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1、流体力学流体力学 C 篇题解篇题解 C1 题解题解 CP1.2.1 设质量力，k 为常量，试问流体有无可能达到平衡？ 提示：验证流体保持平衡的质量力条件。 解：将质量力分量代入均质流体平衡的质量力条件（C1.2.6）式 可得平衡 CP1.4.1 如图示，一水箱在重力作用下沿斜面以加速度滑下，斜面与水平面成角，求水 箱液面形状及液面与水平面倾角。 提示：将坐标系固结于水箱上，按相对平衡等压面微分方程求解。 答： 解：建立固结于水箱的坐标系 oxyz 如图所示，质量力除重力外，还有非惯性坐标系的惯 性力，将单位质量力的三个分量代入等压面微分方程中 ， ， 令 令 ，液面与水平面夹角为 CP1.4.
2、2 如图示，一两端敞口的 U 型管以加速度 a 沿水平方向作匀加速运动。设左右支管 的间距为，左右支管的液位差为，试求： 型管的加速度； rfk),(zyxr kzf kyf kxf z y x 0 0 0 x f z f z f y f y f x f zx y z x y a cos sin g ag arctg agfxsin0 y f cosgfz dzgdxagdzfdyfdxfdp zyx cos)sin( 0dp tg g ag dx dz cos sin cos sin g ag arctg cos sin g ag arctg m2 . 0lm1 . 0h a 液体密度对结果
3、的影响。 提示：将坐标系固结于 U 形管上，按相对平衡等压面微分方程求解。 答： （） 解： （）建立固结于型管上的坐标系如图示 惯性力 ， 由压强微分式 由于和均为常数 设左支管，液面高，。由式 ， （b） 右支管，液面高，。由式 ， （）当和值确定后，加速度便确定了，与液体密度无关。但要达到一定的 加速度， 对形管施加的推力与液体密度有关 CP1.4.3 如图示，一密闭圆筒高为，半径为。内装的水，液 面上为大气压强。当圆筒以角速度绕垂直轴旋转时，设空气体积不变，试确定 水作用在顶盖螺栓上的力 F。 提示：将坐标系固结于圆筒上，按相对平衡压强全微分式求液内压强分布。应注意在顶盖上 液体不充满
4、，且沿径向压强为非线性分布，必需用积分法求其合力 F。 答： 解：以液面最低点为原点建立坐标系 orz，轴垂直向上。 设气体的体积不变 l h ga afxgfy gdyadxdp a gCgyaxp)(a 0x by 0p)(a 0CgbgbC lx hby0p)(),(ba 0)(gbhbgal l h ga lh m7 . 0 0 H m4 . 0R 3 m25. 0 rad/s10 NF2 .175 g r z g r z 22 2 0 2 0 22 32 0 2 m102. 025. 07 . 04 . 025. 0HR 气 3 0 2 0 m102. 0 2 1 气 zr 即 因空
5、气体积不变，压强仍为大气压，液内压强分布为 CP1.4.4 如图示横截面高 宽为之飞机汽油箱， ，所装油为油箱容量的。 试确定 在下面两种情况下飞机的水平（宽度方向）加速度： （）汽油自由液面碰到油箱 底时； （）汽油自由液面碰到油箱中心时（即油箱停止供油时） 。 提示： 油面与底面的夹角由水平加速度和重力加速度之比决定， 但可由油箱静止和运动时油 体体积不变确定其夹角的值 答： （）； （） 解：油面为等压面，与体积力合力垂直，设油面与底面成角，则。 （1）当油面刚碰到箱底时，油的体积与静止时相同。设油箱长度为 l 即 （2）当液面碰到中心点 A 时，油体横截面为梯形，梯形上下底为 3 2
6、0 2 2 0 m102. 0 22 1 g r r )m(01274. 0 10 81. 94 102. 0 4 102. 0 4 22 4 0 g r m336. 0012735. 0 4 0 r m575. 0 806. 92 336. 010 2 22 2 0 2 0 g r z 0 2222 2 | 2 0 zg r ppzg r p zz 顶 R r R r drrzg r rdrpF 00 2 22 0 22 顶 N175)85.1327 .160(2 2 )336. 04 . 0(575. 09810 8 )336. 04 . 0(101000 2 2 )( 8 )( 2 22
7、442 2 0 2 0 4 0 42 rRgzrR 2: .1:cb 31 a ga 3 1 ga 2 3 gatg lb b lbtgb2 3 22 2 1 3 1 tg 3 1 g a ga 3 1 btgbb,/ 即 CP1.4.5 如图示，在直径，高度的开口圆桶中，静止时的水位高度为 。设圆管绕中心轴匀速旋转，试确定 （）液面正好达到容器边缘时的每分钟转数 n1； （）液面顶端碰到容器底时的每分钟转数 n2； （）当达到第二种情况后，容器再停止下来时的水面高度。 提示：利用液面（等压面）方程确定液体的体积或空气的体积，由圆筒静止和转动时液体或 气体体积不变确定转速。 当液面边缘正好达到
