《热力学统计物理学06统热教案之廿七(8.1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《热力学统计物理学06统热教案之廿七(8.1)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 2006-12-28 统计热力学教案 （8-1， 2 时） 第八章第八章 涨落理论涨落理论 （Fluctuation theory） 前面我们曾用系棕理论计算涨落这种涨落是指围绕平均 值的涨落，称为第一类涨落还有一类涨落，即布朗运动，或 剩余涨落，为第二类涨落本章分别讨论两种涨落 8.1 涨落的准热力学理论 （ 前面我们曾用系棕理论计算涨落这种涨落是指围绕平均 值的涨落，称为第一类涨落还有一类涨落，即布朗运动，或 剩余涨落，为第二类涨落本章分别讨论两种涨落 8.1 涨落的准热力学理论 （Quasi-Thermodynamic Theory of Fluctuations） 本节用准热力学
2、理论讨论第一类涨落斯莫陆绰斯基将涨 落用热力学关系表示，可以较方便地计算各种涨落，特别是那 些不便用直接求平均计算的涨落 本节用准热力学理论讨论第一类涨落斯莫陆绰斯基将涨 落用热力学关系表示，可以较方便地计算各种涨落，特别是那 些不便用直接求平均计算的涨落 斯莫陆绰斯基公式斯莫陆绰斯基公式涨落涨落光散射 光散射 11 Smoluchowski 公式（ 公式（Formula） Marian Smoluchowski a famous Polish physicist，Austria, 考虑一粒子数不变的系统，与大热源（r）接触（如图） ， 两系组成孤立系（t） 将系统物理量任一时刻的观测（微观）
3、 值称为“精确值”“精确值”(Exact value)，它与平均值 E 和 V 有偏差 (Deviation)总系统的能量和体积满足如下关系： const. const, =+= =+= rt rt VVV EEE 因此 0,0=+=+VVEE rr 同时又有 rt SSS+= 根据玻尔兹曼关系，总系（孤立系）熵之精确值为 E,V Er ,Vr System Reservoir 2 tt WkSln= Wt为总系的微观态数 平衡态时的平均值为 mt WkSln= Wm为Wt的极大值 根据等概率原理，每态出现的概率为 m W 1 于是，熵值取St（精确值）的概率可写为 kSkSkS m t tt
4、t ee W W W / = Einstein 公式公式 根据总系与子系的关系有 rt SSS+=因热源很大， 物系带来的偏差 rrr SVE,较该系平衡态量为小量，故有 （物体系） T VpE T VpE S rr r + = + =) 热源( ， 因此有 ()kTVpESTkSt+= 于是得 kT VpSTE eW + 基本公式（基本公式（Smoluchowski 公式）公式） 为便于计算，将),(VSE按SV ,展开，取至二级项得 + + + + + + + + = 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 )()(2)( 2 1 )()(2)( 2 1 V V E VS VS
5、 E S S E VpST V V E VS VS E S S E V V E S S E EL 于是得 VpTSVpSTE=+ 2 1 Smoluchowski公式又成为 kT VpTS eW 2 ， 或 kT TSVp eWW 2 0 = 0 W 由归一化条件确定上式亦称为Smoluchowski 公式公式 用它作为出发点，可以方便地计算物理量的涨落这种方 法称为准热力学方法 基本依据：基本依据： 物 理 量 之 间 的 相 互 关 系 对 于 精 确 值 （涨落值）和 平 均 值 是 一 样的 物 理 量 之 间 的 相 互 关 系 对 于 精 确 值 （涨落值）和 平 均 值 是 一
6、样的 3 2. 涨落涨落(Fuctuations) 首先考虑 T 和 V 的涨落 这须将基本公式写为以VT ,为 独立变数的形式注意到 V T p T T C V V S T T S S V V TV += + = V V p T T p p TV + = 我们有 22 2 )( 2 1 )( 2 0 V V P kT T kT C T V eWW + = 上式给出T和 V 的平方()2T和()2V的概率于是 dxe VdTde VdTdeT T VT VdTde VdTdVeT VT x V V p kT T kT C V V p kT T kT C V V p kT T kT C V V
