1_3克莱默法则

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1、课前热身：课前热身： 行列式 111 11 111 x的展开式中,x 的系数是_. 2 1.3 克拉默法则1.3 克拉默法则 Cramer Rule 2015.10.19 上海海事大学上海海事大学 2 瑞士数学家，克莱姆法则，又译克拉默 法则（Cramers Rule）是线性代数中 一个关于求解线性方程组的定理，于 1750年在线性代数分析导言中发表 的。 首先定义了正则、非正则、超越曲线和 无理曲线等概念，第一 次正式引入坐 标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变 换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行 分类。为了确定经过5 个点的一般二次 曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法 则”，即由线性方程组的

2、系数确定方程 组解的表达式。 3 1704-1752 类似的求解公式类似的求解公式克拉默法则. 在本章的第一节,我们在引进了二阶、三阶行 列式以后，得到了二元、三元线性方程组的很好 记忆的求解公式. 定义了 克拉默法则. 在本章的第一节,我们在引进了二阶、三阶行 列式以后，得到了二元、三元线性方程组的很好 记忆的求解公式. 定义了 n 阶行列式以后, 对于 含有 阶行列式以后, 对于 含有 n 个未知数个未知数 n 个方程的线性方程组, 也有个方程的线性方程组, 也有 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 定理设

3、线性方程组定理设线性方程组 nibxa n ij ijij ,1,2, 简记为 j=1 其系数 行列式 方程组有唯一解 其系数 行列式 方程组有唯一解0 时，时， j = 1, 2,n D D x j j 其中,其中, nnjnnjnn njj njj j aabaa aabaa aabaa D 1,1,1 21, 221, 221 11, 111, 111 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 证明略！证明略！ 例例 1解线性方程组解线

4、性方程组 ,0674 ,522 ,963 ,852 4321 432 421 4321 xxxx xxx xxx xxxx 解：解： 由由Cramer法则法则,可得：可得： 27 6741 2120 6031 1512 D 81 6740 2125 6039 1518 1 D108 6701 2150 6091 1582 2 D 27 6041 2520 6931 1812 3 D27 0741 5120 9031 8512 4 D ,0674 ,522 ,963 ,852 4321 432 421 4321 xxxx xxx xxx xxxx 1,1 ,4,3 43 21 xx xx 得方程

5、组解：得方程组解： 程的个数与未知量的个数不等时, 就不能用克拉 通过上述例子, 我们看到用克拉默法则求解 线性方程组时,要计算 程的个数与未知量的个数不等时, 就不能用克拉 通过上述例子, 我们看到用克拉默法则求解 线性方程组时,要计算 n+1 个+1 个 n 阶行列式,这个 计算量是相当大的, 所以, 在具体求解线性方程 组时, 很少用克拉默法则. 另外, 当方程组中方 默法则求解. 阶行列式,这个 计算量是相当大的, 所以, 在具体求解线性方程 组时, 很少用克拉默法则. 另外, 当方程组中方 默法则求解. 但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的 重要地位. 克拉默法则不仅给出了方程

6、组有唯一 解的条件, 并且给出了方程组的解与方程组的系 数和常数项的关系. 但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的 重要地位. 克拉默法则不仅给出了方程组有唯一 解的条件, 并且给出了方程组的解与方程组的系 数和常数项的关系. 定理 1定理 1如果线性方程组如果线性方程组 克拉默法则可叙述为下面的重要定理.克拉默法则可叙述为下面的重要定理. 式式 D 0 , 则 (1)一定有解, 且解是唯一的. 0 , 则 (1)一定有解, 且解是唯一的. 方程组有解的条件方程组有解的条件 定理 1 的逆否定理为:定理 1 的逆否定理为: 定理 1定理 1如果线性方程组 (1) 无解或有无 穷个不同的解,