8、圆筒边缘后， 继续提高转速将使部分水溢出筒 外，圆筒停止下来后水位比原来的低。 答： （）133.7r/min； （）163.7r/min； （） 解：取底部中心为原点 O，z 轴向上的坐标系 Oxz，等压面方程为： （）液面边缘点坐标为 ，由式 液面方程为： 求有两种方法： 1. 由水的体积不变 lb b lbtgbbb2 3 )/( 2 1 2 3 tg 2 3 g a ga 2 3 m4 . 0dm6 . 0H m4 . 0 1 h 2 h m3 . 0 2 h C g r z 2 22 )(a 2/dr Hz )(ag d HC 8 22 g d H g r z 82 2222 )(b
9、 1 2 2 0 4 2h d drrz d ) 16 ( 4 648 1 128 2 ) 8 ( 2 1 8 2 82 22 222 42 2 42 2 0 2 22 4 2 2 0 2222 2 0 g d H d g d Hd g d r g d Hr g rdr g d H g r rdrz d dd 由空气体积不变，设液面最低点坐标为 ， 在（）式中令 两种解法结果相同 （）液面最低点坐标为 ， 液面方程为 液面边缘点坐标为 ， 即 （） 当（2）中的水静止下来后，由空气体积保持不变 CP1.5.1 如图示，一边框装有铰链的倾斜闸门其宽度，闸门与水平面夹角为 。闸门左侧的水深，水面与
10、闸门交点到铰链轴的距离，设 开启闸门的力作用于闸门底端， 垂直向上， 试求不计闸门重量与铰链的摩擦力时开启闸门的 力 F。 提示：求总压力作用点时注意坐标系和原点的选取，求合力矩应对铰链轴取矩。 ) 16 ( 44 222 1 2 g d H d h d 2 1 / )(16dhHg ghH d )( 4 1 0 z )( 42 1 )( 4 0 2 1 2 zHdhHd Hhz 10 2 0 , 0zzr ghH dd hHg d zHg )( 4 )2(8)(8 1 10 rad/s148 . 9)4 . 06 . 0( 4 . 0 4 r/min7 .133 2 6014 2 60 n
11、0r0z 0)(Ca 式由 g r z 2 22 2dr Hz H g d 2 )2( 22 minr/7 .163 2 16.1760 2 60 rad/s16.174 . 0/6 . 081. 98/8 2 n dgH HdhHd 2 2 2 42 1 )( 4 m3 . 06 . 0 2 1 2 1 2 Hh m1b 60m3 . 2Hcm30a 答： 解：沿闸门建立坐标轴 y, 向下为正，原点 O 在水面上。闸门水下长度为 l 设形心为 C，。设压强中心为 D （实际上，位于下三分点上，） 总压力 由对铰链 A 的合力矩为零 故开启闸门所需的力为 CP1.5.2 如图示，一水下建筑的密
12、封舱门高 l，宽 b，水面离门框顶边淹深 ，门框顶边装有铰链，求打开舱门所需的力矩 M。 提示：求总压力作用点时注意坐标系和原点的选取，求合力矩对顶边铰链取矩。 答： 解：设 y 轴垂直向下，原点 O 在液面上。舱门形心 C 的淹深。设总压力作用点 为 总压力 NF 4 10195. 4 m656. 2 60sin 3 . 2 sin H l m328. 12/lyc C C C CD y l y y r yy 12 2 2 m77. 1 328. 112 656. 2 328. 1 2 m77. 1 3 2 lyD N3 .29949) 60sin 3 . 2 1 ( 2 3 . 2 806
13、. 9100 . 1 3 AghF cp 0)( FMA )()cos( Dp yaFaHctgF N10195. 4 5 . 03 . 0866. 03 . 2 )77. 13 . 0(3 .29949 cos )( 4 aHctg yaF F Dp N10195. 4 4 m5H mN1024. 1 5 myc6 m056. 6 18 1 6 12 2 2 C C C CD y l y y r yy 21) 15(9806)(AyHgAghF cc 以顶边铰链为轴，打开舱门所需的力矩为 M = F( 0.5 l + 1/18 ) = 117672 ( 1 + 0.056 ) = CP1.5
14、.3 如图示，一矩形闸门的高宽=，转动轴为。左侧水位为 ，右侧水位为。为开启闸门在端方向系有缆绳，试求开启闸门时 作用在缆绳上的力 F。 提示：闸门两侧总压力计算方法相同，但作用点偏心距计算方法有所不同。求合力距时对转 动轴取矩。 答： 解：左右两侧水的总压力大小分别为 左右侧作用点离作用面形心的纵向偏心距分别为 由 CP1.6.1 如图示，圆柱体两侧的水位不同：左侧水位 H 与圆柱同高，右侧水位仅及一半。设 圆柱半径为R， 试求作用于单位长圆柱面上总压力的水平和垂直分力(坐标系如图示)。 提示：两侧水位不同，圆柱下部水平力不能左右抵消，只能分别计算。计算垂直力的压力 体正好就是与水接触的四分之三圆柱体。 答：； N117672 mN1024.
