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1、Appendix,Properties of,Plane Areas,平面图形的几何性质包括：重心，形心，静矩，惯性矩与惯性积。,重心与形心 1、定义：如果将物体看成由许多个质点组成的，则各质点所受到的重力便组成一个空间力系。此力系合力的大小就是物体的重量。合力的作用线总是通过一个确定点，该点称为物体的重心。如果是均质物体，重心的位置完全取决于物体的几何形状，而与物体的重量无关。这时物体的重心也称为形心。,式中式中xi, yi, zi为mi 的坐标，xc ,yc, zc为重心的坐标 当物体为均质时，得到如下的重心坐标公式：,重心与形心的简单确定 根据物体的具体形状及特征，可用不同的方法确定其重
2、心及形心的位置。 1、对称法：对于形状比较规则的物体及图形，其重心及形心可根据对称性直接判断。（1）具有 一 根对称轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上；（2）具有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称轴的交点上；（3）中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。,2、积分法 若将平面图形分割成无穷多个微分面积 ，在极限情况下用积分公式 3、组合法 工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，这种图形称为组合图形，这些截面称为组合截面。由于简单图形的面积及形心一般是已知的，因此计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。,形心 ( center of an area )
3、 公式,重要结论 坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。,面积矩（静矩）( first moment of area ),一、几何图形的一次矩,例1求三角形ABC对底边BC的静矩,解:,积分得：,例4-2：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和x轴的静矩，并确定图形的形心坐标。,解：,y,数学工具箱,平面图形中的微元面积,直角坐标系,极坐标系,如果被积函数与 x 无关,如果被积函数与 无关,例 求如图半径为 R 的四分之一圆的形心位置。,同理,组合图形的形心公式为,组合图形的面积矩,组合图形的面积,组合图形,组合图形形心计算中的负面积法,例 求如图截面的形心位置。,例 求如图截面的形心位
4、置。,以下边缘为基准,以下边缘为基准,形心位于左右对称轴上,形心位于左右对称轴上,惯性矩 ( moment of inertia ),惯性积 ( product of inertia ),极惯性矩 ( polar moment of inertia ),二、几何图形的二次矩,例 求如图三角形对 x 轴的惯性矩。,斜边的方程为,分析和讨论 可以用如图的竖向微元面积条将二重积分化为单重积分吗？,另一计算方案：考虑如图的横向微元面积条,求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。,动脑又动笔,对 x 轴的惯性矩,同理可得对 y 轴的惯性矩,对 xy 轴的惯性积,例 求如图半径为 R 的四分之一圆关于坐标轴
5、的惯性矩和极惯性矩。,对 x 轴的惯性矩,同理可得对 y 轴的惯性矩,对原点的极惯性矩,动脑又动笔,求图形的惯性矩与惯性积。,实心圆,空心圆,重要数据 高为 h 宽为 b 的矩形截面对通过形心且平行于底边的坐标轴的惯性矩为 。,重要结论 坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。,组合图形,组合图形的分割,组合图形的负二次矩法,例 求如图工字形截面关于中线的惯性矩。,截面可视为一个矩形与两个矩形之差。,三、平行移轴定理,如果已知图形对某一坐标系的惯性矩和惯性积，,如何求图形关于另一平行坐标系的惯性矩和惯性积？,特别地，先考虑过形心的坐标系。,平行移轴定理 ( parallel-axis theore
