《热力学统计物理学06统热教案之廿八（8.2-3)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《热力学统计物理学06统热教案之廿八（8.2-3)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 8.2 涨落的空间关联涨落的空间关联 （Space Correlation of Fluctuation） 粒子相互作用和量子力学全同性， 导致粒子在空间有关联，空间两处涨落不独立 本节简要介绍关联的概念 关联函数 数密度关联 粒子相互作用和量子力学全同性， 导致粒子在空间有关联，空间两处涨落不独立 本节简要介绍关联的概念 关联函数 数密度关联 第八章 涨落理论涨落理论 (2) 1 1. 关联函数关联函数(Correlation Function) 第八章 涨落理论涨落理论 (2) )()(),(rArArr= vvvv 2)(rA) r , r( vvv = A 在在r 的偏差为的偏差为
2、A(r) 定义：热力学量定义：热力学量 A(r) 在空间两点在空间两点 r、r涨落 的相关（关联）函数为 涨落 的相关（关联）函数为 显然有显然有 第八章 涨落理论涨落理论 (2) )()(),( , rPrPrrP jiji vvvv ),()()() ,( , , rrPrArArr jij ji i = vvvvrr 假定假定 A 在在 r 处取值为处取值为 Ai(r) 的概率为的概率为 Pi(r) 在在r 处取值为处取值为 Aj(r) 的概率为的概率为 Pj(r) 两取值同时出现的概率为两取值同时出现的概率为 Pij(r,r) 通常通常 关联函数计算公式关联函数计算公式 )(),(rr
3、rr= vvvv )()(),( , rPrPrrP jiji = vvvv 0)()(),(=rArArr vvvv 均匀均匀(Homogeneous)系 若力学量两处概率无关(即统计独立)，即 系 若力学量两处概率无关(即统计独立)，即 空间两处空间两处涨落彼此独立涨落彼此独立 第八章 涨落理论涨落理论 (2) 2. 数密度关联数密度关联（Correlation of Number Density） rr = = N i ir rrn 1 )()( vvv 假定假定N 粒子物体系的体积为粒子物体系的体积为V，密度不很大 视粒子为 ，密度不很大 视粒子为“点点”粒子，可以分辨 位矢 粒子，可
4、以分辨 位矢r 处的粒子数密度则为处的粒子数密度则为 UK UK NNN e ZZ )p ,p ,p;r ,r ,r ( = 1 2121 r L rrr L rr 不考虑内部自由度，正则分布函数为不考虑内部自由度，正则分布函数为 K 和和 U 分别为体系的动能和势能分别为体系的动能和势能 = = N ii iiNNNi pdrdppprrrrrrn 1 2121 ),;,()()( vvr L rrr L rrvvv 数密度的平均值则为数密度的平均值则为 第八章 涨落理论涨落理论 (2) U U NN e Z rr = 1 ),(1 v L v = = N ii iNNi rdrrrrrrn
5、 1 21 ),()()( vr L rrvvv 对动量积分，可得位置概率密度 密度平均值又写为 空间均匀时，位置 概率密度关于 对动量积分，可得位置概率密度 密度平均值又写为 空间均匀时，位置 概率密度关于ri对称 上式又可写为 对称 上式又可写为 )()()( ),()()( 11111 1211 rnrdrrr V N rdrdrdrrrrNrn NNN vvvvv vv L vv L vvvv = = NNN rdrdrrVr v L vv L vv 2111 ),()( = 粒子粒子“1”的单粒子概率密度函数的单粒子概率密度函数 1/V不论其它粒子的位置，第一个粒子出现在不论其它粒子
6、的位置，第一个粒子出现在 r1处的概率密度处的概率密度 均匀系均匀系1（r1）= 1与位置无关与位置无关 = = N ii iiNNNi pdrdppprrrrrrn 1 2121 ),;,()()( vvr L rrr L rrvvv第八章 涨落理论涨落理论 (2) = i iNN rdrrrnrnrnrn vv L vvvvv ),()()()()( 1 考虑数密度的空间关联，须先计算考虑数密度的空间关联，须先计算 = = N ii iNN N j ji rdrrrrrr 1 1 1 ),()()( vv L vvvv .),( )()()()( 1 1 += = i iNN ji ji
7、N i ii rdrr rrrrrrrr vv L v vvvvvv rdr)dr ,r (V)r ,r ( NNN = v L vv L vvv 31 2 212 引入双粒子概率密度函数引入双粒子概率密度函数 2 212 ),(Vrr rr 二粒子同时分别在的概率密度为二粒子同时分别在的概率密度为 2 第八章 涨落理论涨落理论 (2) ),( ) 1( ) () ()( 2 2 rr V NN rrnrnrn += vvvvvv nrnnrnrnrnrrn=)()() ()() ,( vvvvrv 1 2= )() ,(rrnrrn= vvrv 对于无相互作用的经典体系对于无相互作用的经典体
