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1、机械工程控制基础,第五章频率响应分析,概述,上一章所讲的时域分析法是以时间t作为独立变量，分析系统在典型输入信号（阶跃信号）作用下的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。但也其不足的方面。,工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数 当系统的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作无法进行,概述,在工程实践中, 往往
2、并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将详细介绍控制系统的频率特性法。,控制系统的频率特性法是频率作为独立变量，以正弦信号作为基本输入信号来分析系统的性能一种方法。研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。,概述,频域分析法是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，而可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根。 时域
3、指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。 根据系统的开环频率特性能揭示系统的动态性能和稳态性能, 得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。,频率分析法的特点,概述,具有明确的物理意义，可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。 频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。近来，频率法还发展到可以应用到多输
4、入量多输出量系统，称为多变量频域控制理论。,频率分析法的优点,概述,频率特性及其与传递函数的关系 频率特性的极坐标图（乃奎斯特图） 频率特性的对数坐标图（伯德图） 最小相位系统 闭环频率特性与频域性能指标,1.1 频率响应,1.频率响应和频率特性,频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应。即一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。,1.1 频率响应,1.频率响应和频率特性,实例：RC滤波网络,设输入信号为,求系统的稳态输出,如图所示一阶RC网络，ur(t)与uc(t)分别为输入与输
5、出信号，其传递函数为,Ar与分别为输入信号的振幅与角频率，,1.频率响应和频率特性,由传递函数，系统输出为,1.1 频率响应,对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：,1.频率响应和频率特性,取拉普拉斯反变换，得输出信号,1.1 频率响应,输出由两项组成：,第一项是瞬态响应分量，呈指数衰减形式，衰减速度由电路本身的时间常数T决定。,第二项是稳态响应分量，当t时，瞬态分量衰减为0，此时电路的稳态输出为：,可见，输出信号与输入信号是同频率的正弦函数，但幅值与相位不同，输出滞后于输入。,1.频率响应和频率特性,1.1 频率响应,实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定的线性定常系统（或元件），
6、当输入信号为正弦信号r(t)=sint 时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为 css(t)=Asin(t+)，如图所示。,1.1 频率响应特点,1.频率响应和频率特性,Xi=Aisint,Xo=Ao()sint+(),稳态输出与输入相比，都是同频率的正弦函数，但幅值不同，相位不同。 稳态输出的幅值为输入幅值的一个相应的倍数； 相位比输入相位滞后一个角度。,幅值比,相位差,1.2频率特性,对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出的幅值比A与相位差只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比A与相位差仅是的函数，可以分别表示为A()与()。 若输入信号的
7、频率在0的范围内连续变化，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。,1.频率响应和频率特性,1.2频率特性,频率特性：线性定常系统（或元件）在零初始条件下，在正弦信号作用下，当频率在0的范围内连续变化时，稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化而呈现的变化规律称为系统的频率特性。 频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，只和系统的结构与参数有关，是线性定常系统的固有特性。,1.频率响应和频率特性,1.2频率特性,频率特性由幅频特性和相频特性两部分组成。,系统稳态正弦输出信号
8、与相应的正弦输人信号的幅值之比随输入频率的变比而变化的特性称为幅频特性，它描述了系统在稳态响应时对不同频率的正弦输入信号幅值的放大（A1） 、衰减A1）特性。,系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相位之差随输入频率的变化而变化的特性称为相频特性，它描述了系统在稳态响应时输出信号相位对输入信号相位的超前（0） 、迟后（0）特性。,幅频特性A(),相频特性(),1.频率响应和频率特性,1.2 频率特性,1.频率响应和频率特性,实频特性,虚频特性,幅频特性,相频特性,将s=j代入系统或元件的传递函数,G(j)就是频率特性通用的表示形式，是的函数。,1.3 频率特性的特点,1.频率响应和频率特性
