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1、第一节 统计数据的位置特征统计数据的位置特征是对一组统计数据集中趋势和平均水平的度量，通常将位置特征的度量称为平均指标。常用来表述统计数据位置特征的平均指标有两类：数值平均数和位置平均数。数值平均数主要有算数平均数、调和平均数和几何平均数。位置平均数主要有中位数和众数。分析、研究一组统计数据的集中趋势，就是寻找该组数据一般水平的代表值。一、数值平均数 数值平均数是全部数据的平均值。主要有三种形式：算术平均数、调和平均数和几何平均数。 （一）算术平均数算术平均数是对一组数据中心位置的度量。可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种。1.简单算术平均数适用未分组数据，计算公式为： (3.1)式中，
2、（或 ） 简单算数平均数； 第 项的数据值； 数据的项数。例 3.1 假设某商场200名职工月销售额的统计资料如表.1所示，试求该商场200名职工月平均销售额。 解 根据表中资料，200名职工月平均销售额为： 2.加权算数平均数 适用未分组数据，计算公式为：(3.2)式中， （或 ） 加权算术平均数； 第 组的数据值或组中值； 第 组的数据值或组中值 出现的次数； 分组的组数。例3.2 将表.1的某商场200名职工月销售额的统计资料编制成表3.2的分组资料形式。表3.2 200名职工月销售额的分组资料单位：万元 解 根据表3.2中资料，按分组资料估计200名职工月平均销售额应采用加权算术平均数
3、方法，计算过程列表如下：单位：万元 于是，200名职工月平均销售额为： （二）调和平均数调和平均数又称“倒数平均数”， 它是数据倒数的算术平均数的倒数。当在实际工作中所采集的数据不能直接应用算术平均数的计算公式时，可利用调和平均数来度量一组数据的中心位置。1.简单调和平均数适用未分组数据，计算公式为：(3.3)例3.3 假设4个企业的每万元工业产值耗能源的统计资料如下：试求：4个企业的平均能耗。 解 每万元工业产值耗能源是逆指标，在计算平均水平时应采用调和平均数方法。 2.加权调和平均数 适用分组数据，计算公式为： (3.4)例3.4 假设某企业某月按工人劳动生产率分组的统计资料如表3.3所示
4、，试求该企业工人平均劳动生产率。 表3.3 按工人劳动生产率分组按工人劳动生产率分组(件/人)生产班组各组产量(件)50 - 60108250060 - 7086500070 - 8055250080 - 9022550090 - 100 115200解 首先求出各组的组中值，然后求出各组工人数，采用加权调和平均数方法计算平均水平。计算过程列表如下：注意，生产班组数虽然是不同的劳动生产率各个组的次数，但它和分组的组中值相乘无任何实际意义，因此它不能做权数。 （三）几何平均数主要用于计算比率或者速度的平均，用 表示。1.简单几何平均数适用未分组数据，计算公式为：例3.5 假设某工厂生产的产品要经
5、过3道连续作业的工序，每道工序的合格率依次为95 %、90 % 和98 %，试求3道工序的平均合格率。解 因为产品的总合格率是各道工序合格率的连乘积，所以计算3道工序的平均合格率应采用几何平均数方法。 2.加权几何平均数 适用分组数据，计算公式为： 例4.6 假设某投资银行10年期的投资年利率是按复利计算的，年利率的分配情况为：第1、2年为3 %，第3至第5年为5 %，第6至第10年为8 %。求平均年利率。 解 首先采用加权几何平均数方法计算平均年本利率。 于是，得平均年利率为 。二、位置平均数位置平均数是根据其在全部数据中所处的位置确定的平均值。主要有二种形式：中位数和众数。（一） 中位数
6、中位数是将全部数据项按从小到大顺序排列后，处于中间位置的数据值，用 表示。1.未分组数据计算步骤为：第一步，将一组数据 ， ， 按从小到大的顺序排列后，不妨表示为 ， ， ；第二步，确定中位数的位次。式中， 为数据的项数； 第三步，确定中位数 的数值，计算公式为(3.7)例3.7 根据表3.1的未分组数据，计算200名职工月销售额的中位数。解 首先将全部数据项按从小到大顺序排列后，得表3.4。 表3.4 200名职工月销售额按从小到大顺序排列单位：万元5698126140154168175189210238569812614015416817518921023863101.5126140157
