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1、,第二章 逻辑代数和逻辑函数化简,2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算,2.2 逻辑代数的基本定律及规则,2.3 逻辑函数的表示方法及其转换,2.4 逻辑函数的化简方法,与逻辑,2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算,或逻辑,非逻辑,数码,0, 1,相反的逻辑状态,1. 与逻辑：,当决定一事件的所有条件都具备时，这个事件才发生,这样的逻辑关系称为与逻辑。,功能表,2.1.1 基本逻辑运算,灭,灭,灭,亮,断,断,断,合,合,断,合,合,与逻辑关系,真值表,与逻辑的表示方法：,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,开关断用0表示, 开关闭合用1表示,灯亮用1表示, 灭用0表示,（Truth
2、table）,真值表,逻辑函数式,逻 辑 符 号,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,见0为0 全1为1,与门（AND gate),2. 或逻辑：,决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备时，这个事件就会发生,这样的逻辑关系称为或逻辑。,或逻辑关系,真值表,0,1,1,1,开关断用0表示, 开关闭合用1表示,灯亮用1表示, 灭用0表示,真值表,逻辑函数式,逻 辑 符 号,0,1,1,1,见1为1 全0为0,或门（OR gate),例：根据输入波形画出输出波形,A,B,见“0”为“0”，全“1”为“1”,见 “1”为“1”，全“0”为“0”,&,A,3. 非逻辑：,只要条件具备，事
3、件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生的逻辑关系。,真值表,逻辑函数式,逻 辑 符 号,非逻辑关系,1,0,0,1,非门（NOT gate),(1) 与非逻辑,2. 1. 2 复合逻辑运算,真值表,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,Y1,1,1,1,0,见0为1 全1为0,逻辑函数式,逻 辑 符 号,(2) 或非逻辑,2. 1. 2 复合逻辑运算,真值表,0,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1,1,Y2,1,0,0,0,见1为0 全0为1,逻辑函数式,逻 辑 符 号,(3) 与或(非)逻辑,(真值表略),与或非逻辑,与或逻辑,(4) 异或逻辑,(5) 同或逻辑,(异或非),
4、0,1,1,0,0 0,0 1,1 0,1 1,= AB,1,0,0,1,0 0,0 1,1 0,1 1,曾用符号,美国符号,国标符号,2. 1. 3 逻辑符号对照,国标符号,曾用符号,美国符号,或：,0 + 0 = 0,1 + 0 = 1,1 + 1 = 1,与：,0 0 = 0,0 1 = 0,1 1 = 1,非：,二、变量和常量的关系(变量：A、B、C),或：,A + 0 = A,A + 1 = 1,与:,A 0 = 0,A 1 = A,非：,2. 2. 1 逻辑代数的基本定律,一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 ),2.2 逻辑代数的基本定律及规则,三、与普通代数相似的定理,交换律
5、,结合律,分配律,证明公式,方法一：公式法,证明公式,方法二：真值表法,(将变量的各种取值代入等式 两边，进行计算并填入表中),A B C,四、逻辑代数的一些特殊定理,同一律,A + A = A,A A = A,还原律,证明：,A B,五、若干常用公式,分配律,(5),即,= AB,同理可证,六、关于异或运算的一些公式,异或,同或,AB,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,= AB,(4) 常量和变量的异或运算,(5) 因果互换律,如果,则有,证明,课 前 回 顾,刘雪婷,邮箱：liuxuet163. com,2.2.2 逻辑代数的基本规则,1. 代入规则：,等式中某一变量都代之以
6、一个逻辑函数，则等式仍然成立。,例如：已知,2.反演规则：求逻辑函数的反函数,则,将 Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.” “0”换成“1”,“1”换成“0” 原变量换成反变量，反变量换成原变量,已知,则,3. 对偶规则：,如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。,将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.”“0” 换成“1”,“1”换成“0”,例如,对偶规则的应用：证明等式成立,0 0 = 0,1 + 1 = 1,2.3.1 逻辑表达式,2.3 逻辑函数的表示方法及其转换,2.3.2 真值表,2.3.3 卡诺图,2.3.4 逻辑图,2.3.6 逻辑函数表示方法间的相互转换,2.
