建筑力学_高职08剖析

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1、第八章 应力状态与强度理论,主要内容：应力状态的概念； 应力状态分析； 强度理论及其应用。,8.1 应力状态的概念 8.1.1 应力状态的概念,在工程中，只知道杆件横截面上的应力是不够的。例如，在铸铁试件压 缩时，沿与轴线大约成45 左右的斜截面发生破坏，这 是由于在与轴线成45的斜 截面上存在最大切应力所引 起的。,又如，在混凝土梁弯曲时，除了在跨中底部会发生竖向裂缝外，在靠近支座部位还会发生斜向裂缝。斜向裂缝是 因为在裂缝方向的斜 截面上存在最大拉应 力所引起的。,另外，在工程中还会遇到一些受力复杂的杆件，例如同时受扭转和弯曲的杆件，其危险点处同时存在着较大的正应力和切应力，在解决这类杆件

2、的强度问题时，必须综合考虑该点的正应力和切应力的影响。,为了分析破坏现象以及解决复杂受力构件的强度问题，必须首先研究通过受力构件内一点处所有截面上应力的变化规律。我们把通过受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。为了研究受力构件内一点处的应力状态，可围绕该点取出一个微小的正六面体，称为单元体，并分析单元体六个面上的应力。由于单元体的边长无限小，可以认为在单元体的每个面上应力都是均匀分布的；且在单元体内相互平行的截面上应力都是相同的。,F,F,一般地，在受力构件内某一点处取单元体，总是将其一对面取为横截面，其他两对面则是互相垂直的纵截面。例如，图（a）所示轴向受拉杆内A

3、点处的单元体图（b），左、右两个横截面上只有正应力，前、后、上、下四个面上没有应力存在，因此可简化为微小的正方形图（c）。,图（a）所示为一受扭圆轴，其内表层围绕A点处取出的单元体如图（b）所示。单元体左、右两个横截面上受切应力作用，根据切应力互等定律，单元体上、下两个面上也存在切应力。单元体前、后两个面上没有应力存在，因此可简化为图（c）所示的微小正方形。,图示矩形截面悬臂梁，受垂直于轴线的外力F的作用，发生平面弯曲。,单元体各个面上的应力可根据弯曲应力计算公式和切应力互等定律确定。,梁内同一横截面上A、B、C、D、E各点处的单元体分别如图(a)、(b)、(c)、(d)、（e）所示。,理论分

4、析证明，受力构件内一点处不同方位截面上的应力可以用该点处单元体三对面上的应力表示。因而，如果确定了一点处单元体各个面上的应力，也就确定了该点处的应力状态。进一步的分析又指出，在单元体上总可以找到三对互相垂直的平面，在这样的平面上，切应力等于零，只有正应力。这样的三对平面称为主平面，其上的正应力称为主应力。三个主应力分别用1、2、3表示，并按代数值大小排序，即1 2 3。 用一点处单元体三对面上的应力表示该点处任意方位截面上的应力，以及确定该点处的主平面和主应力等，这些就是进行应力状态分析的主要内容。,8.1.2 应力状态的分类,为了应力状态分析的方便，需要对应力状态进行分类。 如果单元体上的全

5、部应力都位于同一平面内，则称为平面应力状态。如果单元体上的全部应力不都位于同一平面内，则称为空间应力状态。例如从地层深处某点取出的单元体，它在三个方向都受到压力的作用，处于空间应力状态。 若平面应力状态的单元体中，正应力都等于零，仅有切应力作用，称为纯剪切应力状态。,应力状态也可以按主应力的情况分类。若单元体的三个主应力中只有一个不等于零，则称为单向应力状态；若有两个不等于零，则称为二向应力状态，或双向应力状态；若三个全不为零，则称为三向应力状态。 从上面的分类可以看出，单向和二向应力状态属于平面应力状态，三向应力状态属于空间应力状态。有时把单向应力状态也称为简单应力状态，而把平面和空间应力状

