第六章概率分布.

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1、第六章 概率分布,第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 抽样分布,第一节 概率的基本概念,一、什么是概率 在心理与教育研究中，大部分现象属于随机现象，随机现象又称随机事件。 随机是指在一定条件下可能出现也可能不出现的，表明随机事件出现可能性大小的客观指标就是概率（probability）。 概率的定义有两种，即后验概率和先验概率。,（一）后验概率(posterior probability)或统计概率 随机事件A的频率 当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在一个常数P，这个常数就是随机事件A的概率。,（二）先验概率(prior probability)或古典概率

2、 古典概率模型要求满足两个条件： 实验的所有可能结果（基本事件）是有限的； 每一种可能结果出现的可能性相等。,二、概率的基本性质 （一）概率的公理系统 1任何一个随机事件的概率都是非负的。 0 P（A）1 2不可能事件的概率等于零。 3必然事件的概率等于1。,（二）概率的加法定理 互不相容事件：在一次实验或调查中，若事件发生，则事件就一定不发生，这样的两个事件为互不相容事件。 加法定理(additive rule)：两互不相容事件A、B之和的概率，等于这两个事件概率之和。即,（三）概率的乘法定理 独立事件：一个事件的出现对另一个事件的出现不发生影响。 相关事件或相依事件：事件A的概率随事件B是

3、否出现而改变，事件B的概率随事件A是否出现而改变。,乘法定理(product rule)：两个独立事件同时出现的概率等于这两事件概率的乘积。,【例】 从52张扑克牌（去掉大小王牌）中有放回地连续抽两张牌，即抽完第一张后将所抽的牌再放回去，混合好后再抽第二张。 （1）第一次抽取红桃K第二次抽取方块K的概率是多少？ （2）第一次抽取红桃第二次抽取方块的概率是多少？ （3）抽牌两次皆为红色的概率是多少？,【例6-1】一枚硬币掷三次，或三枚硬币各掷一次，问出现两次或两次以上H的概率是多少？ 解：投掷硬币可能出现八种结果（HHH、HHT、HTH、THH、TTH、THT、HTT、TTT）。每种结果可能出现

4、的概率，依概率乘法规则计算： 各为 。,设P(A)代表3次H的概率，P(B)代表“HHT”这种结果的概率，P(C)代表“HTH”的概率，P(D)代表“THH”的概率。依据概率加法规则计算：,三、概率分布类型 概率分布(probability distribution)：对随机变量取值的概率分布情况用数学方法（函数）进行描述，一般用概率分布函数进行描述。 概率分布依不同的标准可以分为不同的类型。,（一）离散分布与连续分布 离散分布：离散型随机变量的概率分布，即计数数据的概率分布。常用的离散分布有二项分布(binomi distribution)、泊松分布(Poisson distribution

5、)和超几何分布(hypergeometric distribution)等。,连续分布：连续随机变量的概率分布，即测量数据的概率分布。常用的连续分布有正态分布、负指数分布、威布尔分布等。,（二）经验分布与理论分布 依分布函数的来源，可将概率分布分为经验分布与理论分布。 经验分布(empirical distribution)：根据观察或实验所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。 理论分布(theoretical distribution)：随机变量概率分布的函数-数学模型；按某种数学模型计算出的总体的次数分布。,随机变量概率分布的性质，由它的特征数来表达。这些特征数主要有期望值（理论平均

6、数）和方差。,（三）基本随机变量分布与抽样分布 依概率分布所描述的数据特征，可将概率分布分为基本随机变量分布与抽样分布（sampling distribution）。 基本随机变量分布：随机变量各种不同取值情况的概率分布，常用的有二项分布、正态分布。 抽样分布：从同一总体内抽取的不同样本的统计量的概率分布。,样本统计量主要有平均数、两平均数之差、方差、标准差、相关系数、回归系数、百分比率（或概率）等。 统计量是基本随机变量的函数，故抽样分布也称随机变量函数的分布。,基本随机变量分布与抽样分布是应用于统计学上的理论分布，是统计推论的重要依据，只有对它们真正了解，才能明确各种统计方法的应用条件及注

7、意问题，并对各种具体方法有较为深刻的理解。,第二节 正态分布,正态分布(normal distribution)：常态分布、常态分配，是连续随机变量概率分布的一种，在数理统计的理论与实际应用中占有最重要地位的一种理论分布。 棣莫弗、拉普拉斯、高斯,一、正态分布特征 （一）正态分布曲线函数 正态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般方程为,分布函数与概率密度函数 分布函数F(x)=P(Xx)，表示随机变量X的值小于x的概率。 概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域x，那么，随机变量X落在(x, x+x)内的概率约为f(x)x，即P(xXx+

8、x)f(x)x。 概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。“密度”一词可以由此理解。,（二）正态分布的特征 1.正态分布的形式是对称的，其对称轴是经过平均数点的垂线。 2.正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐点位于正负1个标准差处，曲线两端向靠近基线处无限延伸，但终不能与基线相交。,3.正态曲线下的面积为1，由于它在平均数处左右对称，故经平均数点的垂线将正态曲线下的面积划分为相等的两部分，各为0.50。,4.正态分布是一簇分布，随随机变量的平均数()、标准差()的大小与单位不同而有不同的分布形态。 所有正态分布都可以通过Z分数公式非常容易地转

9、换成标准正态分布(standard normal distribution)。 根据Z分数的性质可知，标准正态分布的=0，2=1。,标准正态分布通常写作N(0,1)正态分布。 标准正态分布的密度函数： 标准正态分布的密度函数及面积（概率）的计算公式：,5.正态分布中各差异量数数值相互间有固定比率。 表6-1 正态分布中各种差异量数值的固定比率,6.在正态分布曲线下，标准差与概率（面积）有一定的数量关系。,二、正态分布表的编制与使用 （一）正态分布表的编制与结构 两种不同的编制方法 （1）从Z=开始，表中列出的是某Z分数以下的累积概率； （2）从Z=0开始，计算从Z=0至某一定值之间的概率。,正

