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1、 高等数学作业P371 习题6-1 7. 已知，求.解 10. 试证明以三点、为顶点的三角形是等腰直角三角形.证 ，而 ， 又，以三点、为顶点的三角形是等腰直角三角形.P388 习题6-22. 设求（1）；（2）；（3）与夹角的余弦.解 ； ； .4设，问与有怎样的关系，能使得与轴垂直？解 而使得与轴垂直的充要条件是： 所以当时能使得与轴垂直.7. 已知，求证以、为邻边的平行四边形的面积和以、为邻边的平行四边形的面积相等的充要条件是.证 因为以、为邻边的平行四边形的面积为： （），而以、为邻边的平行四边形的面积为： （）所以以、为邻边的平行四边形的面积和以、为邻边的平行四边形的面积相等的充要条
2、件是： = （）即. P403习题6-34.求下列球面的球心和半径（1）解 原方程可化为： 所以该球面的球心为，半径为4.5.求下列旋转曲面的方程（1）面上的抛物线绕其对称轴旋转.解 面上的抛物线的对称轴显然是轴，它绕着轴旋转所得的旋转曲面的方程为： 6.说明下列旋转曲面是怎样形成的（1）解 原方程即，所以该旋转曲面可看成是上的椭圆绕着轴旋转一周所得到的旋转曲面，也可以看成是面上的椭圆绕着轴旋转一周所得到的旋转曲面.8. 指出下列方程表示怎样的曲面（1），（4）解 （1）表示一张双曲抛物面.（4）表示一张椭圆锥面.P409 习题6-42.指出下列方程组在平面解析几何与在空间解析几何中分别表示什
3、么图形（2）解 该方程组可化为：，在平面解析几何中它表示的是一个点：（0，3），在空间解析几何中它表示的是一条经过点（0，3，0）并且和轴平行的直线.6.求下列曲线在面上的投影曲线方程（1）解 从方程组中消去，得曲线在面上的投影柱面方程为： 所以所求曲线在面上的投影曲线方程为： .9. 求椭球面与圆锥面所围成区域在三个坐标面上的投影.解 在面上的投影可看成是由椭球面与圆锥面的交线在面上投影曲线所围成的区域.因为上面方程组消去后得到的它所表示的交线在面上投影柱面为： 所以此交线在面上投影曲线方程为： 因此所求在面上的投影为： .在面上的投影可看成是由椭球面与圆锥面在面上的投影区域的公共部分. 因
4、为椭球面在面上的投影区域是： ，即而圆锥面在面上的投影区域是： ，即因此所求在面上的投影为： 在面上的投影可看成是由椭球面与圆锥面在面上的投影区域的公共部分. 因为椭球面在面上的投影区域是： 即而圆锥面在面上的投影区域是： ，即因此所求在面上的投影为： P418习题6-55. 分别按下列条件求平面方程（3）平行于轴且过点和. 解 因为平行于轴，所以可设该平面的方程为： 又因为经过点和所以有：把看成是自由未知量解此方程组得： 故所求平面方程为： 即 .7. 求两平面和的夹角.（这道习题其实就是P416例5）解 设两平面的夹角为，由于两平面的法向量分别为，于是 因此所求夹角.P428习题6-64.
5、求过点且与两平面和平行的直线方程.解 因为直线与两平面和平行，所以该直线与这两个平面的交线平行，因此它的方向向量可取： 又该直线经过点，所以所求直线方程为： .5. 判断下列各组直线间的位置关系（2）和解 直线 的方向向量为： 直线的方向向量为：由于 ，所以这两条直线平行.7. 求直线与平面的交点和夹角.解 先求交点. 所给直线的参数方程为：将其代入平面方程，得： ，即所以，从而所求交点为（1，0，-1）. 再求夹角. 设所求夹角为，则 从而所求夹角.P485习题7-11. 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形.（3）；（6）解 （3）要使函数有意义，必须使，即 或（此式是矛盾不等式，舍去）
6、也就是 ，故所求定义域为：.注：因为没有作图软件，所以图略，以下同.（6）要使函数有意义，必须使，且，即且，所以所求定义域为：.2. 求下列极限（2）；（4）；（5）.解（2） . （4）当，有，而（5）当时，.P498习题7-21. 求函数 的偏导数.解 当时，当时2. 求下列函数的偏导数（5）；（8）.解 (5) (8), ,.4. 设，证明：证 ， 6. 求下列函数指定的高阶偏导数（3），.解 .7.求下列函数的全微分（6）解 9.计算下列各式的近似值 （1）解 设，并令，则由近似公式 得： 10.用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长5米，宽4米，高3米，厚20厘米，求所需材料的近似
7、值与精确值.解 设长方体的长、宽、高分别为、，其体积为，则，再令米，米，米，厘米=0.4米，厘米=0.4米，则厘米=0.2米，则所需材料的精确值为： =13.632（）其近似值为： （）.习题7-31. 求下列函数的导数.（1），求，（5）具有二阶连续偏导数，求，.解 （1） （5）令，则可看成是由和，复合而成的复合函数，又因为具有二阶连续偏导数，所以若记，则 . .3.设，具有连续的偏导数，证明： 证 5. 求由下列各方程确定的隐函数的导数或偏导数.（3），求.（5），求，.解 （3）令，则 于是.（5）令，则 ，.所以 .8. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数.（2），求，.解 方
8、程组两边都对求偏导得： 于是当时，方程组两边都对求偏导得： 于是当时，.习题7-42.求由曲线上的点，使该点的切线平行于平面.解 设曲线上的点能使其切线平行于平面，再设点所对应的，因为曲线在点处的切向量为：，而平面的法向量为：，所以有 ，解此方程得：或，所以所求的点为：（）和（.3. 求曲线在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.解 把 看成是的函数，两个方程两边都对求导得： 即将代入上面方程组得： 解此方程组得：，所以点（1，1，1）的切向量为所求切线方程为： 即.所求法平面方程为： 即 .4.求下列曲面在给定点的切平面和法线方程.（3） ，解令，则 .所以在的法向量为： 于是切平面方程为：
9、 即 法线方程为： 即 .6. 求函数在点处沿方向角的方向的方向导数.解 因为，所以所求方向导数为： 将和代入上式得： 8. 求函数在点处的梯度及其模.解 因为，所以，所以所求梯度为： 其模.为.习题7-55.求下列函数的极值（1）解 由得驻点.再由 ，可知在处. ，所以，故函数在处取得极小值.8.纵截面为半圆形的圆柱形开口容器，开口面为矩形，其表面积为S，当其尺寸怎样时，此容器有最大的容积.解 设此容器的容积为V，容器纵截面的半圆形的的半径为R,容器的长为h,则,于是我们考虑的问题是：在约束条件之下容器的尺寸怎样能使取得最大值. 为此令，并解方程组： 得 根据实际问题可知在约束条件之下的最大值一定存在，故当容器纵截面的半圆形的的半径为容器的长为时可使容器有最大的容积，此时容器的容积为.17
