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1、 专项综合全练(一)特殊平行四边形的性质和判定的综合应用类型一特殊平行四边形的折叠问题1.如图1-5-1,在菱形ABCD中,A=120,E是AD上的点,沿BE折叠ABE,点A恰好落在BD上的F点处,连接CF,那么BFC的度数是()图1-5-1 A.60B.70C.75D.80答案C四边形ABCD是菱形,AB=BC,ADBC,BD平分ABC,A+ABC=180.A=120,ABC=60,FBC=30.根据折叠可得AB=BF,FB=BC.BFC=BCF=(180-30)2=75.故选C.2.如图1-5-2,正方形纸片ABCD的边长AB=12,E是DC上一点,CE=5,折叠正方形纸片使点B和点E重合
2、,折痕为FG,则FG的长为.图1-5-2答案13解析如图,过点F作FMBC,垂足为M,连接BE,FE,设BE交FG于点N,由折叠的性质知FGBE,C=BNG=90,EBC+BEC=90,NBG+BGN=90,BGN=BEC.易知FM=BC=AB,FMG=C,FMGBCE,MG=CE=5,由勾股定理得FG=FM2+MG2=13.3.如图1-5-3,将菱形ABCD折叠,使点A恰好落在菱形对角线的交点O处,折痕为EF.若菱形的边长为2 cm,BAD=120,求EF的长.图1-5-3解析四边形ABCD是菱形,ACBD,AC平分BAD.BAD=120,BAC=60,ABO=90-60=30.AO=12A
3、B=122=1(cm).由勾股定理,得BO=DO=3 cm.点A沿EF折叠后与点O重合,EF垂直平分AO.ACBD,EFBD,EF为ABD的中位线,EF=12BD=12(3+3)=3(cm).4.如图1-5-4,将矩形ABCD沿DE折叠,使顶点A落在DC上的点A处.然后展开,沿EF折叠,使顶点A落在折痕DE上的点G处.再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落在DE上的点H处,如图1-5-4.(1)求证:EG=CH;(2)已知AF=2,求AD和AB的长.图1-5-4解析(1)证明:由折叠及矩形的性质可知EG=AE=AE=AD,CH=BC=AD,EG=CH.(2)由折叠可知ADE=ADE=12
4、ADA=45,FGE=A=90,FG=AF=2,DG=2,DF=2,AD=AF+DF=2+2.由折叠知AEF=GEF,BEC=HEC,GEF+HEC=90,AEF+BEC=90,AEF+AFE=90,BEC=AFE,在AEF与BCE中,AFE=BEC,A=B=90,AE=BC,AEFBCE(AAS),AF=BE,AB=AE+BE=AD+AF=2+2+2=22+2.类型二特殊平行四边形的操作型问题5.操作示例对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH,按图1-5-5所示的方式摆放,沿虚线BD,EG剪开后,可以按图中所示的移动方式拼接为四边形BNED.图1-5-5从拼接的过程容易得到结论:四边形
5、BNED是正方形.S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED.实践与操作(1)对于边长分别为a,b(ab)的两个正方形ABCD和EFGH,按图1-5-6所示的方式摆放,连接DE,过点D作DMDE,交AB于点M,过点M作MNDM,过点E作ENDE,MN与EN相交于点N.图1-5-6证明四边形MNED是正方形,并用含a,b的代数式表示正方形MNED的面积;在图1-5-6中,将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后,能够拼接为正方形MNED,请简略说明你的拼接方法(类比图1-5-5,用数字表示对应的图形);(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形,能否通过若干次拼接,将其拼接为
6、一个正方形?请简略说明你的理由.解析(1)由作图的过程可知四边形MNED是矩形.ADM+MDC=CDE+MDC=90,ADM=CDE.在RtADM与RtCDE中,A=DCE,AD=CD,ADM=CDE,RtADMRtCDE(ASA),DM=DE,矩形MNED是正方形.DE2=CD2+CE2=a2+b2,正方形MNED的面积为a2+b2.如图,过点N作NPBE,垂足为P.可证明图中的6与5位置的两个直角三角形全等,4与3位置的两个直角三角形全等,1与2位置的两个直角三角形全等,所以将5放到6的位置,将4放到3的位置,将1放到2的位置,恰好拼接成正方形MNED.(2)能.理由如下:从上述的拼接过程
