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1、第六章、连续时间系统的系统函数,6.1引言 系统函数（转移函数）H(s)，定义为系统零状态响应象函数R(s)与激励的象函数E(s)之比。它是由系统本身决定的，而与其输入、输出并没有关系。它是反映系统特性的重要函数。,若系统稳定 ：,主要内容 系统函数的表示法 (极零点表示 ) 系统函数极点、零点与系统频率特性的关系 系统的稳定性,6.2 系统函数的表示法,一线性非时变系统可用线性常系数微分方程表示，所以H(s)的一般形式可表示为：,这种形式不能直观地看出系统的特性，所以，常根据不同的需要用图示的方法来表示，常用的有三种：,1、频率特性 若系统是稳定的，则：,例如：RLC并联电路,当 : - -
2、 0 0 0 : 0 0 - ,2、复轨迹 将H(j)写成实部和虚部的形式： H(j)=U()+jV()以为U()横坐标，V()为纵坐标作出的图称为复轨迹。,上例中,当 : - - 0 0 0 : 0 0 - 复轨迹顺时针方向重复两次。,3、极零点表示,可见一个系统的极点零点确定后，系统函数就基本确定了。若再确定H0，则H(s)就完全确定。但H0为常数与变量s无关，仅是一个比例因子而已。,我们还是以RLC并联电路为例将j换成s,6.3 系统函数极点和零点的分布,极点、零点或位于s平面的实轴上，或以一对共轭复根的形式出现，或是r阶重根（也称r阶极点或零点），总之它们是对称于实轴的。,1、系统函数
3、一般有n个有限极点和m个有限零点；,4、极、零点数目相等； 5、稳定系统的极点必位于左半平面，虚轴上可有一阶极点存在； 6、两个特殊的点s=0，s= 根据复变函数理论，认为它们是在虚轴上的，因此系统稳定在s=0，s=只能有一阶极点，即：若mn 则 m-n1。 7、虽然系统函数对零点没有限制（只要对称于实轴），但在网络理论中，阻抗和导纳互为倒数，因此，对于这种情况对零点的限制与极点相同。,6.4 系统函数极点、零点与系统频率特性的关系,一、H(s)的矢量表示,其中的s，z，p都可用矢量表示，进一步(s-z)，(s-p)也可表示为矢量。,对于稳定的系统：,显然(j-z)，(j-p)也是可以表示为矢
4、量的，将它们表示为模和复角的形式：,H(j)可写为：,当沿虚轴变化时|H(j)|，()也随之变化。因此，由系统函数的矢量图可以估计出系统的幅频特性和相频特性曲线。,例：系统函数的极、零点分布如图所示，估计其幅频与相频特性曲线。,解：,1、=0+ B1=0 , H(j)|=0 ; (1+2)=0 , ()=90,2、, B1,A2,A1, |H(j)| , (1+2), (),3、Im(p1), A1Min, |H(j)|出现峰值。 Im(p1) 10 ()迅速减小。 同理零点的虚部时|H(j)|出现谷点，()迅速增大,4、Im(p1) 时， A1,A2,B1, |H(j)| 0,1,290,
5、()=-(1+2) -90,下面我们再来看一下前面的并联谐振电路。 我们已经求出：,再从系统函数的极零点分布来考察： 前面已求得：,于是我们可以作出它的极点、零点分布图，并根据前面的例子可作出其幅频和相频曲线的略图。,对照两图不难得出如下结论： 曲线形状相同。 但极值点出现在,处，与原图不符，因此称略图。 越接近于0（极点越靠近虚轴）越准确。 当=0（系统为纯电抗网络，无损耗） 零点时， |H(j)| 0 ；极点时， |H(j)| 在零点、极点附近()则会出现180 的跃变。,二、全通网络 稳定系统的极点不能在右半平面，但零点可在右半平面。如果极点零点关于虚轴镜象对称，则|H(j)|=H0（常
6、数）与频率无关，称全通网络。 如图所示，画出了有两个极点和两个零点的网络，显然A1=B1 , A2=B2，所以，|H(j)|=H0 （常数）。,还可以看出：,这种网络的幅频特性与频率无关为常数，而相位与频率有关，因此常作为相位校正电路使用。,三、最小相移网络 全部极点和零点位于左半平面（包括虚轴）称最小相移网络，否则为非最小相移网络。最小相移网络的相位变化量要比非最小相移网络的相位变化量小，因此得名 。,6.6 系统的稳定性 关于系统稳定性的问题，同学们并不陌生我们已多次提到。因为，不稳定的系统不能有效地工作，所以，设计一个系统一般都希望系统是稳定的。怎样判别一个系统是否稳定就成为一个设计者必
