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1、第二章第二章 平稳过程与二阶矩过程平稳过程与二阶矩过程 授课教师：樊平毅 清华大学电子工程系 授课教师：樊平毅 清华大学电子工程系 2007 平稳过程与二阶矩过程平稳过程与二阶矩过程 内容简介内容简介 ?2.1 相关函数相关函数 ?2.2 功率谱功率谱 ?2.3 功率谱与时域平均功率谱与时域平均 ?2.4 线性系统线性系统 ?2.5 随机连续性随机连续性 ?2.6 随机微分随机微分(均方意义均方意义) ?2.7 Taylor级数级数 ?2.8 随机微分方程随机微分方程 ?2.9 随机积分随机积分 ?2.10 遍历性讨论遍历性讨论 ?2.11 抽样定理与随机预测抽样定理与随机预测 2.1 相关函
2、数相关函数 ?对于宽平稳过程而言，其平均值定义为 其中表示对随机变量 对于宽平稳过程而言，其平均值定义为 其中表示对随机变量X取均值。取均值。 ?互相关函数为 表示取共轭运算。 显然，。 互相关函数为 表示取共轭运算。 显然，。 ?若是实的宽平稳过程，则为若是实的宽平稳过程，则为偶函数偶函数。 )(tX x tXE=)( )(XE )()()()()( * xxx RRtXtXER=+= * )()( * RR= )(tX)(R 2.1 相关函数相关函数 ?两个联合平稳的过程，其联合二 阶矩是它们的 两个联合平稳的过程，其联合二 阶矩是它们的互 相关。 互 相关。 ?自协方差与互协方差定义为：
3、自协方差与互协方差定义为： )(),(tYtX )()()()( * =+=yx xy RtYtXER * * * 2 * )( )()()( |)( )()()( yxxy yxxy R tYtXEC R tXtXEC = += = += 2.1 相关函数相关函数 ?简单的性质：简单的性质： (1)若，则若，则 (2)若与独立，若与独立，W(t)=X(t)Y(t), 则则. (3) )()()(tYtXtZ+= )()()()()( yxxyyyxxzz RRRRR+= )(tX)(tY )()()( yyxxWW RRR= . 0)0(R 2.1 相关函数相关函数 (4)若为实的，则 从而
4、得在 若为实的，则 从而得在原点达到极大值原点达到极大值。如果关于 处可导，则有。 。如果关于 处可导，则有。 (5)对于两个实过程与，则对于两个实过程与，则 )(tX 0)()0( 2)()( 2 =+RRtXtXE )(R)(R0= 0)0(=R )(tX )(tY )0()0()( 2 yyxxxy RRR )0()0(| )(|2 yyxxxy RRR+ 基本 不等式 基本 不等式 常用证明技巧常用证明技巧 算数平均 几何平均 算数平均 几何平均 证明 技巧 证明 技巧 推广 应用 推广 应用 重要 性 重要 性? 例题例题 ?例例2.2.2 的自相关为， 为常数，求 的自相关函数。
5、解：分两步求解， 特别，时， 的自相关为， 为常数，求 的自相关函数。 解：分两步求解， 特别，时， )(tX),( 21 ttR a )()()(tXatXtY+= ),(),()()(),( 21212121 ttRattRtYtXEttRxy+= ),(),(),(),( ),(),()()(),( 21212121 21212121 ttRattRtatRatatR ttRtatRtYtYEttR xyxyyy += += ttt= 21 ),(),(),(),()()( 2 ttRattRtatRatatRtXatXE+=+ 应用讨论应用讨论 例题例题 ?例例2.2.3 设过程由下式
6、给出 是两个独立正态随机变量， 且有 设过程由下式给出 是两个独立正态随机变量， 且有 w为常量， 求的平均值与自相关？ 解：容易求得。下面求解相关函数： 为常量， 求的平均值与自相关？ 解：容易求得。下面求解相关函数： )(tX wtbwtatXsincos)(+= ba, 222 )()(, 0)()(=bEaEbEaE )(tX . 0)(=tXE ).(cos sinsin)(coscos)( )sincos)(sincos(),( 21 2 21 2 21 2 221121 ttw wtwtbEwtwtaE wtbwtawtbwtaEttR = += += 例题例题 有许多特殊的应用
7、有许多特殊的应用 利用随机微分方程分析信道的统计特性利用随机微分方程分析信道的统计特性 07 IEEE T-IT 显然，其自相关 函数是参数 显然，其自相关 函数是参数 r 和和 n 的函数，它表 明序列 的函数，它表 明序列Xn 不 是平稳过程。 不 是平稳过程。 当当n充分大时，此 一阶回归模型可以 看成渐近平稳过 程。 充分大时，此 一阶回归模型可以 看成渐近平稳过 程。 讨论讨论： ?当一个严平稳过程的一阶矩、二阶矩存在时，它 一定是宽平稳过程；否则，结论不成立。 当一个严平稳过程的一阶矩、二阶矩存在时，它 一定是宽平稳过程；否则，结论不成立。 ?一般的宽平稳过程不是严平稳过程，因为一
8、般的宽平稳过程不是严平稳过程，因为“一阶矩 与时间无关 一阶矩 与时间无关”是不能推出它的概率分布也与时间无 关；同样，自相关函数只依赖于时间差，也不能 推出它的二维联合概率分布与采样时间有关。 是不能推出它的概率分布也与时间无 关；同样，自相关函数只依赖于时间差，也不能 推出它的二维联合概率分布与采样时间有关。 ?如果一个过程的所有的高阶矩或高阶相关函数完 全由一阶矩、二阶矩决定，此时，宽平稳与严平 稳是等价的。到目前为止，我们了解到的具有此 类特征的过程只有正态过程（高斯过程） 如果一个过程的所有的高阶矩或高阶相关函数完 全由一阶矩、二阶矩决定，此时，宽平稳与严平 稳是等价的。到目前为止，
