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1、2005-9-5现代控制理论基础1 第三章 控制系统状态方程求解第三章 控制系统状态方程求解 2005-9-5现代控制理论基础2 本章主要内容：本章主要内容： ?31 线性连续定常齐次方程求解31 线性连续定常齐次方程求解 ?32 的性质及其求法32 的性质及其求法 ?33 线性连续定常非齐次状态方程求解33 线性连续定常非齐次状态方程求解 ?34 连续时间状态空间表达式的离散化34 连续时间状态空间表达式的离散化 ?35 离散时间系统状态方程求解35 离散时间系统状态方程求解 2005-9-5现代控制理论基础3 31 线性连续定常齐次方程求解线性连续定常齐次方程求解 所谓齐次方程解，也就是系
2、统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下， 由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为： (31) 上式中，X 是 n1 维的状态向量，A 是 nn 的常数矩阵。 我们知道，标量定常微分方程的解为： （32） 与（32）式类似，我们假设（31）的解 X(t)为时间 t 的幂级数形式， 即： (33) 其中为与 X（t）同维的矢量。 2005-9-5现代控制理论基础4 将（33）两边对 t 求导，并代入（31）式，得： 上式对任意时间 t 都应该成立， 所以变量 t 的各阶幂的系数都应该相等， 即： 2005-9-5现代控制理论基础5 即: （34） 2005-9-5现代控制理论基础6 将系统
3、初始条件代入（33），可得。代入（34）式可得： （35） 代入（33）式可得（31）式的解为： (36) 2005-9-5现代控制理论基础7 我们记： （37） 其中为一矩阵指数函数，它是一个 nn 的方阵。所以（36）变为： （38） 当（31）式给定的是时刻的状态值时，不难证明： （39） 2005-9-5现代控制理论基础8 从（39）可看出，形式上是一个矩阵指数函数， 且也是一个各元素随时间 t 变化的 nn 矩阵。但本质上，它 的作用是将时刻的系统状态矢量转移到 t 时刻的状态 矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我 们称之为状态转移矩阵(The State Transit
4、ion Matrix)，并 记： （310） 所以： 2005-9-5现代控制理论基础9 【例 31】 已知，求 解：根据（37）式， 2005-9-5现代控制理论基础10 32 32 的性质及其求法 的性质及其求法 性质 1： 【证】 根据的定义式（37）， 【证毕】 2005-9-5现代控制理论基础11 性质 2： 【证】： ：根据(37)式，即有： ：由性质 1 及其关系， :由式两边同时左乘，注意本身是一个 nn 的方阵， ，所以： 即： 从上式可知，矩阵指数函数的逆矩阵始终存在，且等于。 【证毕】 2005-9-5现代控制理论基础12 性质 3：若矩阵 A，B 可交换，即 ABBA，
5、那么， 否则不成立。 【证】 根据（37）式的定义， 比较上述两展开式 t 的各次幂的系数可知，当 ABBA 式，。 【证毕】 2005-9-5现代控制理论基础13 性质 4： 【证】 因为 所以 上式右边多项式中，由于 t 是标量，所以 A 可以左提或右提出来。所以： 或 由此可知，方阵 A 及其矩阵指数函数是可交换的。 【证毕】 2005-9-5现代控制理论基础14 性质4 可用来从给定的矩阵中求出系统矩阵A，即： （311） 2005-9-5现代控制理论基础15 【例 32】 已知某系统的转移矩阵，求系统矩阵 A 解：根据（311）式 2005-9-5现代控制理论基础16 性质 5：若矩
6、阵 A 为一对角阵，即 A=，那么也是对角 阵，且 【证】 按照（37）定义式，并注意 所以有： 【证毕】 2005-9-5现代控制理论基础17 性质 6：若 nn 方阵 A 有 n 个不相等的特征根 ，M 是 A 的模态矩阵， ，则有： （312） 2005-9-5现代控制理论基础18 【证】 考虑齐次方程的解，其解为： （313） 我们对齐次方程作线性变换 XMZ，则有： ，即： ，且，所以： 即，两边左乘 M 得： （314） 比较（313）和（314），因此有: 上式经常用来求。 【证毕】 2005-9-5现代控制理论基础19 【例 33】 已知 ，求 解： 所以 的特征向量满足： 求
7、得： 同理，求得： 2005-9-5现代控制理论基础20 所 以 ， 模 态 阵， 根 据 （ 3 12） 式 ， 2005-9-5现代控制理论基础21 性质7：若为mimi 的约当块，即 那么有： （315） 2005-9-5现代控制理论基础22 【证】 不难验证，ABBA，即 A，B 可交换。所以根据性质 3， 又根据性质 5， 又根据（37）： 2005-9-5现代控制理论基础23 2005-9-5现代控制理论基础24 性质 8：若约当标准型矩阵 式中为 mimi 阶约当块，那么： (316) (证明略)。 性质 9：若 nn 阶矩阵 A 有重特征根，是将 A 转化为约当标准型 J 的变
