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1、上一章重点回顾,自动控制系统的工作原理及系统构成； 反馈控制的基本概念； 自动控制系统的三个性能要求： 稳定性 准确性 快速性,第二章 控制系统的数学模型,2.1 控制系统微分方程的建立 2.2 拉氏变换及其反变换 2.3 传递函数 2.4 控制系统的方块图,2.1 控制系统微分方程的建立,2.1.1 数学模型的定义 2.1.2 微分方程的建立的基础 2.1.3 微分方程建立的步骤,机械系统 电气系统 相似系统,2.1.1 数学模型的定义,系统示意图,系统框图,Remember 恒温箱自动控制系统?,2.1.1 数学模型的定义,系统框图,t u2 u ua n v u t,由若干个元件相互配合
2、起来就构成一个完整的控制系统。,系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。,物理量的变换， 物理量之间的相互关系 信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存） 由动态到最后的平衡状态-稳定运动,2.1.1 数学模型的定义,用数学的方法和形式表示和描述系统中各变量间的关系。,解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出变量间的数学关系式，建立数学模型。（重点） 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,建立数学模型的方法：,数学模型：,数学模型的形式,时间域： 微分方程（连续系统，重点） 差分
3、方程（离散系统） 状态方程 复数域： 传递函数（重点） 结构图-信号流图 频率域： 频率特性-伯德图（重点）,2.1.2 微分方程的建立的基础,机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热学： 传热定理、热平衡定律,可以利用的物理定律：,机械运动系统的三要素,机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理,阻尼 B,质量 M,弹簧 K,机械平移系统,1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量,机械旋转系统,电气系统三元件,电学：欧姆定律、基尔霍夫定律。,RLC 串联网络电路,相似物理系统,2.1.3 微分方程建立的步骤,控制系统中的输入量和输出量
4、通常都是时间t的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程或运动方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。,对于单输入单输出的线性定常系统，可以采用下列微分方程来描述（标准型）：,具体步骤：,根据要求，划分环节确定输入量和输出量 根据各环节的物理定律，设中间变量，列写微分方程，并构成微分方程组 消去中间变量，整理出只含有输入量和输出量及其导数的方程 写成标准形式：输入右侧，输出左侧，降次排列,折算转动惯量 折算力矩 折算阻尼系数,2级减速齿轮传动系统,
5、例：下图为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程 。,解： (1) 确定电路的输入量和输出量。由电路可知，R1、R2、C1、C2为常量，依据实际工作情况确定U1(t)为输入电压，U2(t) 为输出电压。,(2) 设回路电流i1、i2，C1的电压Uc1,依据电路工作原理选它们为中间变量。根据克希霍夫定律，列写方程如下：,(1),(2),(3),(4),（3）消去中间变量i1、i2、Uc1其目的是求出U1(t)与U2(t)的关系。,把(4)代入(3), 可得,（5）,把(4)代入(2), 可得,（6）,把(6)代入(1), 可得,（7）,把(5)代
6、入(7), 可得,（4）进行标准化，把输出放到左边，输入放到右边。得到,2.2 拉氏变换及其反变换,Part 2.2.1 拉氏变换的定义,设函数f(t)满足： 1.f(t)实函数； 2.当t0时 ， f(t)=0； 3.当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛,高等函数初等函数,指数函数 三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数 单位加速度函数 幂函数,Part 2.2.2 拉氏变换的计算,指数函数的拉氏变换,三角函数的拉氏变换,幂函数的拉氏变换,阶跃函数的拉氏变换,单位速度函数的拉氏变换,单位脉冲函数拉氏变换,单位加速度函数拉氏变换,拉氏变换表,为工程应用方便，将f(t)和F(
7、s)的对应关系编制成表，即拉氏变换表 通过查表求拉氏变换，可以免去数学积分运算 例：查表求f(t)=3t2 的拉氏变换 解： f(t)=3t2 =6*（1/2*t2 ） 查附录1拉氏变换表第4条，可求得 F(s)=6*1/s3=6/s3,拉氏变换的主要运算定理,线性定理,微分定理,积分定理,位移定理,延时定理,卷积定理,初值定理,终值定理,比例定理,线性定理,叠加定理,微分定理,原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式,多重微分,需记住,积分定理,多重积分,位移定理,延时定理,终值定理,初值定理,卷积定理,例 求下图所示函数的拉氏变换,0 T 2T 3T t,2a a,f (t),利用延迟性质
8、，求得f (t)的拉氏变换为,拉氏反变换的定义,其中L1为拉氏反变换的符号。 拉氏反变换是复变函数的积分，直接计算难 求解方法：部分分式法，将像函数分解成一些简单有理分式函数之和，即化像函数为拉氏变换表中的形式，查表得到原函数（见附录1）,部分分式法,F(s)化成下列因式分解形式：,a. F(s)中具有不同的极点时,b. F(s)含有共扼复数极点时,c. F(s)含有多重极点时,a. F(s)中具有不同的极点时,例 已知,，求,解：因,的一阶极点，可得,式中,所以,b. F(s)含有共扼复数极点时,式中共轭极点出现在,处；,表示分母多项式中的其余部分，引入符号,则可以写成,其中,不难看出，,、
