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1、第2章 机电传动系统建模方法,2.1 机电传动系统概述 机电传动系统的一般结构和功能 机电传动系统建模中应着重反映传动类型、传动方式、传动精度、动态特性及传动可靠性等对伺服系统的精度、稳定性和快速性的影响。,2.2 机械传动系统的动力学模型,2.2.1 传动机构的仿真分析 仿真步骤： 动力学模型（微分方程） 拉氏变换（传递函数） 控制方框图 仿真模型（Simulink） 仿真实验及结果分析,拉氏变换与线性常微分方程的求解 1. 拉氏变换的定义 若f(t)是分段光滑的，并存在一个正的常数，使在t趋于无穷大时，et|f(t)|趋于0，则拉普拉斯积分 收敛， s是复变量。并定义拉普拉斯变换 注意到对
2、于大多数常见函数，拉氏变换是存在的；但若f(t)的增长速度超过指数函数，如 ，则其拉氏变换不存在。,2. 拉氏 变换 的性 质,终值定理 初值定理 卷积定理,3. 拉氏反变换 直接查表法 部分分式展开法,常见函数的拉氏变换（及z变换）,4. 应用拉氏变换求解线性常微分方程 对微分方程中的每一项作拉氏变换，并应用微分定理，将微分方程变换为s域中的代数方程； 由代数方程解出因变量的拉氏变换； 对因变量的拉氏变换作拉氏反变换，即得到因变量的时域函数。,例1：自由振动方程 初始条件,例2：强迫振动方程 1，初始条件 仅讨论稳态解（或称非齐次方程的特解）,集中参数系统的控制方框图（1）：质量-阻尼系统
3、齿轮传动机构及其控制方框图,集中参数系统的控制方框图（2）：弹簧-质量-阻尼系统 同步齿形带传动机构及其控制方框图,集中参数系统的控制方框图（3）：单层隔振系统的简化模型,集中参数系统的控制方框图（4）：单轮汽车支承系统简化模型,集中参数系统的控制方框图（4）：轴系传动,仿真实验及分析： 对驱动力（矩）的动态响应：阶跃输入、脉冲输入、斜坡输入、简谐输入（频响特性）等 系统参数对其动态响应特性的影响：刚度、阻尼、惯性负载等。,2.2.2 定轴传动机构的模型,基本构成元件数学模型 质量： 阻尼： 弹簧：,转动惯量：,阻尼：,扭簧：,齿轮传动机构的模型（1）：刚性传动轴情况,齿轮传动机构的模型（2）
4、：弹性传动轴情况,齿轮传动机构的模型小结： （1）从动轴上的转动惯量J等效到主动轴上时，Je=n2J，n为由主动轴到从动轴的传动比。 （2）类似地，对于从动轴上的刚度K、阻尼B，等效到主动轴上时， Ke=n2K， Be=n2B。 （3）从动轴上的力矩M等效到主动轴上为nM。 （4）从动轴上的转角折算到主动轴上为/n。 （5）主动轴向从动轴的转换也成立。,备注：齿轮传动系统的模型结构简化的一些前提假设 （1）齿轮具有理想的齿廓几何形状。 （2）齿轮的材质是均匀的，在啮合过程中啮合刚度为常数。 （3）齿轮啮合过程无功率消耗。 （4）齿轮传动过程是平稳的，无脱啮现象。,丝杠螺母传动机构的模型 惯性负
5、载的等效转换：转换前后系统所具有的动能不变。 Je=mL(L/2)2,备注：其它物理量的等效转换 力（矩）负载的等效转换：转换前后力（矩）负载对系统的作功（功率）不变。 等效刚度：转换前后弹簧的变形能相等。 等效阻尼：转换前后阻尼的耗能功率相等。,同步齿形带传动机构的模型 主动轮半径：ri ； 从动轮半径：rL 齿形带弹性变形：l= riirLL 对主动轮和从动轮分别列写微分方程，并化简。,举例2：步进电机同步齿形带驱动装置,思考题：机床进给系统及简化 K1,K2,K3I,II,III轴的扭转刚度；K4丝杆螺母副及基座的轴向刚度 J1,J2,J3I,II,III轴上的转动惯量；Mi驱动马达输入