9、我们了解到的具有此 类特征的过程只有正态过程（高斯过程）。 2.2 功率谱功率谱 定义：一个随机过程的功率谱是它自关 函数的付里叶变换 记为。即 因为，故是个实函数 由于，故 的总面积为非负，且等于过程的 定义：一个随机过程的功率谱是它自关 函数的付里叶变换 记为。即 因为，故是个实函数 由于，故 的总面积为非负，且等于过程的“平均功 率 平均功 率”。 )(tX )(R )(S + = dReS j )()( + = deSR j )( 2 1 )( )()( * RR= )(S 0|)(|)0()( 2 1 2 = tXERdS 2/ )(S 基本 定义 基本 定义 2.2 功率谱功率谱
10、?讨论讨论： （1）若过程是实的，则也是实的， 而且是偶函数，因此也是偶函数，此 时有 （ 若过程是实的，则也是实的， 而且是偶函数，因此也是偶函数，此 时有 （2）功率谱定义为互相关函数的付里叶变 换似乎缺少一定理由 功率谱定义为互相关函数的付里叶变 换似乎缺少一定理由。 )(tX)(R )(S dSR dRS = = )cos()( 2 1 )( )cos()()( 2.2 功率谱功率谱 ?定义：两个过程的定义：两个过程的交叉功率谱交叉功率谱是它 们互相关函数的付里叶变换： 相应的 是它 们互相关函数的付里叶变换： 相应的反演公式为反演公式为 )(),(tYtX )()()( * yx j
11、 xyxy SdeRS= deSR j xyxy =)( 2 1 )( 2.3 功率谱与时间平均功率谱与时间平均 (1) ?假设为平稳随机过程假设为平稳随机过程, 定义区间 内的 定义区间 内的“平均随机功率平均随机功率” 为为 ?问题：在什么条件下，当时，随机变 量的期望值应趋于，而它的方差 应趋于零。 问题：在什么条件下，当时，随机变 量的期望值应趋于，而它的方差 应趋于零。 )(tX()TT, 2 )( 2 1 )( = T T tj T dtetX T S T )( T S)(S 2.3 功率谱与时间平均功率谱与时间平均(2) ?定理：（定理：（充分条件充分条件）若，则 证明：利用定义
12、可得： ）若，则 证明：利用定义可得： dR)( )()(limSSE T T = = = T T T T vuj T T jv T T ju T dudvevXuX T dvevXdueuX T S )(* * )()( 2 1 )()( 2 1 )( 部 分 解 释 部 分 解 释 2.3 功率谱与时间平均功率谱与时间平均 (3) 又 故 则相应的雅可比行列式的值为 又 故 则相应的雅可比行列式的值为 )()()( * vuRvXuXE= = T T T T vuj T dudvevuR T SE )( )( 2 1 )( 2/1 2/12/1 2/12/1 = = = vu vu J 坐
13、标转换坐标转换 2.3 功率谱与时间平均功率谱与时间平均 (4) 于是 利用已知条件可得：当时，上述第二个积分 的值趋于零，第一个积分趋于。证毕 于是 利用已知条件可得：当时，上述第二个积分 的值趋于零，第一个积分趋于。证毕 ?讨论：因为的值为非负的，故它的期望值也 非负；因此，我们可以判定此定理从另一 个侧面告诉我们 讨论：因为的值为非负的，故它的期望值也 非负；因此，我们可以判定此定理从另一 个侧面告诉我们直接利用相关函数的傅立叶变换可 得到功率谱是有意义的 直接利用相关函数的傅立叶变换可 得到功率谱是有意义的。 + = T T T T j T ddeR T SE 2 2 |2 |2 )(
14、 2 1 )( deR T deR j T T T T j = 2 2 2 2 )(| 2 1 )( T )(S )( T S . 0)(S 例题例题 注解注解: 讨论此问题时讨论此问题时,首先要讨论功率谱的存在性首先要讨论功率谱的存在性,然后再进行计算然后再进行计算. 注意注意 条件与结论条件与结论 逆问题逆问题: 利用功率谱密度计算自相关函数和 平均功率 利用功率谱密度计算自相关函数和 平均功率? 思考思考 需要注意 什么 需要注意 什么? 逆向应用逆向应用 究竟如何求解此 类问题 究竟如何求解此 类问题? 对称性处理对称性处理 面向应用面向应用 线谱分量存在线谱分量存在 组合应用组合应用
15、 值得思考的几个问题值得思考的几个问题 1 功率谱函数是否可以任意选择功率谱函数是否可以任意选择? 如果一个 函数是某一随机过程的功率谱函数 如果一个 函数是某一随机过程的功率谱函数,如何 进行判定 如何 进行判定? 2自相关函数是否可以任意选择自相关函数是否可以任意选择? 如果选择 时应注意什么 如果选择 时应注意什么? 3 它们与传统的它们与传统的Fourier变换对之间有什么 不同 变换对之间有什么 不同? 2.4 线性系统线性系统 ?对给定一个线性系统，它的脉冲响应记为，相 应的频域响应记为。 对给定一个线性系统，它的脉冲响应记为，相 应的频域响应记为。 ?现设该系统的输入是一个过程，则相应的输出 可表示为： 现设该系统的输入是一个过程，则相应的输出 可表示为： ?事实上，对于每一个可实现系统，其脉冲响应取实 值，且当 事实上，对于每一个可实现系统，其