6、态统称为复杂应力状态。,8.2 平面应力状态分析 8.2.1 任意斜截面上的应力,平面应力状态的单元体及其平面图形分别如图(a)、(b)所示，在单元体上建立直角坐标系，让x、y轴的正向分别与两个互相垂直的平面的外法线的方向一致。这两个平面分别称为x平面和y平面。已知x平面和y平面上的应力分别为x、x和y、y，现求单元体的任一斜截面ef上的应力。该斜截面ef与x平面成 角（显然，该斜截面的外法线n与x轴正向间的夹角成 角），将该截面称为 截面，角 称为该斜截面的方位角。规定从x轴正向到外法线n逆时针转向的方位角 为正，反之为负。,在以下的计算中，应力的符号规定与以前相同，即对正应力，规定拉应力为

7、正，压应力为负；对切应力，规定其对研究对象内任意点的矩为顺时针转动方向时为正，反之为负。图中的x、y、 、 x均为正值，y为负值。 用一假想的平面沿 截面将单元体截开，取左 边部分ebf为研究对象， 截面上的应力用和来 表示。,设斜截面ef 的面积为dA，则eb面的面积为dAcos，bf面的面积为dAsin。根据静力平衡方程Fn=0、Ft=0，有：,Fn = 0 dA(x dAcos)sin(x dAcos)sin (y dAsin)cos(y dAsin)sin = 0 Ft = 0 dA(x dAcos) cos (x dAcos)sin (ysin)sin(y dAsin) cos =

8、0,利用三角关系：,整理后，可以得到：,就是平面应力状态下任意斜截面上正应力和切应力的计算公式。应用这两个公式时，一定要注意式中各量的正负号。,8.2.2 应力圆 1、应力圆的概念,将式 改写为,将上式和 两边分别平方后相加，整理得,在O直角坐标系中，上式表示一个圆，其圆心坐标为( ,0)，,半径为 ，如图所示。此圆称为应力圆，它是由德国工程师莫尔(O.Mohr)于1882年首先提出的，故也称为莫尔圆。,( ,0),2、应力圆的绘制,单元体的应力状态如图所示，设xy0， x0。应力圆绘制方法如下：,1）以 为横坐标轴，以 为纵坐标轴，建立直角坐标系O；取定比例尺。 2）取横坐标OB1= x，纵

9、坐标B1D1= x，确定D1 ( x , x)点；取横坐标OB2= y ，纵坐标 B2D2= y ，确定D2( y , y ) 点。 3）连接D1和D2两点，连线与横坐标轴相交于C点，C点即为圆心。 4）以C点为圆心，以CD1或CD2为半径作圆，即为应力圆。,C,O,D1(x,x),B1,B2,D2(y,y),3、单元体与相应的应力圆之间的对应关系,（1）点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方位面上的正应力和切应力值。如应力圆上D1点坐标( x, x)对应单元体x面上的应力值；应力圆上D2点坐标(y , y)对应单元体y面上的应力值。,（2）二倍角转向相同 应力圆上D1点的半径CD

10、1逆时针转过180时，到达CD2的位置，而单元体上x面的外法线只要逆时针转过90就到达y面外法线的位置。可见，应力圆上半径转过的角度是其单元体对应面上外法线转过角度的2倍，且转向相同。,4、用应力圆求单元体任意斜截面上的应力,应力圆绘出后，欲求单元体任意 截面上的应力、，只要将应力圆的半径CD1按 的转向转动2 角，得到半径CD，则圆周上D点的横、纵坐标的值就是 截面上的正应力 和切应力图（b），即,【例8.1】 从受力构件内某点处取出的单元体的应力状态如图所示，求该点处 =30斜截面上的应力。,【解】1） 用解析法求解。 根据符号规定，有x = 100 MPa，x = 20 MPa，y =

