《清华电子系山秀明《信号与系统》电子课件第四章：信号的谱表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清华电子系山秀明《信号与系统》电子课件第四章：信号的谱表示（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、信号与系统 第四章：信号的谱表示 第四章：信号的谱表示 4.1 1 0 L,t t上的傅里叶级数（ 信号与系统第二版（郑君里）3.1，3.2） ( )( ) 0 1 0 L,|d t t t tf tf tt = ( ) 1 22 11 expjtg j F = + + ( ) 22 1 F = + ，( ) 1 tg = （4-33） 信号与系统 第四章：信号的谱表示 图4-12 ? 符号函数： ( ) 1,0 sgn 1,0 t t t = ，( )() 1 sgnL,t + ( )( )( ) j 0 sgnlimsgnd tt Ftt eet + = F F ( )jsgn 2 2j2
2、 e = = （4-34） 图4-13 ? 冲击函数： ( )( )f tt= ( )( )( ) j d1 t Ftt et + = F F （4-35） 图4-14 ? 直流： 信号与系统 第四章：信号的谱表示 ( )1f t =，(),t + ( )( ) j 1d2 t Fet + = i （4-36） 图4-15 ? 阶跃函数： ( )( )( ) 11 sgn 22 f tu tt=+ ( )( )( ) 111 sgn 22j Ft =+=+ FFFF （4-37） 图4-16 4.4 傅里叶变换的性质（ 信号与系统第二版（郑君里）3.7，3.8） 设( )( )f tF=F F
3、， F F是线性变换：()() 1 :L,L, + +F F， ( )( ) 11 NN nnnn nn ftft = = FFFF （4-38） 对称性： ( )()2F tf=F F （4-39） 证明：( )( ) j 1 d 2 t f tFe = 信号与系统 第四章：信号的谱表示 ()( ) -j 1 d 2 t ftFe = t ()( )( ) -j 11 d 22 t fF t etF t = F F。 共轭： ( )() * ftF=F F （4-40） 证明：( ) ( ) *-j d t ftft et =F F ( ) () * j* d t f t etF = 。 注
4、：1) 若( )f t为实函数：( )( ) * f tft=， 则( )( )() * Ff tF=F F。 ( ) ( ) () ()j-j FeFe =， ( )()FF= 模偶对称性， ( )() = 相位奇对称性。 2) 若( )f t为纯虚函数，( )()FF=和( )() = 仍然 成立。 相似性定理（Similarity Theorem） （尺度变换性质） ： () 1 ftF = F F （4-41） 特别地，当1= 时， ()()ftF=F F （4-42） 时移： ()( ) -j f teF =F F （4-43） 图4-17 信号与系统 第四章：信号的谱表示 调制（频
5、移） ： ( )() 0 j 0 t f t eF =F F （4-44） 图4-18 ( )()() 000 11 cos 22 f ttFF=+F F ( )()() 000 11 sin 2j2j f ttFF=+F F （4-45） 注：此时谱的形状没有发生变化，为线性调制。 时域微分： ( )( )pjf tF=F F， d p = dt （4-46） 证明：( )( ) j 1 d 2 t f tFe = ， ( )( ) j 1 ppd 2 t f tFe = （注：p对t进行作用） ( ) j 1 pd 2 t Fe = ( ) j 1 jd 2 t Fe = ( ) 1 jF
6、 =F F， ( )( )pjf tF=F F。 推广： ( )()( ) n pj n f tF=F F （4-47） 频域微分： ( )( )()( ) 11 d pj d FFt f t = FFFF （4-48） 证明：( )( ) j d t Ff t et = 信号与系统 第四章：信号的谱表示 ( )( ) j dd d dd t Ff t et = ( ) j d d d t f tet = ( ) j jd t tf t et = ()( )jt f t=F F 推广： ( )()( ) 1n pj n Ftf t = F F （4-49） 时域卷积： ( )( )( )( )
7、 1212 ftftFF=F F （4-50） 图4-19 频域卷积定理： ( )( )( )( ) 1212 1 2 ft ftFF =F F （4-51） 图4-20 证明：( )( )( )( ) j 1212 1 d 2 t ft ftftFe = FFFF ( )( ) jj 12 1 dd 2 tt ftFeet = ( )( ) ()j 21 1 dt d 2 t Fft e = ( )() 21 1 d 2 FF = ( )( ) 12 1 2 FF =。 信号与系统 第四章：信号的谱表示 时域积分：记： - 1 d p t =，则 ( )( ) ( )( ) ( ) - 11
8、 d0 pj t f tfFF =+ FFFF （4-52） 特别地，当( )00F=时，即信号没有直流分量， 即( )( )( ) 0 - 0|dt0FFf t + = = ( )F在0=处有界，有 ( )( ) 11 pj f tF = F F （4-53） 证明：( )( )( ) 1 p f tf tu t = FFFF ( )( ) 1 j F =+ ( )( ) ( ) 1 0 j FF =+。 矩定理：( )( )f tF=F F，( )f t的n阶矩：( )d n n mt f tt + ?，则 ( ) ( )()0j n n n Fm= （4-54） 证明： ( ) ( )(
9、 ) n 0 n d 0| d n FF = =( ) n -j n d d d t f tet + = ()( )()jdj nn n n t f ttm + = = 。 注：1) ( )( ) 0 - 0dtFmf t + =平均值直流。 2) ( ) ( )( ) 1 1 0jjdFmtf tt + = = 一阶矩几何中心。 3) ( ) ( )( ) 22 0dFt f tt + = 二阶矩（围绕几何中心的弥散程度 信号的等效时宽） 。 4) ()( ) 2 2 1 dtmf tt + = 二阶中心矩方差， 等效时宽标准差。 矩展开式：设( )() n ,f t +C，( )d n n
10、 mt h tt + =，则 信号与系统 第四章：信号的谱表示 ( )() ( )dy tf th + ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) 12 2 01 1 2! n n n m m f tm ftftm ft n =+? （4-55） ()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) 2 12 1 2! n nn f tf tftftft n =+? （4-56） 例： 图4-21 ( )() ( )dy tf th + = ， 零阶近似：()( )f tf t， ( )( ) ( )( ) 0 dy tf t hf t m + = ?， 可见
11、，两个方差相差很大的信号卷积，宽的信号起主导作用。 例：已知( )( ) 1 j u t =+F F， 则 ( )( ) 2 1 jtu t =F F （4-57） 2 2 t = F F （4-58） ( )2jt =F F （4-59） 注：利用( )( ) d1 j dj tu t =+ F F， ( )() ttu ttut=FFFF， ( )()ttu ttut= FFFF即可证明。 信号与系统 第四章：信号的谱表示 4.5 周期信号的傅里叶变换（ 信号与系统第二版（郑君里）3.9，3.10） 周期信号( )() 0 f tf tnT=，t 时 ， ( )() 1 jj - 1 dd n n N a tt n a n ft etf aet + + = = ? ()() 1 jj 11 2 j2 nn aa NN nn nn ee f af a + = ） ，当时， ( )( )( )( ) + jj - dd0 22 tt Ff tftetft et + + 注：1）渐近( ) 1 OF = ，0。 2） 信号与系统 第四章：信号的谱表示 ( )( ) j - limlimd0 t Ff t et + = ，( )() 1 L,f t ( ) j lim,0 t f te =，( )() 1 L,f t （4-74） -j 4-74 lim0 t e = 广
