考研数理统计基本知识

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1、数理统计基本知识6.1 总体与样本6.1.1 总体与个体在概率统计中，我们把对某个问题研究对象全体组成的集合称为总体（或母体） ，而把组成总体的每个元素称为个体，例如，某班的全体学生构成一个总体，则每个学生为个体。在处理实际问题时，人们关心的不是总体中每个个体的特殊属性，而是表征总体状况的某一个或几个数量指标 。对于一个总体来说，它的每一个数量指标 对于不同的个体其XX指标值可能是不同的，即就是说数量指标 是一个随机变量（或随机向量） ，所以我们常X常把研究对象的某一个数量指标 的可能取值的全体组成的集合称为总体，而直接把总体与随机变量 等同起来，说”总体 ”， 的概率分布称为总体分布， 的数

2、字特征称为总体的数字特征。6.1.2 样本要了解总体 的分布规律，就必须从该总体中按一定法则抽取一部分个体进行观测X或试验，以获得有关总体的信息，从总体中抽取有限个个体的过程称为抽样，所抽取的部分个体称为样本，样本中所含个体的数目称为样本的容量。例如，为研究某批电视机的质量，通常把使用寿命 作为体现质量特征的数量指标，为了解总体 的概率分布情况，X我们从这批电视机中抽样 台进行观测或试验，第 台电视机的使用寿命记为ni（ ） ， 这样 就是来自总体 的一个容量为 的样本，需i,1),(21nX n要注意的是：由于样本是从总体中随机抽取的，在抽取之前无法预知它们的数值，因此样本 是一个 维随机向

3、量，在抽取以后，通过观测或试验得到一组数值，用)(2nX表示，称为样本的观测值。,1x抽取样本的目的是为了对总体的特性作出估计与推断，为了能使样本很好地反映总体的特性，数理统计中常用的一种抽样方法是简单随机抽样，指的是对总体 的 抽样结Xn果 ,. 相互独立，且每个 与总体 同分布，这样的样本称为简单随机样本。今1niX后，如果不作特别申明，所说的样本都是指简单随机样本。6.1.3 样本的联合分布设总体 的分布函数为 ， 为来自总体 的样本，那么样本X)(xF),21nX的联合分布函数为。,(21niix1)()如果总体 是离散型随机变量，其分布律为 ，那么样本X )(xpXP的联合分布律为)

4、,(21n。niinxxP121 )(,如果总体 是连续型随机变量，其分布密度为 ，那么样本 的Xf ),(21nX联合分布密度为。,(21xfniixf1)()6.1.4 经验分布函数分布设总体 的分布函数为 ， 是来自总体 的样本，X)(xF),21nX为样本观察值，现将 从大到小排列，记为),(21nx x则有)()( ,)()2()1( nx定义函数 .1 .1, , , ,)( )1()()1(xnkxoxFkkn当当当 显然， 是非降右连续函数，且 。由此可见， 是一个)(xn )( ,0)(Fn )(xFn分布函数，称为经验分布函数。6.2 统计量6.2.1 统计量的定义数理统计

5、的任务就是从总体中抽取样本，进而利用所获得的样本信息对总体的某些概率特征进行推断，为了有效地搜集到样本的信息，往往需要考虑各种不含任何未知参数的样本的函数，这种函数就是数理统计学中讨论的统计量。定义 6.2.1 设 是来自总体 的样本，设 是连续的不),(21nX ),(21nxh含任何未知参数的 元实值函数，样本的函数n),(21nhT是一个随机变量，称为统计量。例 6.2.1 设 是来自正态总体 的样本。其中 已知，),(21nX X),(2N未知，则2， ， ，niiXT12ii1)(nT1 ,mi21nXT是统计量，而 不是统计量。nii12)(当我们得到样本 的观测值 时，也就得到了

6、统计量,2nX ),(21nx的观测值记为 ，它是一个具体的数值。),(21nXhT ),(21nxht6.2.2 常用的统计量下面介绍一些常用的统计量1. 样本的数字特征定义 6.2.2 设 是来自总体 的样本，则称统计量),(21nX ii1为样本均值，称统计量 niiXS122)(为样本方差，称统计量 niiS122)(为样本标准差，一般地，称统计量 nikikXA1为样本 阶原点矩，称统计量kniikB12)(为样本 阶中心矩。k显然， ，即样本 阶原点矩就是样本均值, 而 ，当样本XA1 221SnB的观测值为 时，我们用 ， ， ， 分别表示统计量),(21n ),(21nx x2

7、skab， ， ， 的观察值，如 。SkBi1定理 6.2.1 设总体 数学期望 及方差 存在， 是来XE2DX),(21nX自总体 的样本，则， , 。)(n2)(2)(S证明 由于 相互独立与总体 同分布，故有nX,21 X， ，)(Ei 2)(Di ni ,1从而。nXEnEXiiinii 111)()()。DnDiiiiii 212121 )()( 注意到 ni niii XX1122 )()()( nii122 ，niii XEnX1 22)()( 所以。2212 )(1)( nnDnESii2. 顺序统计量定义 6.2.3 设 是来自总体 的样本，将它们按大小排列成),(21nX