7、.5171.5175192.521024166.5101.5126140157.5171.5175192.521024170105126140157.5171.5175196210241.570105129.5140161171.517519621024570105133140161175182196210245701051331401611751821962102457710513314016117518219621024580.5105133140164.517518219621724581105133143.5168175182203217252841121331471681751822
8、0321725984112136.514716817518220321727387.5112136.514716817518220322427387.5112136.5147168175182206.522427391112136.5154168175182206.522428091119136.5154168175182206.522428098119136.5154168175185.5206.522428098122.514015416817518921022430898122.5140154168175189210231315因为n=200为偶数，根据公式(3.7),中位数为第100项
9、和第101项数据的算数平均数，2.分组数据计算步骤为：第一步，确定中位数的位次。式中， 各组次数总和；第二步，确定中位数所在组。从第一组开始计算累计次数，当累计次数大于 时，该组即为中位数所在组；第三步，确定中位数 的数值，计算公式为(3.8)式中， 中位数所在组的下限值； 中位数所在组的次数； 各组次数总和； 中位数所在组以前各组的次数之和； 中位数所在组的组距。 例3.8 根据表3.2的分组数据，计算200名职工月销售额的中位数。 解从第一组开始累计到第4组时，累计职工人数为142人，所以第4组为中位数所在组。于是中位数为 （二）众数众数是一组数据中出现次数最多的数据值，用 表示。1.未分
10、组数据对于未分组数据，直接找出出现次数最多的数据值即可。 例3.9 根据表3.1的未分组数据，计算200名职工月销售额的众数。解 首先将全部数据项按从小到大顺序排列后，得表3.4。 从表3.4可以看出，在200名职工中，有20名职工的月销售额为168万元，次数最多，因此这组数据的众数为：（万元）。2.分组数据计算步骤为：第一步，确定众数所在的组，即在分组数据中出现次数最多的一组为众数组； 第二步，确定众数 的数值，计算公式为：(3.9)式中， 众数组的下限值； 众数组的次数与下一组的次数之差； 众数组的次数与上一组的次数之差； 众数组的组距。例3.10 根据表3.2的分组数据，计算200名职工
11、月销售额的众数。 解 因为第4组的职工人数最多，为60人，所以第4组为众数组。将有关数据代入公式（3.9)中，得到众数为第二节 统计数据的散布特征统计数据的散布特征是对一组数据变异程度和离散趋势的度量，它反映了各数据值远离其中心位置的程度，通常称散布特征的度量为标志变异指标。常用来表述一组统计数据散布特征的变异指标有：全距、平均差、方差、标准差和变异系数等。分析、研究一组统计数据的离散趋势，是衡量一组数据平均指标代表性的重要方法。 一、全距 例3.11 根据表3.4，计算200名职工月销售额的全距。 解 因为表3.4是职工月销售额按从小到大顺序排列的数据，所以直接得全距为 （万元）。二、平均差
12、平均差，也称平均离差，是各个数据值与其平均值的离差绝对值的平均数，用A.D.表示。（一）未分组数据计算公式为： (3.11)式中， 简单平均差； 第 项的数据值； 全部数据的算数平均数； 数据的项数。 例3.12 根据表3.1的未分组数据，计算200名职工月销售额的平均差。解 由例3.1得知，于是200名职工月销售额的平均差为： （二）分组数据计算公式为： (3.12)式中， 加权平均差； 第 组的数据值或组中值； 全部数据的算数平均数； 第 组的数据值或组中值 出现的次数； 分组的组数。 例3.13 根据表3.2的分组数据，计算200名职工月销售额的平均差。解 按分组数据估计200名职工月销售额的平均差，应采用加权平均差方法，计算过程列表如下：于是，200名职工月销售额的平均差为：三、方差和标准差方差是各个数据值与其平均值离差的平方的平均数； 用表示。 标
