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1、4-2 简谐运动的合成和分解,4-2-1 简谐运动的合成,1. 两个同方向、同频率的简谐运动的合成,某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：,A1、A2、A一起以 转动，保持相对静止。,的具体象限要根据 确定。,结论：,同方向同频率振动合成,多个简谐振动的合成,其中：,例11 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) 1、求合振动的振幅。 2、求合振动的振动方程。,解：,解：,例12.两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为 。若第一个振动的振幅为 。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？,2. 两
2、个同方向不同频率简谐运动的合成,相对于 的转动角速度：,两矢量同向重合时：,合振动振幅 极大,合振动振幅 极小,两矢量反向重合时：,拍：合振动的振幅时强时弱的现象,拍现象,拍的周期：,拍的频率：,从解析式来分析：,当,paipin.m,为一谐振因子,3. 相互垂直的简谐运动的合成,x方向的谐振动,y方向的谐振动,两个同频率相互垂直简谐运动的合成,结论：两相互垂直同频率简谐运动的合成其振动轨迹为一椭圆(又称“椭圆振动”)。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。,讨论：,结论：质点振动轨迹为正椭圆,当：,结论：质点作线振动,李萨如图形,相互垂直的简谐振动的合成,Lissajou,4-2-2 简谐运动的
3、分解,两个频率比为1:2的简谐运动的合成,如果将一系列角频率是某个基本角频率（亦称主频）的整数倍的简谐运动叠加，则其合振动仍然是以为角频率的周期性振动，但一般不再是简谐运动。,一个以为频率的周期性函数 f (t)，可以用傅里叶级数的余弦项表示为：,：主频,：n 次谐频,频谱分析,4-3 阻尼振动、受迫振动和共振,4-3-1 阻尼振动 (damped vibration),阻尼振动：振动系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动。, ：阻尼系数 (damping parameter),令,：无阻尼时振子的固有频率,：阻尼因子,动力学方程,方程解：,解微分方程：,1、欠阻尼情况：阻力很小,周期：,角频
4、率：,阻尼较大时（ ），振动从最大位移缓慢 回到平衡位置，不作往复运动。,2、过阻尼情况： 阻力很大,弱阻尼,3、临界阻尼情况：,方程解：,当（ ）时，为“临界阻尼”情况。是质点不作往复运动的一个极限,zuni.m,a：小阻尼,b：过阻尼,c：临界阻尼,4-3-2 受迫振动和共振,系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动。,受迫振动：,策动力(driving force)：,周期性的外力,设：,1. 受迫振动 forced vibration,由牛顿第二定律,令,方程的解：,在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解， 为,第一项为暂态项，经过一端时间以后趋向于零， 为积分常数，由初
5、始条件确定；,第二项为稳定项，将特解 代入原方程求得,（1）,对t求导：,（2）,在（2）式中令t = 0：,受迫振动是阻尼振动和简谐振动的合成。 经一段相当的时间后，阻尼振动衰减到可以忽略不计，这样就成为一简谐振动，其周期为驱动力的周期，振幅、初相位不仅与初条件有关，而且与系统的性质、驱动力的频率和力幅、阻尼的大小有关。,稳定后的振动表达式：,结论：1. 受迫振动的频率与策动力的频率相等。,受迫振动的振幅：,受迫振动的初相位：,结论：稳态响应的振幅与外力幅值成正比。,归纳:,共振：当策动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅将达到极大值的现象。,2. 共振（Resonance）,求极值：,共