8、系 不同位置的关联为零不同位置的关联为零 用这一定义，上述关于二粒子的平均值写为 数密度涨落的空间关联函数则为 用这一定义，上述关于二粒子的平均值写为 数密度涨落的空间关联函数则为 ) ,() ( 2 2 rrnrrn vvvv += 2 )()(nrnrn= vv 1)()( 2 2 +=rrnrrn vvvv 后项消失后项消失 第八章 涨落理论涨落理论 (2) 1)()( 21221 =rrnrrv vvvv )(),() ,(rrnvrrnrrn vvvvvv += 21 rr vv 1 , 0 2 v 引入函数 若此有限尺度不存在，则说关联长度为无穷 关联长度的概念在连续相变的研究中很
9、重要 在相变的 引入函数 若此有限尺度不存在，则说关联长度为无穷 关联长度的概念在连续相变的研究中很重要 在相变的临界点临界点，关联长度趋向无穷 这时，系统具有 ，关联长度趋向无穷 这时，系统具有长程关联性长程关联性，出现，出现临界现象临界现象 描述关联强度 代入关联函数的表式可得 对于相距很远的两粒子，即 两体关联可忽略，有 关联强度随距离增加减弱 描述关联强度 代入关联函数的表式可得 对于相距很远的两粒子，即 两体关联可忽略，有 关联强度随距离增加减弱 定义：定义：若可找到一个有限的尺度若可找到一个有限的尺度，r 时关联不重要 则 时关联不重要 则 关联长度关联长度 第八章 涨落理论涨落理
10、论 (2) 8-3 布朗运动布朗运动（Brown Movement） 郎之万方程 无规行走理论 扩散理论 郎之万方程 无规行走理论 扩散理论 植物学家布朗植物学家布朗1827年用显微镜观察到花粉（年用显微镜观察到花粉（Pollen）在水 中的无规（ ）在水 中的无规（Random）运动花粉的直径约）运动花粉的直径约10-4cm，这种微小 颗粒的运动被认为是水分子碰撞（ ，这种微小 颗粒的运动被认为是水分子碰撞（collision）造成的本节讨 论这种运动 ）造成的本节讨 论这种运动 第八章 涨落理论涨落理论 (2) kTvM 2 3 2 1 _ 2 = scmv/1 观测结果，小颗粒在水面上无
11、规运动速率约观测结果，小颗粒在水面上无规运动速率约10-5cm/s 这是何种运动的速度呢？ 是受到分子碰撞的直接反映？ 这是何种运动的速度呢？ 是受到分子碰撞的直接反映？否！ 结论： 否！ 结论：布朗运动只是一种平均运动， 是周围分子碰撞作用不平衡（分子运动速度的涨落）导致的运动 布朗运动只是一种平均运动， 是周围分子碰撞作用不平衡（分子运动速度的涨落）导致的运动 剩余涨落剩余涨落 实际观测到的布朗颗粒之运动速率为其实际观测到的布朗颗粒之运动速率为其10-5 若将布朗运动的粒子视为巨分子，被分子碰撞而运动 根据关于碰撞频率的知识，每秒钟受碰次数在液体中为 若将布朗运动的粒子视为巨分子，被分子碰
12、撞而运动 根据关于碰撞频率的知识，每秒钟受碰次数在液体中为10 19， 在气体中也有 ， 在气体中也有10 15次，比观测到的快得多 若用理想气体模型，根据能均分定理估算 次，比观测到的快得多 若用理想气体模型，根据能均分定理估算 第八章 涨落理论涨落理论 (2) )(tX0)(=tX dt dx a6= )( 2 2 tX dt dx dt xd m+= 1. 郎之万理论1. 郎之万理论（Langevin Theory） 郎之万郎之万（Langevin）方程 考虑颗粒浮于表面，二维运动，研究其位移的平方平均值 集中讨论运动在一个水平方向的投影（一维运动） 假定颗粒质量为 方程 考虑颗粒浮于表
13、面，二维运动，研究其位移的平方平均值 集中讨论运动在一个水平方向的投影（一维运动） 假定颗粒质量为m，t时刻坐标为时刻坐标为x(t) 不计其它外力作用，颗粒受到的净作用力不计其它外力作用，颗粒受到的净作用力F(t) 由两部分构成： 无规作用力 粘滞力 由两部分构成： 无规作用力 粘滞力 为阻尼系数为阻尼系数 a 颗粒半径颗粒半径 粘滞系数粘滞系数 运动方程运动方程 第八章 涨落理论涨落理论 (2) dt dx txXxmx dt dm 2 22 2 2 2 )( 2 =& 0)( _ =tX 为研究位移平方平均值，讨论关于为研究位移平方平均值，讨论关于 x2 方程方程 xtX dt dx dt
14、 xd m +=)( 2 2 对方程统计平均对方程统计平均 注意 能均分定理 注意 能均分定理 kTum= _ 2 0 2 2 2 22 =+ m kT x dt d mdt xd , 2 2 2 2 22 x dt d dt xd = 0)()(=tXxtxX 2 2 x dt d dt dx = 3 第八章 涨落理论涨落理论 (2) 21 2 2 ct kT ecx t m += 000 2 2 =Cxt _ 时 Dtt kT x2 2 2 = a kTkT D 6 = 扩散系数扩散系数 0 2 2 2 22 =+ m kT x dt d mdt xd 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系
15、数非齐次线性微分方程 先求解相应的齐次方程，再寻找非齐次方程的一个特解 即可写出通解为 初始和边界条件定积分常数 先求解相应的齐次方程，再寻找非齐次方程的一个特解 即可写出通解为 初始和边界条件定积分常数 忽略首项忽略首项 110/ 17 sm 参数量级参数量级： a105cm； 106， m1013； m107 布朗颗粒的位移方均值 与时间成正比， 与粘滞系数反比， 与颗粒的质量无关 这与皮兰实验结果一致 应用： 通过测量粘滞系数来测量 布朗颗粒的位移方均值 与时间成正比， 与粘滞系数反比， 与颗粒的质量无关 这与皮兰实验结果一致 应用： 通过测量粘滞系数来测量k 第八章 涨落理论涨落理论 (2) 2无规行走理论2无规行走理论（Random Walk Theory） Einstein用用“无规行走无规行走”理论来研究布朗运动 给出了正确的结果
