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1、9.3 误差估计与稳定性,2019/10/16,1,常微分方程初值问题的求解，是将微分方程转化为差分方程来求解，并用数值解yi来近似替代精确解y(xi)，这种近似替代是否合理，还与分割区间xi-1,xi的长度有关，当步长h越来越小，即h=xi-xi-10时，判断yiy(xi)是否成立。若成立，则称该数值方法是收敛的，否则称为不收敛的。,2019/10/16,2,在推导欧拉公式或梯形公式时，利用数值微分代替导数项，得到差分方程。,称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累,一、误差与收敛性,若某数值方法的局部截断误差为O(hp+1)，则称这种数值方法的阶数
2、是p ，或称该数值方法具有p 阶精度。,在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，用某种数值方法计算yi+1，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为该数值方法计算yi+1的局部截断误差。,2019/10/16,3,定义9.1,定义9.2,讨论常微分方程的数值解法的误差，主要分析求解公式局部截断误差和整体截断误差，并引入阶数的概念。,步长(h1) 越小,p越高, 则局部截断误差越小,计算精度越高。,2019/10/16,4,1. 欧拉公式的局部截断误差,设f(x,y)充分光滑,将y(xi+1)在xi点作Taylor展开:,欧拉法具有 1 阶精度。,2019/
3、10/16,5,2. 梯形公式的局部截断误差,采用梯形公式求积分项 时，根据梯形公式的误差可得到,由梯形公式可知,2019/10/16,6,比较两式得,梯形法具有 2 阶精度。,2019/10/16,7,3. 欧拉预估-校正方法的局部截断误差,欧拉预估-校正公式的第二式,2019/10/16,8,按局部截断误差定义，假设yi = y(xi)前提下，,2019/10/16,9,欧拉预估-校正法与梯形法一样，具有 2 阶精度。,2019/10/16,10,设y(xn)是常微分方程初值问题的精确解，在不考虑舍入误差的情况下考虑每一步局部截断误差的影响，yn+1表示用某种数值方法算出的数值解，二者的误
4、差 n+1 = y(xn+1) yn+1 称为该数值方法计算yn+1的整体截断误差。,定义9.3,根据微分方程理论，为了使微分方程的解存在唯一性，一般要加限制条件在f(x,y)上，要求f (x,y)对y满足Lipschitz条件：,对任意x,y1 ,y2 ，存在正常数L0，有,4. 局部误差的传播和积累,2019/10/16,11,记为,得到n+1 与n 的关系,局部截断误差界,2019/10/16,12,同理，可推出n 与n-1 , n-1 与n-2，的关系，代入上式,等比数列求和,2019/10/16,13,对于z 0，有,因此，欧拉法的总体截断误差由两部分组成：初始误差0和局部截断误差界
5、h2M2/2决定： 当初始值精确，即00时，|n+1|=O(h)，整体截断误差与h同阶，比局部截断误差O(h2)低一阶。所以当h0时，数值解yn+1收敛到准确解 y(xn+1)，欧拉法是收敛的。,2019/10/16,14,对其他单步法，也可推导得出类似结论(同学可自己论证),例3 对初值问题,证明用梯形公式求得的近似解为,并证明当步长h0时,yn收敛于精确解,证明: 解初值问题的梯形公式为,2019/10/16,15,整理成显式,反复迭代,得到,2019/10/16,16,由x=nh，有,得证,2019/10/16,17,2019/10/16,18,二、稳定性分析,稳定性在微分方程的数值解法
6、中是一个非常重要的问题。因为微分方程初值问题的数值方法是用差分格式进行计算的，而在差分方程的求解过程中，存在着各种计算误差，这些计算误差如舍入误差等引起的扰动，在传播过程中，可能会大量积累，对计算结果的准确性将产生影响。这就涉及到算法稳定性问题。,用某一种数值方法求解常微分方程，若步长h固定，当在某节点上xi的yi值有大小为的扰动时，如果在其后的各节点xj（ji）上的值yj产生的偏差都不大于，则称这种方法是稳定的。 稳定性不仅与算法有关，而且与方程中函数f(x,y)也有关，讨论起来比较复杂。为简单起见，通常将满足Lipschitz条件的微分方程模型化，讨论模型方程的稳定性,2019/10/16
7、,19,常数，保证微分方程的稳定性,一般方程若局部线性化，也可化为上述形式。模型方程相对比较简单，若一个数值方法对模型方程是稳定的，并不能保证该方法对任何方程都稳定，但若某方法对模型方程都不稳定，也就很难用于其他方程的求解。,2019/10/16,20,先考察显式Euler方法的稳定性。对模型方程 应用Euler法得到,2019/10/16,21,1. 欧拉方法的稳定性,2019/10/16,22,两式相减，得到,即扰动值也满足差分方程。为使yi有界，则要保证扰动值在之后的计算中不能放大，其充要条件为,由于0，故有,可见，为了保证算法的稳定，Euler格式的步长h的选取要受到上式的限制。的绝对
8、值越大，则限制的h值就越小。由于必须满足上述条件Euler法才能稳定，因此称Euler方法是条件稳定的。,2019/10/16,23,2.欧拉预估-校正公式的稳定性,将模型方程,代入欧拉预估校正公式,2019/10/16,24,因此欧拉预估校正公式也是条件稳定的。,2019/10/16,25,3.梯形法的稳定性,对于梯形法的稳定性，将模型方程,代入梯形公式,2019/10/16,26,为使yi有界，满足条件,由于0，对任意步长h，上式都成立。因此又称梯形法是无条件稳定或绝对稳定的。,27,例4.,解:,2019/10/16,对于初值问题,用欧拉法、欧拉预估校正法和梯形法计算y(1)的近似值，分别取步长h=0.2,0.1,0.01,0.001,0.0001进行计算.,h,欧拉法,欧拉预估校正法,梯形法,2019/10/16,28,初值问题的精确解为,2019/10/16,29,(1),(2),由欧拉法和欧拉预估校正法稳定性公式可知，当h=0.2时，上述两种方法计算y(1)的近似值都不稳定。其余4种步长计算结果都稳定，且从列表中可见，h越小，计算结果越接近于精确值。,2019/10/16,30,(3),由列表可见，当三种数值算法都稳定，取相同的步长h时，梯形法的精度最高，欧拉预估校正法的精度其次，欧拉法精度最差。,