7、须考虑的问题。本节首先讨论系统稳定的充分必要条件，然后进一步介绍线性非时变系统稳定的判别方法。,一、系统的稳定及其充分必要条件,1、系统的稳定与冲激响应,2、系统的稳定与系统函数H(s) H(s) 的所有极点在s平面的左半平面则系统稳定；在虚轴上有一阶极点则临界稳定；在s平面的右半平面有极点存在则不稳定。 3、系统稳定的充分必要条件 所谓系统稳定是指有限（有界）的激励只能产生有限（有界）的响应的系统。有限的激励也包括激励为零的情况。 用数学式子表达： 若激励 |e(t)|Me -t 则响应 |r(t)|Mr -t 其中Me ，Mr 为有限的正实数。,有前面的讨论我们可以直观地看到要系统稳定必须
8、h(t)绝对可积。,可以证明，它不仅是必要条件还是充分条件。,如果h(t)不绝对可积必引起系统的不稳定，所以，必须满足,4、渐近稳定与临界稳定,h(t)绝对可积，应满足,h(t)可允许有孤立的冲激函数存在，除此之外h(t)也应是有限的，即：,满足上述条件的系统称渐近稳定。,另一种情况是H(s)在虚轴上有一阶极点，是理想化的无耗系统，例如纯LC网络，其冲激响应h(t)为直流或等幅的正弦振荡，显然是不满足绝对可积条件的。但响应是有限的，并且这种系统是常见的低耗无源系统的近似，我们也把它看成是稳定的。为了区别于渐近稳定把这种情况称为临界稳定。,5、反馈系统 在自动控制理论中反馈系统是一种很重要的系统
9、，是指将输出或部分输出反向馈送到输入端。因此这种系统的输出不仅与输入激励有关还与输出本身有关。例如晶体管收音机中的自动增益控制（AGC）电路就是一种反馈系统。下面是一个反馈系统简化了的框图：,容易看出各信号之间的关系为：,所以反馈系统总的转移函数为：,其中：G(s)H(s) 称开环转移函数，要判定反馈系统是否渐近稳定就要看1+G(s)H(s)=0的根（即系统特征方程的根）的实部是否全为负。,二、罗斯霍维茨（RouthHurwitz）判据 上面已经指出判定系统是否渐近稳定要看系统特征方程的根（系统函数的极点）的实部是否全部具有负实部。 系统的特征方程可写为：,设它有n个根为 p1,p2,pn 那
10、么上式可写为：,如果所有根的实部为负，我们可以得出以下结论： 1、多项式各系数均为同号，且不为零； 2、若 a0=0而其它系数不为零，则有一个根为零系统为临界稳定； 3、若全部偶次项或奇次项的系数为零，则所有根的实部为零，说明所有根在虚轴上，如果是单阶的系统也属临界稳定。 所以在特征多项式中系数不同号或有缺项，立即就可判定它有实部为非负的根，因而系统不稳定或临界稳定。但反之不成立！,例如：系统的特征方程为,虽然系数同号且没有缺项，但我们不能得出系统稳定的结论。因为可以求得它的 三个根：,显然系统不稳定。对于这种情况要用下面介绍得罗斯判据来判别。,1、将特征多项式的系数按如下规律排成两行：,2、
11、以这两行为基础，计算并构成如下的数值表：该表称罗斯霍维茨阵列,表中的前两行就是第一步中由系数多项式排成的两行。即,其它各元素可由下列递推公式求得：,这样可得到n+1行，其中的第一列,构成的数列称罗斯霍维茨数列。,3、计算罗斯霍维茨数列中的符号变化次数，变化次数就等于实部为正的根的个数。,因此，有两个实部为正的根。,当计算到第三行时全为0，无法继续计算。处理方法是用上一行的系数构成辅助多项式,然后求导,以4，6代替全零的行继续计算。,无符号变化，说明没有实部为正的根。,我们注意到本例中第一第二行的元素相同，这正是使第三行的元素全为0的原因。显然如果第一第二行的元素成比例也将使第三行的元素全为0。所以处理方法相同。 容易看出辅助多项式为原多项式的一个因子，而辅助多项式只有偶次项，所以它有实部为0的根。因此，本例应为临界稳定。,要系统稳定，则：,