6、m ),由于 x 轴过形心,同理,（x ，y ） 普通坐标系。,（x，y） 形心坐标系。,平行移轴定理 ( parallel-axis theorem ),注意 在应用上述公式时，应确保其中一组坐标系过形心。否则应用公式 。,重要结论 在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小。,例 求如图的截面对形心轴的惯性矩。,动脑又动笔,求直角三角形对于过形心的 C 轴的惯性矩。,例 求如图的截面对 x 和 y 轴的惯性矩。,半圆对 K 轴的惯性矩,已知半圆对 x 轴的惯性矩为,故图形对 x 轴的惯性矩为,半圆对 y 轴的惯性矩为,错在何处？,故半圆对 y 轴的惯性矩为,故原图形对 y 轴的惯
7、性矩为,y 轴与 C 间的距离为,半圆对 C 轴的惯性矩,分析和讨论,如图的三角形对哪一根轴的惯性矩最小？对哪一根轴的惯性矩最大？,要使如图的半圆对 K 轴的惯性矩为最小，b 应取何值？,图示图形的惯性积是正数还是负数？,四、转轴定理,如果已知图形对某一坐标系的惯性矩和惯性积，,坐标系绕原点转动了一个角度构成新坐标系，如何求图形关于新坐标系的惯性矩和惯性积？,1. 两种坐标的转换,2. 转轴定理 ( rotation-axis theorem ),转轴定理,例 求如图的矩形关于对角线的惯性矩。,在图示的坐标系下，,关于对角线的惯性矩，可视为新坐标系中对 x 轴的惯性矩。,转轴定理,分析和讨论,
8、将第一式中的 置换为 ，将得到什么结论？,等于多少？,上述结果说明了什么？,转轴定理,3. 惯性主轴 ( principal axes of inertia ),在什么方位上 I y 取极值？极值为多大？,I y 的极值应满足,惯性主方向,3. 惯性主轴 ( principal axes of inertia ),在什么方位上 I y 取极值？极值为多大？,I y 的极值应满足,惯性主方向,主惯性矩,3. 惯性主轴 ( principal axes of inertia ),惯性主方向,主惯性矩,当惯性矩取极值时，惯性积的值为多少？,若图形对某一对轴的惯性积为零，则称这对轴为图形的惯性主轴，如
9、果惯性主轴通过形心，则称之为形心惯性主轴。,图形关于惯性主轴的惯性矩，一定是该平面图形在坐标旋转的各个方位上惯性矩的极值，并称之为主惯性矩。形心惯性主轴对应的惯性矩，称为形心主惯性矩。,惯性主轴方位,主惯性矩数值,重要结论 若某根坐标轴是图形的对称轴，则图形的惯性积为零；此时两根坐标轴都是惯性主轴。其中，对称轴是形心惯性主轴。,判断图形的形心惯性主轴,分析和讨论,判断图形的形心惯性主轴,例 求如图的截面的形心惯性主轴的方向和形心主惯性矩。,在图示的坐标系下，,求惯性积时，考虑如图的区域,在已知惯性主轴的情况下，如何求主惯性矩？,图示的黄色区域的惯性积等于多少？,如图，对于平行于底边的形心坐标系
10、，正方形的惯性矩和惯性积为,例 证明正方形中任意通过形心的轴都是形心惯性主轴。,对于其它任意的形心坐标系，其惯性积为,故正方形中任意通过形心的轴都是形心惯性主轴。,重要结论 如果图形关于两个坐标轴的惯性矩相等，且惯性积为零，则该坐标系绕原点旋转任意角度所构成的新坐标系，都是图形的主轴坐标系。,一般地考虑上面的问题,如果,坐标系旋转任意角度 ，,对形心轴 C 的惯性矩：,例 证明等边三角形对过形心的任一轴均为形心惯性主轴。,先一般地考虑如图直角三角形的惯性矩,对底边轴 G 的惯性矩：,再考虑如图等边三角形的惯性矩,例 证明等边三角形对过形心的任一轴均为形心惯性主轴。,由于图形对两坐标轴的惯性矩相
11、等，惯性积为零，故等边三角形对过形心的任一轴均为形心惯性主轴。,分析和讨论,填出下述的表格。,恒正,可正可负,恒正,可正可负,恒正,m 2,m 3,m 4,不为零,等于零,不为零,轴为对称轴时为零,不为零,本 章 作 业,A-1（a），A-2， A-3（b）,A-10 ，A-11， A-12（b）,A-5 ，A-7 ，A-8 （a） 、（c）,本 章 内 容 小 结,静矩,形心的计算方法,组合图形静矩及形心的计算,有整体面积挖空部份面积的情况下可采用负面积法。,用定义计算静矩时注意选择适当的坐标系。,在某些情况下积分可化为单重积分。,惯性积,惯性矩,极惯性矩,矩形,实心圆,空心圆,坐标轴之一是图形对称轴，则图形的惯性积为零。,用上述公式时应保证其中一组坐标系原点在形心上。,计算惯性积时注意 a 和 b 的符号。,转轴公式,惯性主轴、主惯性矩,主惯性矩方位,主惯性矩数值,图形关于惯性主轴的惯性积为零。,坐标轴之一是图形对称轴，则该坐标轴必定是惯性主轴。,具有同一原点的不同坐标系中，图形关于主轴坐标系的惯性矩必为极值。,本章内容结束,谢谢大家,
