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1、2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分 函数的具体形式的推导 一、平衡微分方程 二、平衡微分方程的积分 三、等压面 ),(zyxfp = 2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分 数学基础知识: 一元函数的泰勒级数展开一元函数的泰勒级数展开 如图,取微元六面体，形心C(x,y,z), p 将p按泰勒级数展开,且取线性项 则有 += 2 0 0 000 )( ! 2 )( )( )()(xx xf xxxfxfxf dx x p p p dx x p p p += = 2 1 2 1 2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分 一、平衡微分方程一、
2、平衡微分方程（平衡受力条件） 取微元六面体，形心C(x,y,z), p 以x方向为例受力分析 表面力表面力 质量力质量力 力平衡力平衡 化简化简 dx x p pp = 2 1 dx x p 2 1 pp += dxdydzXdGx= 0= x dF 0dxdydzXdydzdx x p 2 1 pdydzdx x p 2 1 p=+ + )()( 0= dxdydz x p dxdydzX 0 1 = x p X 2-2 平衡微分方程及其积分平衡微分方程及其积分一、平衡微分方程一、平衡微分方程 同理，可对其它两个坐标方向分析， 结果 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程(欧拉，1755年) 物理
3、意义物理意义 :单位质量流体平衡时各轴向表面力和质量力的平衡关系 绝对静止、相对静止均适用绝对静止、相对静止均适用 (对质量力无限制) 4)-2 0 1 0 1 0 1 （ = = = z p Z y p Y x p X 2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分 二、平衡微分方程的积分二、平衡微分方程的积分 由 将上式中的三个方程分别乘以、，然后相加，得 等式左端为p的全微分，即有 流体微分方程的全微分表达式流体微分方程的全微分表达式 4)-2 0 1 0 1 0 1 （ = = = z p Z y p Y x p X dxdydz )(ZdzYdyXdxdz z p dy y
4、 p dx x p += + + 5)-(2 )(ZdzYdyXdxdp+= 2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分 二、平衡微分方程的积分二、平衡微分方程的积分 设等式右端为W的全微分 可见 W称为力势函数称为力势函数 W对某个坐标方向的偏导,即为单位质量力在此方向的投影. 有势函数存在有质量力称为有势的质量力,如重量力和惯性力. )(ZdzYdyXdxdp+= zdzYdyXdx dz z w dy y w dx x w dw += + + = z w Z y w Y x w X = = =, , dwdp= 2-2 平衡微分方程及其积分平衡微分方程及其积分二、微分方程的
5、积分 W称为力势函数 例: 仅重力作用 Zg dz dw gdzdw gzwmgzw gZYX = = = ,0,0 2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分 三、等压面三、等压面 平衡流体中压强相等的点所组成的面。 等压面方程 且由 得 即等压面有重要特性:等压面和质量力相互垂直等压面和质量力相互垂直 证明: S900cos 0 ),( ),( = = J l d J l d J l d J ZYXJ dzdydx l d 即 的投影单位质量力在相应轴向 影等压面上的微小位移投 Cp = 0ZdzYdyXdxdp=+=)( 0ZdzYdyXdx=+ 2-2 流体平衡微分方程及
6、其积分流体平衡微分方程及其积分 三、等压面三、等压面 等压面特性的应用等压面特性的应用: 由质量力可以确定等压面的形状由质量力可以确定等压面的形状 例例仅重力作用下,自由液面为水平面 有离心惯性力作用时,自由液面为曲面 2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分 小结：小结： 1. 欧拉平衡微分方程 2. 平衡微分方程的积分 3. 等压面 平衡流体中压强相等的点所组成的面。平衡流体中压强相等的点所组成的面。 等压面有重要特性等压面有重要特性:等压面和质量力相互垂直等压面和质量力相互垂直 4)-2 0 1 0 1 0 1 （ = = = z p Z y p Y x p X 5)-(2 )(ZdzYdyXdxdp+=