6、转矩 m工作台直线运动部分质量 B工作台直线运动速度阻尼 x0工作台位移 l丝杆螺母的螺距 z1,z2,z3,z4齿轮齿数,2.3 传动系统的仿真分析 2.3.1 基于动力学模型的仿真分析 应用Simulink工具箱建立系统模型，完成仿真。 2.3.2 基于SimMechanics模块库的仿真分析,2.4 面向实体的传动系统及机构建模 2.4.1 基于ADAMS的机械系统建模 2.4.2 基于MATLAB的机构建模,2.5 传动系统及机构试验建模 2.5.1 辨识的基本概念 试验建模或系统辨识：根据系统的输入输出数据建立系统数学模型。确定数学模 型结构和估计数学模型参数。 离线辨识与在线辨识。
7、 试验建模的方法：频率响 应法、脉冲试验法、随机 信号试验法,2.5.2 最小二乘辨识方法 最小二乘法的定义（1）：数学模型的结构 对SISO系统：A(z1)y(k)=B(z1)u(k)+e(k) 将算子A和B的各系数组成向量 =a1, a2, , an, b0, b1, b2, , bnT 并令(k)=y(k1), , y(kn), u(k), , u(kn)T y(k)=T(k)+e(k) 对N次观测，将k=n+1, , n+N代入上式，得到N个方程组成的线性方程组。,最小二乘法的定义（2）：线性方程组形式的数学模型 令Y=y(n+1), y(n+2), , y(n+N)T e=e(n+1
8、), e(n+2), , e(n+N)T 那么 Y=+e,最小二乘法的定义（3）：残差及准则函数 记参数的估计值为 ，由模型估计y(k)的值 残差：估计值和实际观测的差 准则函数： 或 J()=(Y)T(Y) 使J()最小的估计值 称的最小二乘估计。,最小二乘的解： J()取极值的条件：J()=0 TTY=0 T=TY 普通最小二乘估计,噪声对估计值的影响 假若噪声e(k)是具有不同统计特性的随机变量，则引入加权因子w(k) 或令w=diagw(n+1), w(n+2), , w(n+N) J()=(Y)Tw(Y) 由J()=0， 当e(k)是相互独立且具有同分布的随机变量，w=I 普通假定e
9、(k)是与输入无关的白噪声并服从正态分布。,统计特性： 无偏性 有效性 当w=R1时，加权最小二乘估计 是最小误差方差估计。 一致性：若e(k)是零均值白噪声序列（高斯白噪声）， 是的一致估计。 渐进正态性：若e(k)是高斯白噪声， 服从正态分布。,最小二乘递推算法（1）：无矩阵求逆，减少计算量和存储量；跟踪时变系统，实现在线辨识。 对于任意的N次观测，记PN=NTN1，有最小二乘解 增加一组新观测值uN+1=u(n+N+1)，yN+1=y(n+N+1)： YN+1=N+1T+eN+1； 其中，YN+1=YNT, yN+1T，N+1T=NT, N+1， N+1=yn+N, , yN+1, un
10、+N+1, , uN+1T,最小二乘递推算法（2）：PN+1与PN间的递推关系,最小二乘递推算法（2）： 与 间的递推关系,最小二乘递推算法（3）：算法流程 由m组数据确定初值 和Pm；或简单令 ，P0=2I， 为大的正数。 引入新一组观测数据uN+1和yN+1，构造 N+1=yn+N, , yN+1, un+N+1, , uN+1T 计算增益矩阵GN+1=PNN+1/(1+N+1TPNN+1) 计算预报误差 ，满足迭代终止条件时结束计算。 不满足迭代终止条件时计算PN+1=PNGN+1N+1TPN及 ，并转。,最小二乘适应算法（1）：数据饱和现象 增益矩阵随数据的增长而渐趋于0，使 。 发生