8、换阵， 即，那么有： （317） （证明略）。 2005-9-5现代控制理论基础25 （317）式经常用来求有重特征根的矩阵的。 【例 34】 已知 ，求 解： 根据第二章有关内容，可知： 2005-9-5现代控制理论基础26 设，则 得： 得： 得： ， 根据（317）式： 2005-9-5现代控制理论基础27 性质 10：设 A=, B=, 则有 = =*= （证略）。 2005-9-5现代控制理论基础28 性质 11：矩阵指数可表示为有限项之和 （318） 其中当 A 的 n 个特征根互不相等时，满足： (319) 2005-9-5现代控制理论基础29 即满足： （320） 若 A 有
9、n 重特征根，不妨设为重根，这时（320）只有个独立 方程，剩下的个方程，可由下列关系添加： （321） 2005-9-5现代控制理论基础30 证】 下面只证明 A 有 n 个不相等特征根的情况。 根据凯利哈密顿(CayleyHamilton)定理， 方阵 A 满足其本身的特征方程， 即： 所以： 也就是说，所有都可以表示为线性代数和。 2005-9-5现代控制理论基础31 将代入的定义式（37），经整理可得： （322） 下面再求的关系式。因为 A 有 n 个不同的特征根，并设 M 为 A 的 模态矩阵，则有： （323） 2005-9-5现代控制理论基础32 代入（322）得： （324）
10、 又根据（312）式， 所以可得： （325） 即： 所以，（320）式得到证明。 2005-9-5现代控制理论基础33 【例 35】已知，利用凯利哈密顿定理求。 解： 在例 33 中我们求得 A 矩阵，有两个不同的根， 根据（319）式 代入（318）式得： 2005-9-5现代控制理论基础34 性质 12：矩阵指数函数可用拉氏反变换法求得： （3-26） 【证】： 考虑，在初始条件下的解： 对两边取拉氏变换，得： 拉氏反变换，得： 2005-9-5现代控制理论基础35 例 36：利用拉氏反变换法求，其中。 解： = 2005-9-5现代控制理论基础36 33 线性连续定常非齐次状态方程求解
11、线性连续定常非齐次状态方程求解 线性定常非齐次状态方程为： ， (327) 从物理意义上看，系统从时刻的初始状态开始，在外界控制的 作用下运动。要求系统在任意时刻的状态，就必须求解（327）。 采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，（327）式可写成： 两边同时左乘，得： 根据矩阵微积分知识，上式进一步有： 2005-9-5现代控制理论基础37 两边同时在区间积分，得： 两边同时左乘，并整理得： 即：（328） 2005-9-5现代控制理论基础38 当初始时刻时，（328）变为： （329） 从（328）和（329）可知，非齐次状态方程（327）的解由两部分组成，第一部分是 在初始状态作用下的
12、自由运动，第二部分为在系统输入的作用下的强制运动。 2005-9-5现代控制理论基础39 当为几种典型的控制输入时，（329）有如下形式。 1 脉冲信号输入，即：时 即： （330） 2005-9-5现代控制理论基础40 2 阶跃信号输入，即 （331） 3 斜坡信号输入，即，可以求得： （332） 2005-9-5现代控制理论基础41 【例 37】求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出： 解：根据（331）式 其中， ， K=1 在例 36 中已求的： 2005-9-5现代控制理论基础42 其状态轨迹图可以 MABLAB 方便地绘出，如图 31 所示： %Example Example 3
13、-7 grid; xlabel(时间轴); ylabel(x 代表 x1，-*代表 x2); t=0:0.1:10; x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,x1,x,t,x2,*) end 2005-9-5现代控制理论基础43 ?图31 系统状态轨迹图 2005-9-5现代控制理论基础44 34 连续时间状态空间表达式的离散化34 连续时间状态空间表达式的离散化 ?数字计算机处理的是时间上离散的数字量， 如果要采用数字计算机对连续时间系统进 行控制，就必须将连续系统状态方程离散 化。另外，在最优控制理论中，我们经常
14、 要用离散动态规划法对连续系统进行优化 控制，同样也需要先进行离散化。 数字计算机处理的是时间上离散的数字量， 如果要采用数字计算机对连续时间系统进 行控制，就必须将连续系统状态方程离散 化。另外，在最优控制理论中，我们经常 要用离散动态规划法对连续系统进行优化 控制，同样也需要先进行离散化。 2005-9-5现代控制理论基础45 设连续系统动态方程为： （333） 系统离散化的原则是：在每个采样时刻，其中 T 为采样周 期），系统离散化前后的保持不变。而采样的方法是在 t=kT 时刻对 U(t)值采样得 U(kT)，并通过零阶段保持器，使的值在 时间段保持不变。 根据上述离散化原则，我们有离散化后的动态方程为： 2005-9-5现代