10、态分布表的结构一般包括三栏 第一栏：Z分数单位； 第二栏：密度函数或比率数值（y）； 第三栏：概率值（p）。,（二）正态分布表的使用 1.依据Z分数求概率p，即已知标准分数求面积。 求某Z分数值与平均数（Z=0）之间的概率。 求某Z分数以上或以下的概率。 求两个Z分数之间的概率。,2.从概率p求Z分数，即从面积求标准分数值。 已知从平均数开始的概率值求Z值。 已知位于正态分布两端的概率值求该概率值分界点的Z值。 若已知正态曲线下中央部分的概率，求Z分数是多少。 3.已知概率p或Z值，求概率密度y，即正态曲线的高。,三、次数分布是否为正态分布的检验方法 （一）皮尔逊偏态量数法 正态分布：M=Md

11、=Mo 正偏态分布：MMdMo 负偏态分布：MMdMo 皮尔逊发现，在偏态分布(skewed distribution)中，Md离平均数较近、而距众数较远。,根据平均数与众数或中数的距离，皮尔逊提出了一个偏态量数公式，用来描述分布形态： 当SK=0时，分布对称；当SK0时，分布属正偏态；当SK0时，分布属负偏态。,（二）峰度、偏度检验法 1.偏度系数(coefficient of skewness) 当g1=0时分布是对称的；当g10时，分布为正偏态；当g1200时，这个偏态系数的统计量g1才较可靠。,2.峰度系数(coefficient of kurtosis) 当g2=0时，正态分布的峰度

12、；g20时，分布的峰度比正态分布的峰度低阔；g21000时，g2值才比较可靠。,（三）累加次数曲线法 因为标准正态分布的形式固定，因此其累加概率与标准差的关系也固定。根据这一点，可将一般分布的累加概率与标准正态分布累加概率相比较。,具体方法 制作样本的累加次数分布表，列出累加比率和观测值相应的标准分数。 制作样本的累加频率曲线图。纵坐标为次数比率01.00，横坐标为Z分数，一般为3+3。 在同一坐标系中，制作累加正态分布概率曲线图。,画好图后，从图上直接比较正态分布概率曲线与样本的累加频率曲线，若两曲线完全重合，说明某样本的分布呈正态；若样本的累加频率曲线偏离正态累积曲线较大，则不符合正态分布

13、。,四、正态分布理论在测验中的应用 （一）化等级评定为测量数据 将等级评定转化为测量数据，首先要考虑被评定的心理量是否为正态分布。 将等级评定转化为测量数据的方法是用各等级中点的Z分数代表该等级分数。,具体步骤 根据各等级被评者的数目求各等级的人数比率； 求各等级比率值的中间值，作为该等级的中点； 求各等级中点以上（或以下）的累加比率； 用累加比率查正态表求Z值，该Z分数就是各等级代表性的测量值； 求被评者所得评定等级的测量数据的算术平均数，即为每个被评定者的综合评定分数。,【例6-2】 表6-2是3位教师对100名学生的学习能力所作等级评定的结果。表6-3是3名学生从3位老师那儿获得的评定等

14、级，试将其转化为Z分数。,表6-2 3名教师对100名学生的评定结果,表6-3 各学生所获得的评定等级,表6-4 化等级评定为Z分数,学生1的平均成绩： (0.94+1.65+1.28)/3=1.29 学生2的平均成绩： (1.96+0.84+1.28)/3=1.36 学生3的平均成绩： (0.94+00.32)/3=0.42,（二）确定测验题目的难易度 原理：假设一个测验中不同难易题目的分布是正态的，即一个测验中通过率较大和较小的题目很少，而通过率居中的题目较多。,确定题目难度分数的具体步骤 计算各题目的通过率； 用0.5减去通过率，不计正负号，获得正态分布表中的概率值（p）； 依照p值查正

15、态表中相应的Z值，通过率大于50%的Z值计为负值，通过率小于50%的Z值计为正值； 将查表得到的Z分数加上5便得到从010的十进制的难度分数值。,表6-5 难度分数的计算,（三）在能力分组或等级评定时确定人数 将6个标准差除以分组的或等级的数目，做到Z分数等距； 查正态分布表，从Z求p，即各等级或各组在等距的情况下应有的比率； 将比率乘以欲分组的人数，便得到各等级或分组该有的人数。,所计算的各组人数分布，应与总数相等。有时由于从Z查p有误差，使结果不能与总数相符，这时应将居中的那一组做适当的增加或减少，因为这样做，对百分比率的影响甚小。,【例6-3】 要把100人在某一能力上分成5个等级，各等

16、级应该有多少人，才能使等级评定做到等距？,表6-6 能力分为五组时各组人数的分布,（四）测验分数的正态化 正态化的步骤 当原始分数不服从正态分布时，先将原始分数的频数转化为相对累积频数(百分等级)，将它视为正态分布的概率； 然后，通过查正态分布表中概率值相对应的Z值，将其转换成Z分数，达到正态化的目的。,正态化是利用改变次数的方法，将原来偏态分布中众数所偏的一边拉长，使之成为正态，这是一种非线性转换。 正态化是建立正态标准分数的关键。 原始分数正态化的前提条件：研究对象的总体事实上应该是正态分布，否则就会歪曲事实，这是使用各种正态化标准分数所必须注意的。,T分数(T scores)是从Z分数经过转化而来的一种正态化的标准分数，它是McCall (1939)创用的方法。 心理与教育测验常用T分数来建立常模。T分数是将标