8、)()2()( n都称为顺序统计量。)()2()1(, ,nX可以看出， ，)1( ),mi21nX )( ),max(21nX称 为最小顺序统计量， 为最大顺序统计量，称 为极差。)1( )( )1()(Rn例 6.2.2 设总体 的分布函数为 ，密度函数为 ， 是)(Ff ),2n来自总体 的样本，求 和 的分布函数及密度函数。X)( n)1(解 设 和 的分布函数分别为 , ，由于 相互独)( n)1( )(yn)(1 nX,21立与总体 同分布，则 yFn )(XPn),max21yn y1XP2XPn，nF)(所以 的密度函数为)( nX。)(yFfn)()(1yFn)(1yfn又

9、)(1 )1(XP)(y),min21n yXXP1y2Pn，nF)(所以 的密度函数为)1(X。)(1yf)()(1yn )(1yfFn6.3 数理统计中几个常见分布本节我们主要介绍 分布、 分布、 分布及其性质，这些分布在数理统计中有重要2tF的应用。6.3.1 分布2定义 6.3.1 设随机变量 相互独立，且 ，则nX,21 iX)1,0(N),2ni称随机变量 2212n服从自由度为 的 分布，记为 。特例，如果 ，n)()1,0(则 。2X)1(的分布密度为0 ,0,)(21)(22 xexf xnn其中 称为 函数, 且 , 。分布密度的图像为01)(dtexxGam1)()2(图

10、 6.3.1) (图 6.3.2)分布具有如下性质：2(1)分布具有可加性，设随机变量 相互独立，且 nX,21 iX)(2in，则 ;),1(niniiX1)(2ni(2)设 ，则 ， 。 (2ED(在本书附录表 3 中，如果 ，在给定自由度 及数 的情况下，2)nn)10(可以查表得数 (图 6.3.2)满足)2n，dxfPn)(22)(称为 分布的 临界值( 或 上侧分位数)。显然有 。)(2n2 )21P例 6.3.1 设 102(1) ， ；5.)2P3.18)0(25.(2) ， ；9949.(3) ， 。0.)2)(205.1.)(25.0例 6.3.2 设 是来自总体 的样本，

11、设,8X ),0(2N，如果 ，求 。285241)()(iiiiXYkY)(2k解 由于 相互独立与 同分布，由正态分布的可加性得82, ， ，41ii)4,0(2N85iiX)4,0(2N于是 ， ，241iiX),(2185ii)1,(且两者相互独立，所以 ，241)(ii852)(iiX)(故当 时， 。2kkY26.3.2 分布t定义 6.3.2 设随机变量 与 相互独立，且 ， ，则称随机XX)1,0(NY)(2n变量 nYt服从自由度为 的 分布，记为 。ntt)(的分布密度为)(t。21)(21)(nt xnxf分布是英国统计学家哥色特(W. S. Gosset)于 1908

12、年以“Student”的笔名发表的研究t成果，所以 分布又称为学生分布，它常用于样本容量较小时的统计推断，显然 是偶)(xft函数，其图像关于纵轴对称，我们可以证明， 21)(limxtnexf因此只要 充分大， 分布近似于 。实际上，当 时， 与 就相nt,0N30n)(nt)1,0(N差很少了。图 6.3.3 给出了 及 的密度曲线。52)(图 6.3.3) (图 6.3.4)在本书附录表 4 中，如果 ，在给定自由度 及数 的情况下，可t)(nn)10(以查表得数 (图 6.3.4)满足)nt，dxftPntt)(称为 分布的 临界值( 或 上侧分位数)。根据临界值的定义及密度函数 的图

13、)(tt )(xft像关于纵轴对称，不难得到：= ， ， 。nt)1t1(|2t )(|2ntP例 6.3.3 设 0(1) ， ；5.)tP8.)0(5.t(2) ， ；9812.)(105.9, t(3) ， 。.0)|t 23)(025.t例 6.3.4 设 是来自总体 的样本，求统计量,(81X ),0(2N的分布。8541iiiiXY解 由于 相互独立与 同分布，则821, X ， ,41ii)4,0(2Ni)1,0(N)876,5i于是 ， ，214iiX)1,0(N285)(iiX)4(且 与 相互独立，所以41ii 285ii= 。4)(18524iXiiiY8541iiii)

14、(t6.3.3. 分布F定义 6.3.3 设随机变量 与 相互独立，且 ， ，则称随机XYX)(2nY)(2m变量 mnF服从第一自由度为 ，第二自由度为 的 分布，记为 。nF),(n的分布密度为),(mF 0 ,0,)()()( 2212 xmnxxf nmnF分布密度 的图像随自由度 ， 的不同而有所改变，图 6.3.5 画出了 在)(fF )(xfF的图像。,514,0mn图 6.3.5 图 6.3.6在本书附录表 5 中，如果 ，在给定自由度 ， 及数F),(mnnm的情况下，可以查表得数 (图 6.3.6)满足0. ,12.0 ,1.( ),F，dxfPmnF),()(称为 分布的 临界值(或 上侧分位数) ，显然有 ，),(mnF ),(1mnFP根据 分布的定义不难看出，如果 ，则 。对给定F),(mn,，由临界值的定义可得)10(， 。于) ,(nFP),(1P 1),(1nmFP是 ，所以),(1m。),(1),(mnF