9、,频率特性是通过分析系统对不同频率正弦输入的稳态响应来获得系统的动态特性。若系统的输入信号为正弦信号，则系统的稳态输出也是同频率的正弦信号，但幅值和相位与输入的正弦信号不同。 频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，只与系统的结构与参数有关，是线性定常系统的固有特性。 频率响应有明确的物理意义，并且可以用实验的方法获得，这对于不能用解析法建模的元件或系统，具有非常重要的意义。即使对于能用解析法建模的元件或系统，也可以借用频率响应实验对其数学模型进行检验和修正。,1.3 频率特性的特点,1.频率响应和频率特性,便于研究系统结构参数变化对系统性能的影响。 不需要解闭环特征方程，利用乃
10、氏判据，根据系统的开环频率特性就可以研究闭环系统的稳定性。 频率特性不只是对系统而言，其概念对元件、部件、控制装置等都适用。 尽管频率特性是一种稳态响应，是在系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则无法直接观察到这种稳态响应。但是，从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。我们仍可以用频率特性来分析研究系统，包括它的稳定性、动态性能、稳态性能等。 频率特性和传递函数一样，只适用于线性定常系统。,1.频率响应和频率特性,1.4 频率特性与传递函数的关系,实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性描述系统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统的数学模型
11、。和微分方程与传递函数之间可以相互转换类似，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简单的转换得到. 系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对应特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统所有特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号：,线性系统的频率特性与传递函数存在以下关系,1.频率响应和频率特性,1.4 频率特性与传递函数的关系,这是一个十分重要的结论：系统的频率特性可由系统的传递函数G(s)将j代替其中的s而得到。,表明系统跟踪、复现不同频率信号的能力。当频率低时，系统能正确响应、跟
12、踪、复现输入信号；当频率高时，系统输出幅值衰减近似为0，相位严重滞后，系统不能跟踪、复现输入。,系统的频率特性随频率而变化的根本原因：系统有蓄能 元件、有惯性，对频率高的输入，系统来不及响应。,1.频率响应和频率特性,1.5 频率特性的物理意义和数学本质,在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率在0的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。,系统的频率特性是系统的固有 特性，取决于系统结构和参数。 时间常数一旦确定，频率特性随 之而定，幅频特性、相频特性也 就确定，时间常数越大
13、，系统能 跟踪复现的信号的频率越低。控 制系统具有低通滤波器特性,1.频率响应和频率特性,1.5 频率特性的物理意义和数学本质,1.频率响应和频率特性,1.5 频率特性的物理意义和数学本质,频率特性是描述系统固有特性的数学模型，与微分方程、传递函数之间可以相互转换。,以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。,1.6 频率特性的求取,1.频率响应和频率特性,1、根据定义求取已知系统的微分方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比。,2 根椐传递函数来求取：求出G(s)后，用j替代s即可。,1.6
14、 频率特性的求取,1.频率响应和频率特性,3 实验方法：不能用计算方法建立系统数学模型时尤其适用。 向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号 r(t)=Rsint 在0的范围内不断改变的取值，并测量与每一个值对应的系统的稳态输出 cs(t)= A()Rsin(t+() 测量并记录相应的输出、输入幅值比与相角差。根据所得数据绘制出幅值比与相角差随的变化曲线，并据此求出元件或系统的幅频特性A()与相频特性()的表达式，便可求出完整的频率特性表达式。,1.频率响应和频率特性,将s 代之以 j 得到系统的频率特性函数为：,1.6 频率特性的求取,例 设控制系统的传递函数为,试求在输入信号,作用下的稳
15、态输出。,解：,系统的传递函数,系统的频率特性,系统的幅频特性和相频特性分别为：,稳态输出为,1.6 频率特性的求取,1.频率响应和频率特性,频率法特别重视图解方法,频率特性的主要图解方法,由于计算机的出现，作图已经变得很容易了，但这些图解方法的重要性在于，其物理意义非常明确，使人们易于掌握系统的物理本质和动态特性。,2 频率特性的图解方法,2 频率特性的图解方法,1极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以为参变量的幅值与相位的图解表示法。 2对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以log为横坐标，对数分度，分别以 和 作纵坐标的一种图示法。 3对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相位 为横坐标，以 为纵坐标，以 为参变量的一种图示法。,END,
