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1、微分方程,第六章,在科学研究、生产实践、经济管理等很多实际问题中，常常需要寻求某些变量之间的函数关系,含有未知函数及其导数的关系式,即通常所说的微分方程,我们可以通过解微分方程得到所要求的函数关系。, 积分问题, 微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第一节,引例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .,例2：以初速度 将质点垂直上抛 ，不计阻力， 求质点的运动规律 。,解 ： 如图取坐标系，,未知函数 应满足
2、,设运动开始时质点位于 ，,在时刻t质点位于s,就是要找的运动规律,（1）,现在来求s与t之间的函数关系，,再两边积分，得,这里的C1，C2都是任意的常数。,把（4）式分别代入（2）（3)式，,得C2= ，,（2）,（3）,由题意知： t=0时，,C1=,（4）,对（1）式两边积分，得,于是有,含自变量、未知函数、及其导数的方程叫做微分方程,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,微分方程的基本概念,n 阶微分方程的一般形式为,的阶.,或,（方程中自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数则必须出现。）,未知函数为一元函数的微分方程叫做常微分方程 .,例3 判断下列方程是否为微分方程,
3、如 ：y =C1x+C2x+1,含有几个任意常数的表达式，,而使任意常数的个数减少,（两项相除不能得到常数）,则称这表达式中的几个任意常数相互独立。,因此 C1，C2是不独立的；,如果它们不能合并,所表示的函数族是相同的,如：,C1，C2是独立的；,与 y =Cx+1,独立的任意常数, 满足微分方程的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,一阶方程的初始条件 :,的阶数相同.,特解,微分方程的解, 不含任意常数的解,初始条件,其图形称为积分曲线.,二阶方程的初始条件 :,微分方程,都是方程的解。,如：,通解:,特解:,求,的特解,-一阶微分方程的初值问题,例4 已知微分方程,试判断下列函数是否为方程的解？通解？,例5. 验证函数,是微分方程,的通解,的特解 .,解:,这说明,是方程的解 .,并求满足初始条件,代入微分方程：,是两个独立的任意常数,故它是方程的通解.,利用初始条件易得:,故所求特解为,代入:,可得:,通解：,
