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1、1. 试举例说明分析法和综合法。答：例：设 a0,b0,a b,证明 2ab用分析法解：为了证明 2ab成立，要证明下面不等式成立：a+b2 ab由于 a0,b0,即要证( a+b)*(a+b)4ab 成立a*a+2ab+b*b4ab两边减去 4ab,得 a*a-2ab+b*b0左边写成(a-b)20 成立由此倒推，即可证明 成立。2ab：例 1已知：如图 1，在ABC 中，AC= +1，AB=2， A=30，D 为 AB 上一动点（不与 A、B点重合） 。过 D、B、 C 三点作O 与 AC 交于 E。 （1）设AD=x，y=DE 2+DB2。求 y 与 x 的函数关系式，并求自变量 x 的
2、取值范围。用综合法求解：找解题途径。由条件 AB=2，AD=x，可得 DB=2-x。因为 y=DE2+DB2，所以只需求出 DE，由图形中 DE 的位置可推断证 ADEABC 方可求出DE。求 BC。在 DE 和 BC 中主要是求 DE，因此只有先求出 BC。因为A=30，从 Rt和解 Rt的有关性质知显然应造直角（即作辅助线） ，从而过 B 或 C 作垂线，得 RtAEB 或 RtBHC，求得BF=1， AF= ，FC=1，BC= 。求 DE 并得出结论。解略。答：y=(3- )x2-4x+4(0x2) 。2. 在中学数学中找出几个用反证法或者同一法或者数学归纳法来证明命题的例子。并通过这些
3、例子说明生么是反证法？什么是同一法？什么是数学归纳法？答：反证法的例子：在同一平面内，两条直线 都和直线 垂直。求证： 与,abca平行。b证明：假设命题的结论不成立，即“直线 与 相交” 。不妨设直线 的交点为 , 与 的交点分别为 ,abMabcPQ如图所示，则 .0PQ这样， 的内角和M00918这与定理“三角形的内角和等于 ”相矛盾。说明假设不成立。所以，直线 与 不相交，即 与 平行。abab.求证： 是无理数2证明：假设 不是无理数，即 是有理数，那么它就可以表示成两个整2数之比，设 且 互素，则 。2,0qp,q2pqP M Q ca b所以， 。-2pq故 是偶数， 也必然为偶
4、数。不妨设 ，代入式，则有 ，2k24pk即 ，p所以， 也为偶数。和 都是偶数，它们有公约数 2，这与 互素相矛盾。q,pq这样， 不是有理数，而是无理数。2同一法：如图，已知 E 是正方形 ABCD 内部一点， ECD = EDC =15，求证： ABE 是等边三角形证明：1)作出符合命题结论的图形。 以 AB 为边向正方形内部作等边ABE，连 CE、 DE2)证明所作图形符合已知条件。 ABE是等边三角形 ABE= 60 ABC = 90 CBE= ABC - ABE= 30 ABE是等边三角形 AB =BE AB =BC BC = BE BCE是顶角为 30的等腰三角形底角 BCE=E
5、A BD CEA BD CE75)3018(2 BCD = 90 DCE= BCD - BCE= 15同理， CDE= 153)根据唯一性， 在 CDE 和 CDE中，确定所作图形与已知图形重合。 15EDC CDE CDE CE = CE在 BCE 和 BCE中，BCE75 BCE BCE BE = BE同理， AE = AE在 ABE 和 ABE中，ABE ABE ABE E 和 E重合4)断定原命题成立。 ABE 是等边三角形数学归纳法：已知数列an满足 a1=0，a2=1，当 nN 时，an+2=an+1+an求证：数列an的第 4m+1 项(mN)能被 3 整除分析：本题由 an+1
6、=an+1+an 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法当 m=1 时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被 3整除当 m=k 时，a4k+1 能被 3 整除，那么当 n=k+1 时，EA BD CEa4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设 a4k+1 能被 3 整除，又 3a4k+2 能被 3 整除，故 3a4k+2+2a4k+1 能被 3 整除因此，当 m=k+1
7、 时，a4(k+1)+1 也能被 3 整除由、可知，对一切自然数 mN，数列an中的第 4m+1 项都能被 3 整除反证法是 一 种 论 证 方 式 ， 他 首 先 假 设 某 命 题 不 成 立 （ 即 在原 命 题 的 条 件 下 ， 结 论 不 成 立 ） ， 然 后 推 理 出 明 显 矛 盾 的结 果 ， 从 而 下 结 论 说 原 假 设 不 成 立 ， 原 命 题 得 证 。同一法是在 符 合 同 一 法 则 的 前 提 下 ,代 替 证 明 原 命 题 而 证 明 它的 逆 命 题 成 立 的 一 种 方 法数 学 归 纳 法 是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构
