对格波的影响就逐渐显露出来，色散关系的线性关系就要改变，当=2a时，k= ，正处在布里渊区边界，发生了Brgg反射。,2.一维双原子点阵的点阵振动 考虑一个初级晶胞有两个原子的情况 1.运动方程和色散关系 一个初基晶胞中两个原子的质量不同，但为了处理问题方便起见，认为原子间的力常数是一样的，在简谐近似下，用最近邻近似，认为各原子之间是用同样的弹簧联系起来的。,若只考虑

9、最近邻近似，第个晶胞中质量为M1的原子所受的力为： 其运动方程为 同理可写出第s个晶胞中质量为M2的原子的运动方程为：,u，v可以是复数，第个晶胞中质量为 的原子的与k相同，但振幅不同，由于u，v是复数，故u，v可以有一个相因子之差，表示它们之间的相位关系。,我们将代回运动方程得： 这是以u，v为未知数的方程组，要有非零解须系数行列式为零。 便可得到：,展开此行列式可得： 即 上式中取“ ” 号时，有较高频率称为光学支色散关系，取“ ”号时，有较低频率称为声学支色散关系。,把色散关系作图得：,2.光学支和声学支格波 为了讨论比较典型,我们处理长波极限下的情况。当ka1（即波长比点阵常数大得多的

10、光学支与声学支） coska ，带入色散关系中： 取“ ”号时， 取“ ”号时： ,由u.v的方程组,我们知道: 当ka1时: 对“ ”号的一支: 这是k0时,将 带入u，v方程组中得到的,它表明同一个初基晶胞中的两个原子每时每刻的振动位相是相反的，而且是质心不动的，不同的初基晶胞有一个位相差 。在离子晶体中由于它们不断的反位相振动，电偶极距可与电磁波耦合，这种振动模式可用光波来激发，故称之为光学支振动模式，实际上它是简正模式中的一部分，而不是光波，它可与光波耦合，但不要与光波混淆。,对“ ”号支： 这表明ka1时，同一初基晶胞中两个原子每时每刻是同位相运动 （振动之比为1），而且连同质心一起

11、作整体运动。不同初基晶胞之间的振动有一个相因子 ，初基晶胞的整体运动存在着类似声波的色散关系=vk，有类似声波的性质，故称之为声学支模式。它不是声波。,两支模式的区别在于，光学支模式是描写初基晶胞中两个原子相对运动的振动模式，若这两个原子组成一个分子，光学支模式实际上是分子振动模式，描写的是同一个分子中的原子的相对运动情况，声学支模式代表同一初基晶胞中原子的整体运动，若初基晶胞中的两个原子组成一个分子的话，声学支模式则代表分子的整体运动模式，这种振动模式的色散关系类似于声波。但它不是声波。,当k= 设 对声学支 对光学支,3简正模式计数 在前面的讨论中无论是单原子点阵还是双原子点阵我们只讨论一

12、维情况，还没有涉及到简正模式的偏振状态，在三维空间，对一个波矢对应有3个偏振态，两个横振动，一个纵振动，对于3个不同的偏振态来说原子的力常数是不同的。纵波的原子的运动与波的传播是同向的，原子间的作用力是拉伸力，而横波原子的运动与波的传播是垂直方向的，原子间的作用力是切向力，这样两种力的力常数是不相同的，色散关系也是不一样的。,对于单原子晶体，简正模式的色散关系有三支，每支色散关系对应有个简正模式，则共有3N个模式，对于双原子点阵，点阵模式的色散关系有6支，3支声学支，3支光学支。每支色散关系各有N个简正模式，故有3N个声学摸，在长波极限下它对应于初基晶胞的整体，这种整体运动的自由度共有3N个，

13、这3N个自由度对应3N个声学模式。,光学支也有3 N个简正模式，对应与初基晶胞中原子的相对运动，有3N个自由度。因此总的简正模式（包括光学支，声学支）共有32N=6N个，也就是说双原子点阵共有6N个简正模式，这6N个简正模式对应于晶体中所有原子的总自由度。,推而广之，对于每个初基晶胞中有P个原子的点阵，简正模式的色散关系有3P支，其中有3支是声学支,对应于声学摸的三种偏振状态,剩下的3P-3都是光学支,每一支的K的取值都有N个,因此共有3PN个简正模式。其中3N个声学模式，剩下的3NP-3N个都是光学模式，无论基晶胞中有多少个原子，色散关系的声学支只能有3支，因为声学支对应于初基晶胞中原子的整

14、体运动而这种运动只能有三个，剩下的3P-3支都是光学支，代表了初基晶胞中原子的相对振动。,需要说明的是，在色散关系中，对三维晶体而言，通常要指定波矢K的方向后才能画出对应的色散关系，即-K的关系图。对应于晶体中对称性比较高的方向，简正模式可以是简并的。但这并不是说它们的简正模式数减少了，因为此时尽管两支横光学支或横声学支简并，在同一个K下它们的频率相同，但时它们处于不同的偏振态，各自仍然是独立的。,3.声子 1声子 点阵振动可用简正模式来描述，每一个简正模式描写一个一定频率一定波矢和偏振状态的平面波，而每一个平面波对应于一个简谐振动，给定了K就可以通过一定的色散关系求出。一个简正模式就代表一个

15、频率为的简谐振动，简谐振动的能量是量子化的，一个频率为，波矢为K的简正模式，处于N激发态，它的能量为：,点阵振动的简正模式（或格波）的能量的量子称为声子。声子是格波能量的量子，并非格波本身，一个频率为，波矢为k的简正模式处在第N个激发态，我们就说在这个能量态上，占据了N个波矢为K频率为的声子。声子的数目对应于格波激发态的量子数，而格波的简正模式对应于声子的种类。,一个波矢为K的第S支模式处在第N个激发态，我们就说在晶体中存在着N个波矢为K的第S支声子（因为给定了K与第S支模式则可由色散关系唯一确定），在晶体中波矢为K的纵声学支模式处于N激发态，我们就说晶体中有N个波矢为K的纵声学支声子。,声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模式都没有被激发，这时