7、p kT T kT C T V T V T V T V + + + + = = = = 2 22 2 22 2 22 2 22 2 ln )()( )()()( )( 0 )()( )()( )()( 2 1 )( 2 )()( 2 1 )( 2 2 2 )()( 2 1 )( 2 )()( 2 1 )( 2 0 2 1 ln 2 = = V C kT 同理， 0)( 2 = T p V kTV 由 T、V 涨落的表式可得系统稳定平衡的条件 0 V C， 0 T p V 对于宏观系统，相对涨落 N 1 ，通常很小 对于其它热力学函数，对于其它热力学函数，亦可用准热力学方法求其涨落： (1) 直
8、接计算： 涨落： (1) 直接计算： 将相应的热力学微分关系用到Smoluchowski 公式，公式，获得 kT CV 2 = Tx= 4 需求涨落的热力学量的偏差平方之概率，即可直接计算均方偏 差例如：熵和压强，由 22 )( 2 )( 2 1 expp kT V S kC W s p 直接可得 p kCS= 2 )(， V kT p s = 2 )( (2) 间接计算：(2) 间接计算： 通过热力学关系，利用一些热力学量的涨落计算另一些热 力学量的涨落例如：用 V V E T T E E TV + =， 0=VTVT 可得 ()()()() _ _ 2 2 _ 2 2 2 2)(V V E
9、 T T E V V E T T E E TVTV + + = ， 2 22 )( += T TV V E VkTCkTE 3. 光散射光散射 光通过物体时，会被其中物质散射这种散射分为两类： 浑浊物中来自液体、气体中悬浮杂质的散射悬浮杂质的散射； 纯净物中来自分子密度起伏的分子散射分子散射 浑浊物的悬浮杂质散射的物理现象称为汀多耳汀多耳（Tyndall） 现象它与物体系的涨落无关，我们这里不拟讨论以下着重 分析分子密度涨落分子密度涨落散射 这种物质是透明的 基本散射机制是： 光通过时，激发分子振动，导致偶极辐射光通过时，激发分子振动，导致偶极辐射 假定光致电偶极矩对应的极化强度为P记媒质密度
10、为， 介电常数为，入射电场强度为E E则，有 E E 4 1 =P P 密度的涨落，导致介电常数的涨落，以致极化强度P 5 的涨落P（略去电场强度E E的涨落） 于是 EEEE = 44 P P 又P P，E E为常量，故有1，所以 0 1- ln= ， 得 11 2 = = n n为折射率（系数） 由电动力学，单色平面波单色平面波光在立体角元d散射的强度为 VIIdsin)()(d 2 _ 22 2 4 2 0 = 这里， I0 入射光强（单位面积通过的强度） ； V 考虑散射的小体积元（尺寸较小得多） 如图： 入射光之电场E E与观测方向间的夹角； 入射方向与观测方向夹角 考虑自然光，须对
11、E E的各方向平均： 2dsind)(2d )(d 2 0 2 _ 22 2 4 2 0 2 0 =VIII 而 ()() 2 2 0 22 2 0 2 cos1dcossin-1dsin+= 于是有 ()VIIdcos1 2 1 )(d 2 _ 22 2 4 2 0 + = 让我们考虑距散射点R处的面积dA（垂直于观测方向） k (入射) (入射) R E E A (cos=sincos) 6 上的光强注意到它与立体角的关系 RAdd 2 =，有 () () _ 2 22 2 2 24 2 0 cos11 2d d += Vn R I A I 前面已算出前面已算出，体积涨落可以写为 T p
12、V kTV = 2 )( 在原子数确定的前提下，由 V N = 2 V VN =， V V = 故 T p V V kT V V = = 2 _ 2 _ 2 用理想气体模型计算有 NkT V p V T 2 = ，因此 ()N1 _ 2 = 为 确 定 起 见 ， 我 们 取n l 于 是 可 得 ) 1(2) 1)(1(1 2 +=nnnn最后得散射光在R处垂直于观 察方向单位面积的强度为 () 4 22 24 2 0 ) 1(cos1 2 d d V p kTV n- R I A I += 用密度涨落可以解释光散射中的一些现象由上式可见： 散射强度随波长增大减小（12） ，长波散射弱，短波散 射强观测到的散射光强同入射与观测方向之间的夹角有关， 在为零的角度上， 观测到的散射光最强；为/2时最弱 如 白昼我们目视天穹，主要见到散射光，以短波的蓝色为主，因 此有蓝天之说；早晚观测东、西方天空，常见霞云，因为大气 层厚，蓝光不断被散射，透射的光以红光为主，因而有火烧云 之景 习题：8.1， 8.2; 8.
