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1、第一章 统计案例,1.1回归分析的基本思想及其初步应用,对 比数学3中“回归”增加的内容,数学统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 ybxa 用回归直线方程解决应用问题,选修-统计案例 引入线性回归模型 ybxae 了解模型中随机误差项e产生的原因 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果,问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是,问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 -有一个确定性的关系？,例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，
2、得到如下所示的一组数据：,复习:变量之间的两种关系,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。,1、定义：,1）：相关关系是一种不确定性关系；,注,2、现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等,探索1：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？,10 20 30 40 50,500 450 400 350 300,发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。,探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？,施化肥量,水稻产量,散点图,1.最小二乘法：,
3、称为样本点的中心,3、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。,2、回归直线方程：,2.相应的直线叫做回归直线。,1、所求直线方程 叫做回归直 -线方程；其中,3.求出线性相关方程后，如何描述斜率估计值 与变化增量值之间相关关系的强弱？通过什么 量来说明？,用相关系数 r 来衡量,、当 时，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。 、当 时，表示x与y存在着一定的线性相关，r的绝对值越大，越接近于1，表示x与y直线相关程度越高，反之越低。,相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）,r,练:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据:,(1)求x,y之间的相关系数; (2)求
4、线性回归方程;,例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。,案例1：女大学生的身高与体重,解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：,2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系，因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。,3、从散点图还看到，样本点散布在某一条 直线的附近，而不是在一条直线上，所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。,我们可以用下面的线性回归模型来表示： y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数， e称为随机误差。,思考P3
5、 产生随机误差项e 的原因是什么？,思考P3 产生随机误差项e的原因是什么？,随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，,于是有b=,所以回归方程是,所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为,探究P4： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？
6、, ljzh.2001,问题二：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差， 它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,思考P6： 如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上 与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？,问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？ 假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相 同。在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女大学生的体重都是她们的平均值， 即8个人的体重都为54.5kg。,在散点图中，所有的点应该落在同一条 水平直线上，但是观测到的数据并非如 此。这就意味着预报变量（体重
7、）的值 受解析变量（身高）或随机误差的影响。,例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解析 变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg， 所以6.5kg是解析变量和随机误差的组合效应。,编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg。解析 变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg， 这时解析变量和随机误差的组合效应为-4.5kg。,用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。,在例1中，总偏差平方和为354。,那么，在这个总的效应（总偏差平方和）
8、中，有多少来自于解析变量（身高）？ 有多少来自于随机误差？,假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图 中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归 直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上 “推”开了。,在例1中，残差平方和约为128.361。,例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：,由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为 128.361，所以解析变量的效应为,解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差
9、平方和）,总的来说： 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。,表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关， 是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始 数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本 编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。,残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴
10、可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,小结,这些问题也使用于其他问题。,涉及到统计的一些思想： 模型适用的总体； 模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响；
11、 模型预报结果的正确理解。,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。,（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性 回归方程y=bx+a）.,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现 不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是 否合适等。, ljzh.2001,课堂知识延伸,我们知道，刑警如果能在案发现场提取到
12、罪犯的脚印，即将获得一条重要的破 案线索，其原因之一是人类的脚掌长度和身高存在着相关关系，可以根据一个人的 脚掌长度来来预测他的身高 我们还知道，在统计史上，很早就有人收集过人们的身高、前臂长度等数据， 试图寻找这些数据之间的规律 在上述两个小故事的启发下，全班同学请分成一些小组，每组4-6名同学，在老 师的指导下，开展一次数学建模活动，来亲自体验回归分析的思想方法，提高自己的 实践能力。 数学建模的题目是：收集一些周围人们的脚掌长度、前臂长度中的一个数据及其 身高，来作为两个变量画散点图，如果这两个变量之间具有线性相关关系，就求出回 归直线方程，另选一个人的这两个变量的数据，作一次预测，并分析预测结果。 最后以小组写出数学建模报告，报告要求过程清晰，结论明确，有关数学论述准 确，以下两个问题需要注意： （1）如果脚掌长度不方便，可改量脚印的长度。 （2）数据尽量取得分散一些。,
