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1、第十二章 轴对称12.1 轴对称 12.2作轴对称图形一、知识点1、轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形关于直线对称也称轴对称。2、关于某条直线对称的两个图形是全等形。3、如果两个图形关于某一条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。4、两个图形关于某一直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，那么交点在对称轴上。5、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。（1）轴对称包含两层含义：一是有两个图形，能够完全重合，即形状、大小完全相同。二是对重合的方式有限制，也
2、就是它们的位置关系必段满足一个条件，把它们沿某一条下线对折能够重合。（2）全等的图形不一定是轴对称的。两轴对称的图形一定是全等的。（3）轴对称逆定理的作用是判定两个图形是否关于某一直线对称，它是作对称图形的主要依据。6、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这直线线是它的对称轴。7、轴对称的定义：（1）、有两个图形，能够完全重合，即形都状大小都相同。（2）、对重合的方式有限制，也就是它们的位置关系必须满足一个条件：把它们沿某一直线对折后，能够重合，全等的图形不一定是轴对称的，而轴对称的图形一定是全等的。8、如果两个图形的对应点连线被同
3、一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称，它是作对称图形的主要依据。9、轴对称和对称轴图形的区别和联系：区别：（1）轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个特殊形状的图形。（2）、轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形说的。联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合。（2）如果把轴对称图形沿着对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称，那么它就是一个轴对称图形，经常遇到的轴对称图形有：等腰三角形、线段、角、正方形、等腰梯形等。12.1轴对称练习：1、如图所示：ABAC,BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，自点D作DEAB于E，DFAC于F,求
4、证：BE=CFAEGC BFD2、如图：在四边形ABCD中，AC、BD交于O，且AB=AD,BC=DC，试问：AC、BD有何关系？为什么? A解：AC垂直平分BD。BODC3、粮食部门要修建一个储运仓库，如图所示，按照设计要求：储运仓库到两城市A、B的距离必须相等，且到两条高速公路a和b的距离相等，储运仓库P应修在什么位置？在图上标出它的位置。aoBAb12.2作轴对称图形1、作轴对称图形概述 给出一个图形和一条直线，即可作出这个图形关于这条直线的轴对称图形，由所给出的直线（对称轴）位置的不同，得到的轴对称图形的位置也不同，在作图时，始终要注意：任一对对应点的连线段被对称轴垂直平分。2、 作一
5、个图形关于某一直线的对称图形的方法。 由于几何图形都可以看成由若干个点组成的，所以只要做出这些点关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形，因为两点确定一条直线，所以对于直线形（如三角形、四边形等），只要作出图形中的一个特殊点（一般情况下取顶点或线段的端点）的对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。3、平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标的物征在平面直角坐标系中，点P(x,y)与它关于X轴对称点的坐标，其横坐标不变，纵坐标为相反数。点P(x,y)与它关于Y轴对称点的坐标，其纵坐标不变，横坐标为相反数。作轴对称图形的练习1、如图所示：已知在ABC中，AB=AC=10,D
6、E垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若DBC的周长为16，求BC的长及ABC的周长。分析：DB=AD,所以DB+AD=AC,所以AEDB C2、下列图形中不是对称图形的是（ D ）A、线段B、相交直线C、有公共端点D、有公共端点的两条不相等线段3、全等和对称的关系是(B )A、全等必对称 B、对称必全等 C、全等一定不对称 D、对称不定全等。4、不重合两点的对称轴是（ ）。5、如图：某同学打台球时想通过击黑球A，使其撞击桌边MN后反弹，来击中白球B，请在图中标明，黑球撞在MN上哪一点才达到目的？（以球心A、B来代表两球） ABMN分析:作点A关于MN的对称点A，连接BA与MN交于P，连接
7、PA，则点P就是要求的点。则经AP撞击MN，必沿PB反弹击中白球B。一变：如图：在AOB的内部有一点p，如何在OA和OB上各取一点Q、R，使PRQ的周长最小。 B pOA分析：作点P关于OA的对称点，P，作点P关于OB的对称点P,连接PP,交OA于点R，交OB于点Q，PR、PQ，则PRQ的周长最小。二变：某班举行文艺晚会，桌子摆成两直列，如图中的AO、BO,AO桌面上摆满了糖果，BO桌面上摆满了桔子，坐在C处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到坐位上，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？AOB分析：因为这两列桌子的交角没有明确，所以应分两种情况：一种是交角小于90度时，如图:OAP
