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1、即质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。,(理想模型),有质量，没有大小和形状的点-质点,在任何情况下大小和形状都不发生变化的物体-刚体,(理想模型),第二章 刚体力学,平动：简化为只研究质心的运动即可,刚体运动的两种基本形式,平动- 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。,质心的运动代表整个刚体的平动,一、刚体的平动和转动,2.1 刚体运动学,转动：刚体内所有质元都绕同一直线做圆周运动. 这条直线叫转轴,定轴转动：转轴固定不动的转动。,刚体的一般运动,既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动,各质元的位移、线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同.,描述
2、刚体整体的运动用角量方便（先规定参考方向就可定量研究）,二、定轴转动的角量描述,定轴转动物体各质元运动特点是都做圆周运动（有两套描述的物理量）,角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。,方向,单位：rad/s2,质元的线量与角量的关系：,转动的物体具有动能，其值等于各个质元的动能的总和,J是衡量物体转动惯性的量,一、刚体定轴转动动能（变换动能表达式，改用角量表示）,2-2 刚体的定轴转动,二、转动惯量,质点系的转动惯量,国际单位制中转动惯量的单位为千克米2（kgm2）,转动惯量的计算:,单个质点的转动惯量,质量连续分布的 刚体的转动惯量,转动惯量与什么因素有关：,刚体的质量 质量的分
3、布 转轴的位置,注意,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量,例1、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,A,B,L,x,A,B,L/2,L/2,C,x,解：取如图坐标,dm=dx,注意微元选取方法,找出这两个结论的联系,平行轴定理,前例中JC表示对通过质心的轴的转动惯量， JA表示对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：,推广上述结论：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：JJCmd 2,这个结论称为平行轴定理。,例2、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：
4、细圆环,J是可加的，所以若为薄圆筒, 结果相同。,例3 求质量为m、半径为R、高为l 的均匀 圆柱体对圆柱体中心轴线的转动惯量。,解：取半径为r高为l厚为dr的圆筒,可见，转动惯量与l无关。,与圆环结论对比,例4. 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径 为轴的转动惯量。,解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为,其体积：,其质量：,其转动惯量：,例5. 求右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量 . (棒长为L、球半径为R）,对组合刚体转动惯量的求法,1、力对转轴的力矩,三、转动定律,将切向分量式两边同乘以 ,2、刚体定轴转动的转动定律,m反映质点的平动惯性，J反映
5、刚体的转动惯性,力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。,地位相当,转动定律应用举例,例1 一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。,mg,mg,解：,补充：书上P89例2-4,解：水平恒力F对过A端的竖直轴的力矩为,例2 质量为m，长为l的水平匀质细杆AB能自由地绕通过其A端的竖直轴旋转。从某一时刻起, 在B端作用一个水平恒力F，该力在所有的时间内总是垂直于杆静止时的初始位置。求杆的角速度与它从初始位置转过的角 的函数关系。,对上式求积分,由
6、转动定律有,例3、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮(匀质圆环)，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.2。求: (1)从制动开始到飞轮停止转动这段时间内飞轮转了多少转? (2)闸瓦对飞轮的压力N为多少？,解(1)从制动开始到飞轮停止转动,飞轮转过的转数,飞轮转了41.67转,(2)闸瓦对飞轮的压力N,根据转动定律,已知: m69kg , R0.25m，=0.2, =-20.9rad/s2,力矩做功是力做功的角量表达式,力矩的瞬时功率,对比：,四、 力矩的功（用角量表示）,刚体定轴转动的动能定理：合外力矩
7、对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,对比：,当=1时，=1 ； =2时，=2 所以：,五、刚体定轴转动的动能定理（用角量表示）,刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力势能之和.,1、刚体的重力势能,刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积.,六 、包括刚体的系统的机械能守恒定律,若在刚体转动过程中,只有重力做功, 则机械能守恒,机械能守恒定律,2、定轴转动的功能原理和机械能守恒定律,定轴转动的功能原理,即如果合外力不做功，非保守内力也不做功， 或二者的功的代数和为零，机械能守恒,例2、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在
8、水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm, 该质元的重力对轴的元力矩为,整个棒的重力矩为,根据转动定律,重力势能转化为转动动能（机械能守恒）：,例3 弹簧、定滑轮和物体的连接如图所示, 弹簧的劲度系数为2.0 Nm-1, 定滑轮的转动惯量是0.5kgm2,半径为0.30m , 问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时,它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长,解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，下落的过程中，机械能守恒.,以最低点为重力势能零点， 弹簧原长为弹性势能零点.,.,故有,质点相对O点的矢径 与质点的动量 的矢积定义为