6、振频率：,共振振幅：,0为固有频率,极大，则分母极小。,设：,有：,共振频率：,共振振幅：,证明:,阻尼系数 越小，共振角频率r越接近于系统的固有频率O ，同时共振振幅Ar也越大。,结论：,受迫振动的速度：,速度幅：,时，速度幅极大,在速度共振条件下稳态振动的初相位为,结论：速度和策动力有相同的相位。即策动力对振动系统始终做正功。,速度共振又称能量共振！,共振小人,1940年，Tacoma Narrows大桥在通车4个月零6天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。,shoupo.m,例13：一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动。开始时其振幅为120mm，经过2.4分钟后，振
7、幅减为60mm。问：（1）如振幅减至30mm时需要经历多长时间。（2）阻尼系数为多少？,解：,阻尼振动方程,取两不同的时刻 t1和 t2,4-4 非线性振动 混沌,几个世纪以来，物理学研究的主要是线性问题。,本讲从振动和波出发来引出非线性的基本概念和性质，以及非线性系统从非混沌态到混沌态的演化过程。,近年来，物理学作为一门基础科学，在研究这些非线性现象方面已经取得相当的成功。,由于非线性的存在，而使物理世界的图景大为改观！,4-4-1 非线性振动,设一个质点和一个理想弹簧构成一个振动系统,弹性力：,阻力：,策动力 ：,系统的运动方程：,令,二阶线性微分方程：,二阶非线性微分方程：,单摆非线性行
8、为的物理分析,由于角位移的二阶导数与角位移之间不是线性关系，单摆的振动一般不是简谐振动。,很小，（ 5）,得线性方程：,简谐运动,若不是很小，则 至少要保留至第二项。,得非线性方程：,相图法：即运用一种几何的方法来讨论非线性问题。,将质点的位置（或角位置）作为横坐标轴； 将质点的速度（或角速度）作为纵坐标轴。,相平面：,相：某种运动状态,相点 ：在相平面内表征运动状态的一个点。,相迹（相图）： 相点的运动轨迹（反映运动状态的变化）。,单摆作小角度摆动：,单摆作小角度摆动时，其相迹为一正椭圆。,封闭的相迹表示运动是周期性的往复运动。,x-t,x,t,v-x,取两组不同的初始条件：,小角度阻尼摆动
9、：,一条向内旋的螺旋线，曲线最终趋向中心点。,吸引子：对应着系统的稳定状态（中心点）。,相图：,吸引子,螺旋线,只要外力项和阻尼项保持不变，不同的初始条件都导致同一个吸引子。,小角度受迫摆动：,吸引子（极限环）： 对应着系统的稳定状态（椭圆）。,较大角度受迫摆动：,设：,改变策动力：,非线性动力学方程对初始条件特别敏感，初始条件略微改变，将导致系统最终的运动状态与原来的完全不同。现了混沌运动 。,吸引子,不管轨道的起点在哪里，经过不同的螺旋运动后，位于原点的吸引子总是把它们吸引到原点来，它们对其他不稳定的“点”有一种“吸附”作用，因此可将结构稳定的部分称为“吸引子”。,“吸引”是指系统状态变化
10、的趋向，而不是实际的“吸引力”。,零维吸引子,焦点,节点,鞍点,一维极限环在二维相空间中表现为一个“闭轨”,一维吸引子,节点,鞍点,两类吸引子,平庸吸引子,奇怪吸引子,相空间维数是整数维的吸引子，例如零维、一维、二维、高维的。,具有非整数维数的吸引子，例如Lorentz吸引子。,六十年代初美国气象学家Lorentz用计算机从大气的流体力学方程计算气压变化，发现气压忽高忽低，气流忽南忽北，呈现出一种有规律的无序。,链接,链接,Lorentz吸引子,整体的稳定性,这种有规律的无序特征表现在：,奇怪吸引子,局部的不稳定性,只要系统的状态处在相应“吸引域”内，运动轨道都会向它会聚，而且一旦入该吸引子的
