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1、闭区间上二次函数的最值朱义华二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。一. 定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例 1. 函数 在区间 上的最大值是_，最小值是yx2403，_。解：函数 是定义在区间 上的二次函数，其对22()03，称轴方程是 ，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在x0 ， 3上，如图 1 所示。函数的
2、最大值为 ，最小值为 。f(f()2图 1例 2. 已知 ，求函数 的最值。23xfx()2解：由已知 ，可得 ，即函数 是定义在区间 上的二次03fx()032，函数。将二次函数配方得 ，其对称轴方程 ，顶点坐标fx()1241，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 内，如图 2 所示。函1234， 03，数 的最小值为 ，最大值为 。fx()f()01f32194图 2 解后反思：已知二次函数 （不妨设 ），它的图象是顶点为fxabc()2a0、对称轴为 、开口向上的抛物线。由数形结合可得在bac242， 上 的最大值或最小值：mn， fx()（1）当 时， 的最小值是 的最大值mn，
3、 fx()fbacfx242， ()是 中的较大者。ff()、（2）当 时ba，若 ，由 在 上是增函数fx()n，则 的最小值是 ，最大值是fx()mf()若 ，由 在 上是减函数nba2f()，则 的最大值是 ，最小值是f() fn()二. 动二次函数在定区间上的最值二次函数随着参数 a 的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例 3. 已知 ，且 ，求函数 的最值。x210fxa()23解：由已知有 ，于是函数 是定义在区间 上的二次函2， 1，数，将 配方得：f()xa234二次函数 的对称轴方程是f()xa2顶点坐标为 ，
4、图象开口向上a2342，由 可得 ，显然其顶点横坐标在区间 的左侧或左端点上。x11，函数的最小值是 ，最大值是 。fa()fa()4图 3 例 4. 已知二次函数 在区间 上的最大值为 5，求实数fxax()224141，a 的值。解：将二次函数配方得 ，其对称轴方程为 ，顶fa() x2点坐标为 ，图象开口方向由 a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间()241， a上。41，若 ，函数图象开口向下，如图 4 所示，当 时，函数取得最大值 50x2即 f()52解得 a故 10()舍 去图 4若 时，函数图象开口向上，如图 5 所示，当 时，函数取得最大值 5a0 x1即 f()1512解得
5、 6或故 )舍 去图 5综上讨论，函数 在区间 上取得最大值 5 时，fx()41， aa210或解后反思：例 3 中，二次函数的对称轴是随参数 a 变化的，但图象开口方向是固定的；例 4 中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数 a 变化的。三. 定二次函数在动区间上的最值二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数 t 而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例 5. 如果函数 定义在区间 上，求 的最小值。fx()12， 1fx() 解：函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开fx()12x口向上。如图 6 所示，若顶点横坐标在区间 左侧时，有 。当
6、 时，函数取得t， txt最小值。fxft()()min12图 6如图 7 所示，若顶点横坐标在区间 上时，有 ，即 。当t， 1t101t时，函数取得最小值x1。ff()()min1图 7如图 8 所示，若顶点横坐标在区间 右侧时，有 ，即 。当t， 1t1t0时，函数取得最小值xt1fftt()()min12综上讨论， fxttt(),in012图 8例 6. 设函数 的定义域为 ，对任意 ，求函数fx()24t21， tR的最小值 的解析式。fx()t 解：将二次函数配方得：fxx()()2248其对称轴方程为 ，顶点坐标为 ，图象开口向上()，若顶点横坐标在区间 左侧，则 ，即 。当
7、时，函t1， 2tt4xt2数取得最小值fttt()()24822若顶点横坐标在区间 上，则 ，即 。当 时， tt13t函数取得最小值f()若顶点横坐标在区间 右侧，则 ，即 。当 时，函t21， t2txt1数取得最小值fttt()1386综上讨论，得 ()()ttt22413四. 动二次函数在动区间上的最值二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例 7. 已知 ，且当 时， 的最小值为 4，yax240()xaSxy()32求参数 a 的值。解：将 代入 S 中，得Sxax()()32941822则 S 是 x 的二次函数，其定义域
8、为 ，对称轴方程为 ，顶点坐xa， xa32标为 ，图象开口向上。()32，若 ，即a0a则当 时，S最 小 1842此时， ，或12若 ，即32a则当 时，xSaa最 小 ()31284此时， ，或 （因 舍去）5，综上讨论，参变数 a 的取值为 ，或 ，或5例 8. 已知 ，且当 时， 的最小值()()xy14022xa12Pxy()42为 1，求参变数 a 的值。解：将 代入 P 中，得yx2214()Pax5417952则 P 是 x 的二次函数，其定义域为 ，对称轴方程为 ，顶点xa12， x175坐标为 ，图象开口向上。17592，a若 ，即65则当 时，xPa最 小 912此时，
9、 a2若 ，即17565则当 时，xa2Paa最 小 41275912此时， ，或 （因 舍去）6，综上讨论， 5， 或解后反思：例 7 中，二次函数的对称轴是变化的；例 8 中，二次函数的对称轴是固定的。另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。年级 高中 学科 数学 版本 期数内容标题 闭区间上二次函数的最值分类索引号 G.622.46 分类索引描述 辅导与自学主题词 闭区间上二次函数的最值 栏目名称 专题辅导供稿老师 审稿老师录入 韩素果 一校 胡丹 二校 审核