11、数据饱和时如参数估计值距真值偏差尚远，算法因失去修 正能力而失效；对时变 过程，将导致参数估计 值不能跟踪时变参数的 变化。 克服数据饱和的方 法：设法降低旧数据的 影响。对时变系统，在 辨识算法中充分利用新 数据所包含的信息。,最小二乘适应算法（2）：遗忘因子法 引入遗忘因子（01），并令=2 须为接近于1的正数，适用于常系数或缓慢时变系统。,最小二乘适应算法（3）：限定记忆法 设长度为N的数据，有NT=1, 2, , N，且PN=(NTN)1为已知，此时有估计 。 当有新数据uN+1, yN+1加入，据递推公式有 为保持数据长度为N，在序列中剔除数据u1, y1，并对pN+1作修正，有 存
12、在估计 ，注意此处N+1T =2, , N, N+1，YN+1=yn+2, , yn+N, yn+N+1T。,改进的最小二乘算法（1）：增广最小二乘法 在数学模型中引入噪声模型： A(z1)y(k)= B(z1)u(k)+D(z1)e(k)，或y(k)=T(k)+e(k) =a1, a2, , ana, b0, b1, b2, , bnb, d1, d2, , dmT (k)=y(k1), , y(kna), u(k), , u(knb), e(k1), , e(km)T 在此要求e(k)是可测量的。 递推增广增广最小二乘法的算法与RLS的形式一致，只是参数向量的维数扩充了m维。 算法简单，具
13、有一致无偏性。,改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法 在SISO模型中，将有色噪声e(k)描述为以白噪声序列(k)为输入的线性系统的输出：D(z1)e(k)=(k)，D(z1)=1+d1z1+d2z2 +dmzm 将D(z1)算子作用于SISO模型： A(z1)D(z1)y(k)=B(z1)D(z1)u(k)+D(z1)e(k) 即 A(z1)D(z1)y(k)=B(z1)D(z1)u(k)+(k) 将yf(k)=D(z1)y(k)和uf (k)=D(z1)u(k)视为白化滤波处理后的输出和输入。 A(z1)yf(k)=B(z1)uf(k)+(k),改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法
14、求解步骤 令D(z1)=1，利用基本最小二乘法对A(z1)和B(z1)进行估计得到 和 ； 计算 ； 由D(z1)e(k)=(k)，估计 ； 由D(z1)计算yf(k)=D(z1)y(k)及uf(k)=D(z1)u(k)，而后重新估计A(z1)和B(z1)； 重复步骤，直到满足估计精度。,改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法的递推算法 设tk时刻的模型和噪声参数估计分别为 和 在tk+1时刻对新加入数据yk+1和uk+1进行滤波： 并令 据 和RLS算法将系统参数 修正为 计算残差估计 ，并构造残差数据向量 据k+1和RLS算法将系统参数 修正为,改进的最小二乘算法（3）：辅助变量法原理
15、设存在与同阶的辅助变量矩阵Z，使 非奇异，且 （Z与e独立） 当矩阵Z的选择与噪声无关而与数据阵密切相关，并满足上述假设条件时， 即为的无偏一致估计： 辅助变量的选择方法：迭代辅助变量算法、自适应滤波法、纯滞后和Tally原理等。,改进的最小二乘算法（3）：迭代辅助变量法的参数估计流程 首先据观测数据、Y计算最小二乘估计 。 将 代入关系式：A(z1)w(k)=B(z1)u(k)，求得w(k)，w(k)为假定的理想系统在u(k)输入下的输出。 构造辅助变量矩阵 求 ，并以 取代 ，返回步骤反复循环迭代，直至取得满意辨识结果。,2.5.3 频率响应法 线性系统的频率保持性及频响特性 频响函数的测量 依赖于幅值的非 线性问题 不能直接模拟 大多数系统的 工作状态,附：振动试验系统之阶梯正弦激振测试 采用正（余）弦激振信号； 激励频率
