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1、第二章 练习题1. 一边长为 2a 的载流正方形线圈，通有电流 I。试求：(1)轴线上距正方形中心为 r0 处的磁感应强度；(2) 当 a=1.0cm , I=5.0A , r0=0 或 10cm 时，B 等于多少特斯拉？解 （ 1）沿轴向取坐标轴 OX，如图所示。利用一段载流直导线产生磁场的结果，正方形载流线圈每边在点 P 产生的磁感应强度的大小均为:,式中:由分析可知，4 条边在点 P 的磁感应强度矢量的方向并不相同，其中 AB 边在 P 点的 B1 方向如图所示。由对称性可知，点 P 上午 B 应沿 X 轴，其大小等于 B1 在 X 轴投影的 4 倍。设 B1 与 X 轴夹角为 则:把
2、r0=10cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得 B=3.910-7(T)。把 r0=0cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得 B=2.810-7(T)。可见，正方形载流线圈中心的 B 要比轴线上的一点大的多。2. 将一根导线折成正 n 边形，其外接圆半径为 a，设导线载有电流为 I，如图所示。试求：(1)外接圆中心处磁感应强度 B0；(2) 当 n时，上述结果如何？解: （1）设正 n 边形线圈的边长为 b，应用有限长载流直导线产生磁场的公式，可知各边在圆心处的感应强度大小相等，方向相同，即：所以，n 边形线圈在 O 点产生的磁感应强度为：因为 2=2/n,=
3、/n，故有： 由右手法则，B0 方向垂直于纸面向外。（2）当 n 时， 变的很小，tan ，所以： 代入上述结果中，得：此结果相当于一半径为 a，载流为 I 的圆线圈在中心 O 点产生磁感应强度的结果，这一点在n时，是不难想象的。 3. 如图所示，载流等边三角形线圈 ACD，边长为 2a，通有电流 I。试求轴线上距中心为 r0 处的磁感应强度。解:由图可知，要求场点 P 的合场强 B，先分别求出等边三角形载流线圈三条边 P 点产生的磁感应强度 Bi ，再将三者进行矢量叠加。由有限长载流导线的磁场公式可知，AC 边在 P 点产生的磁感应强度 BAC 的大小为：由于ACP 为等腰三角形，且 PC
4、垂直 AC，即： 代入上述结果中，得：由右手螺旋定则可知，BAC 的方向垂直于 ACP 平面向外，如图所示。由对称性可知，AC，CD，DA 三段载流导线在 P 点产生的磁感应强度 BAC、 BCD、BDA 在空间方位上对称，且它们在垂直于 Z 轴方向上的分量相互抵消，而平行于 Z 轴方向上的分量相等，所以：根据等边三角形性质，O 点是ACP 的中心，故: ，并由EOP 可知sin= ,所以 P 点的磁感应强度 BP 的大小为：磁感应强度 BP 的方向沿 Z 轴方向。 4. 一宽度为 b 的半无限长金属板置与真空中，均匀通有电流 I0。P 点为薄板边线延长线上一点，与薄板边缘距离为 d。如图所示
5、。试求 P 点的磁感应强度 B。解: 建立坐标轴 OX，如图所示， P 点为 X 轴上一点。整个金属板可视为无限多条无限长的载流导组成，取其任意一条载流线，其宽度为 dx，上载有电流 dI=I0dx/b，它在 P 点产生的场强为：dB 的方向垂直纸面向里。由于每一条无限长直载流线 P 点激发上的磁感应强度 dB 具有相同的方向，所以整个载流金属板在 P 点产生的磁感应强度为各载流线在该点产生的 dB 的代数和，即：BP 方向垂直纸面向里。 5 两根导线沿半径方向引到金属环上的 A、C 两点，电流方向如图所示。试求环中心 O 处的磁感应强度。解: 由毕- 萨定律可知，两载流直线的延长线都通过圆心
6、 O，因此她们在 O 点产生的磁感应强度为零。图中电流为 I1 的大圆弧在 O 点产生的 B2 的方向垂直纸面向里。应用载流圆线圈在中心处产生磁场的结果 B=0I/2r，可知 B1、B2 的大小为:则 O 点的磁感应强度的大小为:设大圆弧和小圆弧的电阻为 R1、R2，则:有: , 因大圆弧和小圆弧并联，故 I1R1 = I2R2，即: ,代入表达式得B0=0。6 如图所示，一条无限长导线载有电流 I，该导线弯成抛物线形状，焦点到顶点的距离为a，试求焦点的磁感应强度 B。 解: 本题采用极坐标。用毕-萨定律得电流元 Idl 在焦点 P 处产生的磁感应强度为:, 由于 Idl 与 r 的夹角为 ，
7、由图可知，Idlsin=Ird,所以 dB 的大小为: , 方向由右手螺旋定则可知，垂直纸面向外。由于所有电流元 Idl 在 P 点产生的磁感应强度方向相同，所以 P 点的总产生的磁感应强度为: ,因抛物线的极坐标方程为:, 因此: 7 如图所示，两块无限大平行载流导体薄板 M、N，每单位宽度上所载电流为 j，方向如图所示，试求两板间 Q 点处及板外 P 点处的磁感应强度 B。解: 无限长载流直导线产生磁感应强度的公式 B=0Ir0/2r 可知，M 板 Q 点激发的磁感应强度 BM 的大小为： , dBx = -dBcos，dBy = dBsin 由对称性可知：, 设 Q 点到 M 板的垂直距离为 a，则：由几何关系可知：a/r=cos,x=tan,dx=ada/cos2，代入上式：BM 的方向沿 X 轴方向，因此，Q 点的磁感应强度 BM+BN=0，采用同样的方法得，M 板在 P点产生磁感应强度为：N 板在 P 点产生磁感应强度为： ,表明在 P 点两块板产生磁感应强度相同，所以 P点的 B 为 B = BM+BN= -0ji， B 的方向沿 X