9、该时刻质点相对于O点的角动量，用 表示。,质点,1、角动量,2-3 刚体角动量定理和角动量守恒定律,一、 刚体的角动量定理（用角量表示）,质点系对某点的角动量：,如果质点系绕定轴转动：,各质点有相同的 ，,2、角动量定理,外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。,根据转动定律，可得：,（积分式）,（微分式）,角动量定理和 转动定律的关系,作用在物体上的外力对某轴的力矩之和为零，则物体对该轴的角动量守恒,角动量守恒定律：,角动量守恒定律的两种情况：,1、转动惯量保持不变的单个刚体。,例：回转仪（导航/定向）,二 、 角动量守恒定律,2、转动惯量可变的物体。,实际生活中的一些现象,艺术美、
10、人体美、物理美相互结合,、芭蕾舞演员的高难动作, 体操、跳水、运动员在空 中为了迅速翻转总是曲体、 减小转动惯量、增加角速 度。当落地时则总是伸直 身体、增大转动惯量、使 身体平稳地。,花样滑冰运动员通过 改变身体姿态即改变 转动惯量来改变转速,例1 质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心 的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？,已知：,求：,解：以M、m为研究对象,故角动量守恒,人和台原来角动量为0,（1）式dt积分：,若人和转台的角速度分别为,人沿台边缘奔跑一周,例2 一个质量为M、半径为R并以角速度转动的飞
11、轮(匀质圆盘), 在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上 (1)问它能升高多少? (2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能,解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度,令v=0，得上升最大高度H为,关键要求,(2)碎片与缺口盘对轴的总角动量应守恒，即,式中为缺口盘的角速度于是,(角速度不变),缺口盘的角动量为,转动动能为,例3 空心圆环可绕竖直轴自由转动,如图所示,其转动惯量为J0 ,环半径为R, 初始角速度为0 . 质量为m的小球,原来静止于A点,由于微小的干扰,小球向下滑动. 设圆环内壁是光滑的,问小球滑到B点与C点时
12、，小球相对于环的速率各为多少?,解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有,该系统在转动过程中,只有重力做功,机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为vB，以B点为重力势能零点，则有,请认真思考小球的速度，两个方向的,联立、两式，得,(2)当小球滑至C点时，,故由机械能守恒，有,例4 一质量为M,半径为R的均质圆盘, 放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O的光滑竖直固定轴转动, 开始时, 圆盘静止, 一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上, 求: （1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度。 （2）经过多少时间后
13、，圆盘停止转动。 (忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩),解：（1）子弹击中圆盘边缘并嵌在 一起，这段时间很短（一对内力矩），子弹和圆盘所组的系统，角动量守恒（Why？也请注意角动量定理积分表达式）。有,解上式得：,（2）匀质圆盘可看成一系列半径不同的同心圆环构成，在离转轴r处取一半径为r ,宽度dr的细圆环，其质量为,摩擦力矩为,由转动定律有,圆盘在水平面上转动时间为,例5、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度v0射入一静止悬于顶端长棒的下端, 穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M.,解:以f 表示棒对子弹的阻力,对子弹有:,子弹对棒的反作用力f , 对棒有：,由两
14、式得,请问:1.子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么?,2.总角动量守恒吗?若守恒, 其方程应如何写?,例6、一长为l、质量为M的杆可绕支点O自由转动。一质量为m ，速率为v的子弹射入并嵌在距支点为a 的棒内，若杆的偏转角度为=300，子弹的初速率为多少？,解：可分两个运动过程来分析。,冲击过程：,杆维持竖直 M合外=0 系统角动量守恒,摆动过程：,M合外0 系统角动量不守恒,只有重力作功，系统机械能守恒,解:碰撞前单摆摆锤的速度v0,例7、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤质量相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下摆,于竖直位置和
15、直杆作弹性碰撞。求 碰撞后摆锤达到的高度h和直杆下端达到的高度h。,令碰撞后直杆的角速度为， 摆锤的速度为v。 由角动量守恒，有,在弹性碰撞过程中动能也守恒:,按机械能守恒 碰撞后摆锤达到的高度h,而杆的质心上升的高度hc满足,解：,碰撞 t 极小，对 m +盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：,则：,一）何谓旋进,陀螺的运动,陀螺以角速度 绕自身对称轴高速转动的现象自转。,在重力矩作用下， 自转轴以角速度 绕竖直轴转动的现象旋进。,自转角动量,三*、陀螺的旋进(进动）,陀螺旋进的原因是什么？,是自旋与重力矩作用产生的结果。,重力矩为零只有自转,重力矩不为零、但没有自转倒下,当陀螺绕其对称轴旋转时具有角动量,受重力的力矩,二) 旋进的解释,即刚体绕新的轴运动， 产生了进动。,a,产生一个新的角动量,进动角速度,由图：,旋进应用举例,我们知道：甩手榴弹时，手榴弹要翻跟头.,为了保证子弹、炮弹不至如此，常在枪炮筒内腔刻制螺旋式的来复线，使从枪炮筒内射出的子弹绕自身对称轴高速旋转,自转的子弹在空气阻力矩的作用下绕其质心速度方向进动,以保证弹头朝前。,