8、 B以OA为轴作点P的对称点P，以BC为轴作P点的对称点p点，连接pp点，交OA、OB于，M、N，连接PMN所以由PMNP最短。如果OA、OB交于直角，则直接到O取完再回到P点就可以了。变三：再一条大河流中，有一形如三角形的小岛，如图所示，岸与小岛有一桥相连，现在准备在小岛的各设立一个水质取样点，水利部门在岸边设立一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验，请问：三个取样点分别设在什么位置，才能使得每天取样所用的时间最短？A小岛BDC观测站E分析：设观测点为E,桥与小岛相连点为D，小岛的三边分别为：AB、AC、BC，作D关于AB的对称点D，作D关于AC的对称点C,连接C
9、C，与AB、AC交于M、N，则：D、M、N为所求。12.3等腰三角形1、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫顶角，底边与腰的夹角叫底角。2、三角形的角平分线、中线、和高3、三形全等的判定和性质4、三角形内角和及三边关系定理5、等腰三角形性质定理等腰三角形的两底角相等。6、等腰三角形的性质定理：推论一：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于义边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。推论二：等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于60度。推论的作用：可证明角相等、线段相等或垂直。7、等腰三角形三线合
10、一：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、底边上的高相等相互重合。只要知道其中一个结论，就可以得出其他两个结论。8、等腰直角三角形的两个底角相等且都等于45度。9、等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角，或直角，但顶角可为钝角或直角。10、等腰三角形三边之间的关系：设腰长为a度长为b，则b2a,11、等腰三角形三角之间的关系:设顶角为A，底角为B、C，则A=180-2B12、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形两个底角相等，那么它所对的边也相等。（简写成等角对等边）A、该定理的作用：是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。B、注意：该定理不能叙述为：
11、如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等，因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用底角、和腰的名词。只有等腰三角形才有底角、腰的概念。13、等腰三角形判定定理的推论：推论一：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论二：有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。推论三：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。14、等边三角形的判定方法A、运用定义：三条边相等B、三个角相等C、有一个角是60度的等腰三角形。等腰三角形练习：（解读）1、 如图所示：在ABC中，AB=AC,D在BC上，且，AD=BD，AC=CD求B ABDC设：B为X度。5X=180，所以
12、B=362、 等腰三角形的周长是30，一边长是12，求另两边长。分两种情况讨论3、如图，AB=AC，BD=CD,AD的延长线交BC于点E，求证：AEBC。DAD BEC O4、如图所示，O为等边三角形ABC内的一点，OCB=OBC,求BOC的度数。 A BC5、探究题 F在三角形ABC中，AD为BC的中线，E为AC上的一点，BE与AD交于F，若AE=EF，求证：AC=BFAB D C分析：证AC=BF，可利用三角形全等，而它们所在的三角形，不全等，故想到可将它们移到一个三角形中，利用等角对对边来求证。延长AD至M，使DM=AD，连接BM，就可以证出。6、辩析题：D是等腰三角形ABC底边上的一点
13、，它到两腰AB、AC的距离分别为DE和DF，如图：当D在什么位置时，DE=DF？并说明理由。 DAEFBC分析：要使DE=DF需使三角形BFD和三角形DFC全等。所以应在BC的中点即可。7、难题:在ABC中，AB=AC，BAC=80度，P为ABC内的一点，若PBC=10度，PCB=30度，求PAB的度数。AEBC PAA PBC分析：以BC为边做一等边三角形，连接AE 、则BE= EC=BC，E在BC的中垂线上，所以AEB=AEC=30度。求出ABEPBC 则角PAB=70度。单元梳理与能力整合1、 轴对称的应用在中考命题中，此类问题只是一道选择题，只要求判断是不是轴对称图形和有几条对称轴。如
14、l圆、正方形、三角形、平行四边形、图标、文字，符号等。2、 线段的垂直平分线 如图：是三角形ABC中BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明：BAF=AFC的理由。AEBDCF分析：因为EF是AD的垂直平分线，所以DAF=ADF,而ADF=B+BAD,而DAF=DAC+CAF 所以：CAF=B,所以结论可证。3、 等腰三角形的热点问题如图所示：AD是三角形ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线与E，EFAC,交AB与F，求证：AF=FBAFBDCE4、 等腰三角型的综合应用如图：在三角形ABC中，AB=AC，AEAB于E，在BC上截取CD=CA，连接AD，若AD=BD，则DAE的度数是多少？ABCD E分析：5B=