11、20 MPa，y = 20 MPa，代入任意斜截面上应力计算公式，得,将求得的30和30表示在单元体上，如图所示。,2）用图解法求解。可先绘出单元体相应的应力圆，如图(b)所示。自半径CD1按 转向（逆时针）转过2 = 60角到达D点，按同一比例尺量得D的横坐标和纵坐标为67 MPa和36 MPa，即： 30 = 67 MPa ，30 = 36 MPa,8.2.3 主平面和主应力,对于平面应力状态，因为单元体有一对面上没有应力，所以这一对面就是主平面，且必有一个数值为零的主应力。下面分析单元体的其余两个主平面和主应力。,1、主平面的位置,由式 ，设在 = 0斜截面上，切应力0= 0，则有,得,

12、上式就是确定主平面位置的方程。由该式可确定两个相互垂直的主平面，为方便起见，设这两个主平面的位置角为0与 ，并限定它们为正的或负的锐角（如下图所示）。,2. 主应力的数值,设图(a)所示单元体的应力圆图(b)与轴的交点为A1、A2，由于点A1与A2的纵坐标均为零，故它们所对应的两个斜截面上的切应力为零，即对应于两个主平面。因此，A1、A2两点的横坐标就是两个主应力的数值。,由图(b)容易看出，在应力圆上所有点的横坐标中，点A1与A2的横坐标分别为最大值与最小值。即两个主应力分别为正应力中的最大值和最小值。这两个主应力的数值为,若将上式中的两式相加，得 max+min=xy 上式表明，单元体两个

13、相互垂直的截面上的正应力之和为一定值。该式常用来检验主应力计算的正确与否。,3、主应力与主平面之间的对应关系,理论分析证明，由单元体上x（或y）所在平面，顺x（或y）方向转动而得到的那个主平面上的主应力为max；逆x（或y）方向转动而得到的那个主平面上的主应力为min。简述为：顺 转最大，逆 转最小。,上述法则称为 判别法。在确定了两个主平面和主应力后，利用这个结论可以解决主应力与主平面之间的对应关系。,8.2.4 最大切应力和最大切应力平面,由图可以看出，应力圆上E1点的纵坐标最大，故E1点所对应的斜截面为最大切应力所在的平面。同理，应力圆上 E2点所对应的斜 截面为最小切应 力所在的平面。

14、 最大和最小切应 力的数值为,最大或最小切应力平面与主平面的夹角为45o。 应该指出，由上式求出的最大切应力只适用于单元体简化图形所在平面内，称为面内最大切应力。,【例8.2】已知受力构件内危险点处单元体的应力状态如图所示。（1）求主应力和主平面，并在单元体上表示出来；（2）用应力圆校核计算结果。,【解】 1)求主应力。根据应力的符号规定，有 x = 10 MPa， y = 20 MPa， x =10 MPa,由主应力计算公式，得,于是，三个主应力为 1 = 0， 2 = 3.82 MPa， 3 = 26.18 MPa,2）求主平面。由主平面位置方程，得,故,第三对主平面与纸面平行。,主平面、

15、主应力及两者之间的对应关系示于图中。,3) 用应力圆校核计算结果。建立直角坐标系O，确定D1(10，10)和D2(20，10)两点，连接D1、D2交 轴于C点，以C点为圆心，CD1为半径绘出应力圆，如图所示。,应力圆上A1、A2两点的横坐标值即为两个主应力的数值，从图中量得 max= 3.8MPa ，min= 26MPa 于是，三个主应力为 1=0 ， 2= 3.8MPa ， 3= 26MPa 再量取D1CA1与D1CA2，可得主平面的方位角为 0= 32，0=58,8.3 强度理论及其应用 8.3.1 强度理论的概念,强度理论的提出，是为了解决构件在复杂应力状态下的强度计算问题。 强度计算要依据强度条件才能进行，当杆件受力比较简单时，例如轴向拉压或扭转，杆件的危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，我们已经建立了强度条件，即 max , max 式中的 max 、 max分别为杆件横截面上的最大正应力和最大切应力； 、 为材料的许用应力，它们是