7、3.5 波形图,逻辑函数的基本概念,逻辑函数：,如果输入逻辑变量 A、B、C 的 取值确定之后，输出逻辑变量 Y 的 值也被唯一确定，则称 Y 是 A、B、 C 的逻辑函数。并记作,逻辑函数具有以下特点：,1. 输入变量与输出变量之间的逻辑关系；,2. 函数由三种基本逻辑运算组成；,3. 输入和输出逻辑变量的取值只能是0或1。,逻辑函数的相等,若两逻辑函数具有相同的真值表，则这两个逻辑函数相等。,从逻辑问题建立逻辑函数的过程,在现实生活中，为了解决实际逻辑问题，应根据提出的问题，确定哪些是逻辑自变量，哪些是逻辑因变量，然后研究他们之间的因果关系，列出真值表，再根据真值表写出逻辑表达式。,通过一
8、个简单的例子加以介绍。 右图是一个控制楼梯照明灯的电路。为了省电，人在楼下开灯，上楼后可关灯；反之亦然。A、B是两个单刀双掷开关，A装在上，B,装在楼下。只有当两个开关同时向上或向下时，灯才被点亮。试用一个逻辑函数来描述开关A、B与照明灯之间的关系。,解：,(1) 设开关A、B为输入变量:开关接 上面为 “1”，开关接下面为“0”,设电灯L为输出变量，灯亮L=1，灯灭L=0。,(3) 根据真值表，写出逻辑表达式：,(2) 列出A、B所有状态及对应输出L的状态，即真值表。,把对应函数值为“1”的变量组合挑出（即第1、4）组合，写成一个乘积项；,最后，将上述乘积项相或，即为所求函数：,0 1,1
9、0,1 1,1,0,0 1,优点：,书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。,缺点：,逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。,2. 3. 1 逻辑表达式,我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。,或与式,与或非式,1. 逻辑表达式的类型,与或式,与非-与非式,或与非式,或非-或非式,或非-或式,核心,标准与或表达式,2. 逻辑函数的标准形式,1 ） 最小项,标准与或式,标准与或式就是最小项之和的形式,（1） 最小项的概念：,包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或 反变量的形式出现一次。
10、,( 2 变量共有 4 个最小项),( 4 变量共有 16 个最小项),( n 变量共有 2n 个最小项),( 3 变量共有 8 个最小项),对应规律：1 原变量 0 反变量,（2） 最小项的性质：,0 0 0 0 0 0 0 1,0 0 0 0 0 0 1 0,0 0 0 0 0 1 0 0,0 0 0 0 1 0 0 0,0 0 0 1 0 0 0 0,0 0 1 0 0 0 0 0,0 1 0 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,A B C,a 任一最小项，只有一组对应变量取值
11、使其值为 1 ；,A B C 0 0 1,A B C 1 0 1,b 任意两个最小项的乘积为 0 ；,c 全体最小项之和为 1 ；,d 任何两个相邻项均可合并成一项并消去一个互补因子。,（3） 最小项的编号：,把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之 相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。,对应规律：原变量 1 反变量 0,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,1,2,3,4,5,6,7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,2） 最小项标准表达式,任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为
12、最小项之和的形式。,例 写出下列函数的标准与或式：,解,或,m6,m7,m1,m3,例 写出下列函数的标准与或式：,m7,m6,m5,m4,m1,m0,m8,m0,与前面m0相重,优点：,直观明了，便于将实际逻 辑问题抽象成数学表达式。,缺点：,难以用公式和定理进行运 算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。,2. 3. 2 逻辑真值表,2. 3. 3 卡诺图,优点：,便于求出逻辑函数的最简与或表达式。,缺点：,只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。,1,1,1,1,0,0,0,0,1. 变量卡诺图的画法,卡诺图：,最小项方格图(按循环码排列),（1）变量卡诺图一
13、般都化成正方形或矩形,（2）按循环码 (格雷码)排列变量取值顺序。,卡诺图：,(按循环码排列),G2 G1 G0,B2 B1 B0,0 0 0,0 0 0,0 0 1,0 0 1,0 1 0,0 1 1,0 1 1,0 1 0,1 0 0,1 1 0,1 0 1,1 1 1,1 1 0,1 0 1,1 1 1,1 0 0,2. 变量 的卡诺图,(四个最小项),A,B,三变量 的卡诺图：,八个最小项,A,BC,0,1,00,01,卡诺图的实质：,紧挨着,行或列的两头,对折起来位置重合,逻辑相邻：,两个最小项只有一个变量不同,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：,m0,m1,m
14、2,m3,m4,m5,m6,m7,五变量 的卡诺图：,四变量 的卡诺图：,十六个最小项,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。,AB,CDE,以此轴为对称轴（对折后位置重合）,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,m0,m1,m2,m3,m8,m9,m10,m11,m24,m25,m26,m27,m16,m17,m18,m19,m6,m7,m4,m5,m14,m15,m12,m13,m30,m31,m28,m29,m22,m23,m20,m21,三十二个
15、最小项,3. 逻辑函数的卡诺图表示法,1）. 根据变量个数画出相应的卡诺图；,2）. 将函数化为最小项之和的形式；,3）. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1 ， 其余位置填 0 或不填。,例,1,1,1,1,0,0,0,0,A,B,Y,C,优点：,最接近实际电路。,缺点：,不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。,2. 3. 4 逻辑图,波形图,输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形,A,B,Y,优点：,形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上 的对应关系。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个 数增多时，画图较麻烦。,2. 3. 5 波形图,2. 3. 6 逻辑函数各种表示方法间的相互转换,1.真值表,函数式,逻辑图,例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A) 和两名副裁判 (B、C) 中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动