7、可以看出:任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形,而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形,以此类推.由此可见,对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形,可以通过(n-1)次拼接,得到一个正方形.类型三特殊四边形中的探究型问题6.如图1-5-7,已知正方形ABCD中,点E为对角线BD上一点,过点E作EFBD交BC于点F,连接DF,点G为DF的中点,连接EG,CG.图1-5-7(1)求证:EG=CG;(2)将图1-5-7中的BEF绕点B逆时针旋转45,如图1-5-7,取DF的中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)将
8、图1-5-7中的BEF绕点B旋转任意角度,如图1-5-7,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)解析(1)证明:在RtFCD中,点G为DF的中点,CG=12DF.同理,EG=12DF.EG=CG.(2)成立.证明如下:如图,连接AG,过点G作直线MNAD交AD于点M,与EF的延长线交于点N.易知四边形AENM为矩形.在DMG与FNG中,DGM=FGN,DG=FG,DMG=FNG,DMGFNG,MG=NG.在矩形AENM中,AM=EN.在RtAMG与RtENG中,AM=EN,AMG=ENG=90,MG=NG,AMGENG,AG=EG.四边形A
9、BCD为正方形,BD为对角线,ADG=CDG.又AD=CD,DG=DG,ADGCDG,AG=CG,EG=CG.(3)(1)中的结论仍然成立,即EG=CG,其他结论还有EGCG.7.如图1-5-8,在边长为m的菱形ABCD中,DAB=60,E是AD上不同于A,D两点的一动点,F是CD上一动点,且AE+CF=m.图1-5-8(1)证明:无论E,F怎样移动,BEF总是等边三角形;(2)求BEF面积的最小值.解析(1)证明:连接BD.四边形ABCD为菱形,AB=AD,BDF=12ADF.又DAB=60,BDF=12(180-60)=60,易知ABD是等边三角形,ABD=60,AB=DB,又AE+CF=
10、m,AE=DF,在ABE和DBF中,AB=DB,A=BDF=60,AE=DF,ABEDBF,BE=BF,ABE=DBF,又ABE+EBD=ABD=60,EBF=DBF+EBD=ABD=60,BEF是等边三角形.(2)由(1)知,BEF是等边三角形,其边长最小时,面积最小,即当BEAD时,BEF的面积最小,此时BE=m2-12m2=32m,BEF的边BE上的高为32m2-34m2=34m,BEF面积的最小值为1232m34m=3316m2.类型四特殊平行四边形的阅读理解型问题8.阅读以下材料,然后解决问题:如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在
11、矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”,如图1-5-9所示,矩形ABEF为ABC的“友好矩形”,显然,当ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”;(2)如图1-5-9,若ABC为直角三角形,且C=90,在图1-5-9中画出ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;(3)若ABC是锐角三角形,且BCACAB,在图1-5-9中画出ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.图1-5-9解析(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在
12、平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2)如图,共有两个“友好矩形”,分别为矩形BCAD、矩形ABEF.易知,矩形BCAD、矩形ABEF的面积都等于ABC面积的2倍,RtABC的两个“友好矩形”的面积相等.(3)如图,共有3个友好矩形,分别为矩形BCDE、矩形CAFG和矩形ABHK,其中矩形ABHK的周长最小.证明:易知,这三个矩形的面积相等,设为S.设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1,L2,L3,BC=a,CA=b,AB=c,则:L1=2Sa+2a,L2=2Sb+2b,L3=2Sc+2c.L1-L2=2Sa+2a-2Sb+2b=-2Sab(a-b)+2(a-b)=2(a-b)ab-Sab,abS,ab,L1-L20,即L1L2,同理可得,L2L3,L1L2L3,L3最小,即矩形ABHK的周长最小.7