9、,是共轭关系，假定,AjB；则,AjB,则其逆变换为,例：,，求其逆变换,解：,也就是,，则逆变换为,c. F(s)含有多重极点时,例：求下示函数的逆变换：,解：将,写成展开式,于是有,逆变换为,（,）,利用Matlab求解拉氏变换和拉氏反变换,拉氏变换：Fs=laplace(ft) 拉氏反变换：ft=ilaplace(Fs) Examples: syms s t w x y ilaplace(1/(s-1) returns exp(t) ilaplace(1/(t2+1) returns sin(x) ilaplace(t(-sym(5/2),x) returns 4/3/pi(1/2)*x
10、(3/2) ilaplace(y/(y2 + w2),y,x) returns cos(w*x) ilaplace(sym(laplace(F(x),x,s),s,x) returns F(x),将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,Part 2.2.3 拉氏变换求解线性微分方程,应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替dn/dtn得到。
11、,例：用拉氏变换求解方程,2.3 传递函数,在零初始条件( )下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,Part 2.3.1 传递函数的定义,输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0,初始条件为零时 微分方程拉氏变换,系统的传递函数,系统传递函数的一般形式,微分方程标准式：,复杂机械系统,N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。,！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输入的比值。,特征方程,M(s)=b0(s-z1
12、)(s-z2)(s-zm)=0的根 s=zi(i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点。,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根 s=pj(j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点。,！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,零点和极点,传递函数的零、极点分布图： 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。 零点用“O”表示 极点用“”表示 零极点分布决定系统的响应过渡过程,零、极点分布图,g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）,输入典型信号时，输出与传递函数的有一定关系 单位脉冲响应,传递函数是复数s域中的系统数学模型
13、。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。,结论,适用于线性定常系统,传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。,传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律,无法描述系统内部中间变量的变化情况,只适合于单输入单输出系统的描述,注意,优点：,比微分方程简单，通过拉氏变换，实数域内复杂的微积分运算转化为简单的代数运算 当系统输入典型信号时，其输出与传递函数有一定关
14、系，当输入为脉冲信号，其输出为传递函数 令传递函数s=jw，则系统可在频率域内分析 传递函数的零极点分布决定系统的响应过渡过程等性能,设系统有 b个实零点;d 个实极点; c 对复零点; e对复极点; v个零极点,Part 2.3.2 典型环节的传递函数,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。,一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。,同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。,例：齿轮传动,放大环节/比例环节,齿轮传动,!储能元件 ！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入 例：RC惯性环节,惯性环节,RC惯性环节（无源滤波网络）,！记忆,！
15、积分,输入突然除去 积分停止 输出维持不变,例：积分运算放大器,积分环节,积分运算放大器,如当输入量为常值 A 时，,输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。,！改善系统的稳态性能,！具有明显的滞后作用,例1：RC微分网络,例2：理想微分运放,例3：一阶微分运放,微分环节,微分环节反应灵敏，可以提高系统的动态响应能力,理想微分运算放大器,RC微分网络,一阶微分运算放大器,二阶微分环节,不同形式 储能元件 能量转换 振荡,例1：机械平移系统,振荡环节,机械平移系统,运动方程式：,传递函数：,环节的时间常数,超越函数近似处理,例1：水箱进水管的延滞,延滞环节,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。,延迟环节从输入开始之初，在0 时间内没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。,延迟环节与惯性环节的区别,水箱进水管的延滞,利用阻抗法求无源网络的传递函数,求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法求取更为方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。,例,Part 2.4 系统方块图和信号流图,2.4.1 2.4.2,方块图 控制系统传递函数,