11、区域就永不离开它。,在奇怪吸引子之上，轨道会出现急剧分离。 奇怪吸引子的维数必须大于零，因为零维吸引子（不动点）上是没有“分离”余地的。 一维或一维以上的相空间中才有可能出现奇怪吸引子。,Lorentz吸引子,由两个绕不动点作周期运动的曲线组成 在入吸引子区域后，先在某一片上作周期运动，又跳到另外一片，在两片上跳来跳去，呈现一种随机的运动。 基本特征是对初始条件的敏感依赖性。,Lorentz吸引子“蝴蝶效应”,hundun.m,4-4-2 混沌,混沌： 发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。,一个确定性系统如果不受外来干扰，它自身就不会出现随机性。,外随机性：,对某些看来完全确定的系统行数
12、学模拟时，发现它们能自发地产生出随机性来。,内随机性：,混沌是非线性动力系统的固有特性，也是非线性系统普遍存在的现象。,混沌现象的特征:,初值敏感 周期分岔 自相似结构,六十年代初，美国气象学家Lorentz对大气规律行研究：Lorentz把大气的流体力学方程作了简化，起初结果与自己直觉相一致：气压忽高忽低，气流忽南忽北，呈现出一种有规律的无序。 Lorentz为了考虑更长时间的模拟情况，他输入的数据不是初值而是上次运算的中间值，从这一中间值而引出的结果不一样，而且随时间推移差距越来越明显。,初值敏感,初值敏感,初值: 0.4 0.4001,chuzhiminggan.m,虫口模型,1. 虫口
13、变化的抛物线模型,每年夏季成虫产卵后全部死亡；,设第 n 年的虫口数目为 xn,第二年春天每个虫卵孵化成一只虫子；,设平均每只成虫产卵a 个，则每年春天孵化出的虫子数总是前一年成虫数的a 倍。,一般规律：,周期分岔,食物和空间有限，虫子们会为争夺生存条件而相互咬斗。,减员事件：,虫子数目多了，传染病会因为接触增加而蔓延。,减员修正：,重新定义变量和参量，可以把方程写为：,这个方程称为抛物线映射,固定参量m 之后，取初值 x0代入，算出x1，再把x1作为新的变量，计算x2,.如此不断迭代下去。 算出一条轨道x0, x1, x2,. , +1,。其中每个 是一个轨道点。,迭代计算：,可能出现的几种
14、迭代结果,从某次迭代开始， =x*，不再变化,从某次迭代始， 入有限个数字周而复始、无限重复状态,若干年后虫口数有模糊的重复规律，但轨道点永不准确重复,轨道点像是随机地取值，但其中有某些重复图式或“结构”,2.分岔,抛物线映射的分岔图,纵坐标：xn 的一维相空间， 即区间-1,1。 横坐标：参量空间 m (0,2)。,用数值计算和绘图的方法研究抛物线映射的结果:,扫过全部m 值范围，得分岔图,每个参量对应一个值，为不动点或周期1的范围,处发生第一次分岔,分岔结构分析,在m=1.25 处发生第二次倍周期分岔,诞生稳定的周期4轨道,周期4轨道的稳定范围比周期2窄，只到1.3681,抛物线映射的分岔
15、图,根本没有周期，达到了混沌态！,从 到 倍周期分岔序列，其周期为,zhouqifenca.m,zhouqifenca2.m,取出分岔图的一小部分加以 放大，它包含相同的结构。,从 m=1.75 到 m=1.8 的上、中、下三支任取一支，适当改变比例，都可以得到同整个分岔相似的图形。,自相似结构,振子运动方程：,有阻尼有外力的非线性振子模型,非线性项,外力项,这是描述有阻尼有外力振子的非线性微分方程,非线性振子模型,(1)无外力的自由振动(=0）,通过数值运算，画出相轨道。,运动的初始条件对结果影响很大,A,B,C,初值敏感,若去掉阻尼和外力项，取b =1， m =0， g =0,方程两边同乘
16、dX，积分后得:,无外力无阻尼时系统机械能守恒，故势能项为：,（2）无外力无阻尼的自由振动情形,非线性振子的势能曲线,从非线性振子的势能曲线分析运动趋势：,不稳定 平衡点,稳定平衡点 (吸引中心),稳定平 衡点,一旦系统入一边的井部区域，它就只能在这个区域里运动。 如果存在阻尼，则系统的运动一定是越来越接近井底，最后在井底的平衡点静止下来。,（3）有外力有阻尼的非线性振动行为,只是系数 稍有不同，振动行为却大相径庭！,运动行为的具体分析：,运动方程1：,运动方程2：,代表的系统运动是周期性的，它的解是确定的，其相空间会收缩成一个极限环。,代表的系统运动是混沌态： 当外力项频率参量逐渐减小时, 方程的解就由一个确定的解变成二个、 四个、八个、，直到最后变成。,