7、则它的系数行列式必为零. 的系数行列 如果线性方程组 (1) 无解或有无 穷个不同的解,则它的系数行列式必为零. 的系数行列 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 (1): 全为零时, 线性方程组(1)叫做全为零时, 线性方程组(1)叫做齐次线性方程组齐次线性方程组. 线性方程组 . 线性方程组 b1 1, , b2 2, , , , bn 不全为零时,线性方程组 (1) 叫做不全为零时,线性方程组 (1) 叫做非齐次线性方 程组 非齐次线性方 程组; 当; 当 b1 1, , b2 2, , , , bn 右端

8、的常数项右端的常数项(1)(1) nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 (1): 对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa (2) x1 = x2 = = xn= 0 一定是它的解,这个解叫做一定是它的解,这个解叫做齐 次线性方程组 (2) 的零解 齐 次线性方程组 (2) 的零解. . 定理 2定理 2如果齐次线性方程组(2)有非零如果齐次线性方程组(2)有非零 如果一组不全为零的数是如果一组不全

9、为零的数是 次线性方程组(2)的非零解次线性方程组(2)的非零解. 齐次线性方程组(2) 一定有零解,但不一定有非零解. 对于齐次线性方 程组 (2) 有以下定理: . 齐次线性方程组(2) 一定有零解,但不一定有非零解. 对于齐次线性方 程组 (2) 有以下定理: 定理 2定理 2如果齐次线性方程组(2)的系数行 列式 如果齐次线性方程组(2)的系数行 列式 D 0 ,则齐次线性方程组(2)没有非零解. 解,则它的系数行列式必为零. 0 ,则齐次线性方程组(2)没有非零解. 解,则它的系数行列式必为零. 的解,则它叫做的解,则它叫做齐齐(2)(2) 0 0 0 2211 2222121 12

10、12111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa (2): 例2. 例2. 讨论讨论 为何值时, 线性方程组为何值时, 线性方程组 2 321 321 321 1 xxx xxx xxx 有唯一解, 并求出其解有唯一解, 并求出其解. 方程组的系数行列式方程组的系数行列式 11 11 11 D 2),(1)( 2 由此可知,当由此可知,当21且时时, D 0, 这时方 程组有唯一解. 这时方 程组有唯一解. 解解 2 321 321 321 1 xxx xxx xxx 1 1 111 2 1 D ),1(1)( 2 2 2 1 11 11 D,1)( 2 2 321

11、 321 321 1 xxx xxx xxx 2 3 11 1 11 D ).1(1)( 2 ,x 2 ) 1( 1 ,x 2 1 2 .x 2 ) 1( 2 3 例2. 例2. 已知三次曲线y= a0+a1x+a2x2+a3x3过4个点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4）其中x1, x2, x3, x4互异，试求方程 的系数a0, a1, a2, a3 将4个点的坐标分别代入三次曲线的方程,得到非齐次线性 方程组 4 3 43 2 42410 3 3 33 2 32310 2 3 23 2 22210 1 3 13 2 12110 yxaxaxaa yxaxaxaa yxaxaxaa

12、yxaxaxaa 其中a0, a1, a2,a3为未知量； 解解 将4个点的坐标分别代入三次曲线的方程,得到非齐次线性 方程组 4 3 43 2 42410 3 3 33 2 32310 2 3 23 2 22210 1 3 13 2 12110 yxaxaxaa yxaxaxaa yxaxaxaa yxaxaxaa 其中a0, a1, a2,a3为未知量； 0)( 41 ji ij xx 3 4 2 44 3 3 2 33 3 2 2 22 3 1 2 11 1 1 1 1 xxx xxx xxx xxx D 其中 Dj 是以 y1, y2, y3, y4替代 D 中第 j 列元素所得的行列式 由Cramer法则,有唯一解 (j=0,1,2,3) D D a j j 作业3 P35 31 33 35 背出线性方程组系数行列式与解的关系（四个结论）。 下节课找同学回答。